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上一节 我讲到了随机变量期望值
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上一节 我讲到了随机变量期望值
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其实也就是总体均值
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只是随机变量的总体是无穷的
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无法全部求和然后取平均值
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于是我们需要用到频率进行加权平均
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于是我们需要用到频率进行加权平均
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于是我们需要用到频率进行加权平均
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这同老式的求平均方法其实没有本质区别
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这同老式的求平均方法其实没有本质区别
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但是可以用于求随机变量无穷总体的均值
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但是可以用于求随机变量无穷总体的均值
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随机变量总体无穷是因为可以无止尽进行试验
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随机变量总体无穷是因为可以无止尽进行试验
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然后 我们计算了二项分布的期望值
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然后 我们计算了二项分布的期望值
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当时是以抛硬币为例
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这一节我将讲到二项分布期望值的一般公式
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这一节我将讲到二项分布期望值的一般公式
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假设有随机变量X
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表示n次试验成功的次数 其中每次成功的概率是p
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表示n次试验成功的次数 其中每次成功的概率是p
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这是更一般的情况 比如正面可以看作是成功
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这是更一般的情况 比如正面可以看作是成功
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而概率p是0.5 n是10次 这里只是更一般化了
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而概率p是0.5 n是10次 这里只是更一般化了
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而概率p是0.5 n是10次 这里只是更一般化了
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然后求这个X的期望值
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这个随机变量的概率分布将是很好的二项分布
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这个随机变量的概率分布将是很好的二项分布
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看起来有些像钟形曲线
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以后我们会更详细学到钟形曲线
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首先 我打算给出答案
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答案其实很直观
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随机变量X的期望值是n?p 有时也写成p?n
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随机变量X的期望值是n?p 有时也写成p?n
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我讲得更明白一些 先换个颜色
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我讲得更明白一些 先换个颜色
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X表示投进篮筐的次数
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X表示投进篮筐的次数
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10次投篮后进球的次数
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每一次进球的概率是40%
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投10次 命中率40% 那么表示进球次数的随机变量X
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投10次 命中率40% 那么表示进球次数的随机变量X
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其期望值就等于此命中率乘以投篮次数
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其期望值就等于此命中率乘以投篮次数
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也就是40%×10 也就是4
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也就是40%×10 也就是4
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当然 期望值并不一定是可能性最大的那个值
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当然 期望值并不一定是可能性最大的那个值
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因为概率分布可能会很怪
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因为概率分布可能会很怪
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不过在二项分布中
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期望值可以看成是最可能得到的那个结果
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期望值可以看成是最可能得到的那个结果
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40%命中率 投10次
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最可能的结果是中4次
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也可能进6次或3次 但4次的可能性最大
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也可能进6次或3次 但4次的可能性最大
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我一般是这样理解这个期望值的
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即每一次投篮有40%的几率命中
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可以理解为投篮总是中40%
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那么投10次 自然是4次投中
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可以这样来理解这个期望值
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可以这样来理解这个期望值
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下面来证明一下这就是二项分布的期望值
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下面来证明一下这就是二项分布的期望值
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想想 二项分布中 X=k的概率是多少
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想想 二项分布中 X=k的概率是多少
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我还是用这个篮球的例子来讲解
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我还是用这个篮球的例子来讲解
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k可以是投中3次或者多少次
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k可以是投中3次或者多少次
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k可以是投中3次或者多少次
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n次投篮 从中选k
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n次投篮 从中选k
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之前我们做过很多了
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后面还要乘以每一种基本情况的概率
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后面还要乘以每一种基本情况的概率
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基本情况也就是中k次 不中n-k次
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于是需要乘以命中率p的k次方 p自乘k次
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这是命中k次
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还需要射失剩下的n-k次 射失的概率是1-p
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还需要射失剩下的n-k次 射失的概率是1-p
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命中k次 射失次数就必然是n-k次
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命中k次 射失次数就必然是n-k次
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命中k次 射失次数就必然是n-k次
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总的来说 这就是二项分布中成功k次的概率
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总的来说 这就是二项分布中成功k次的概率
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我们知道 随机变量的期望值是概率加权平均值
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我们知道 随机变量的期望值是概率加权平均值
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我们知道 随机变量的期望值是概率加权平均值
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我可不希望这一节让你们感到迷惑
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这一节至少需要记住这个 就够了
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这一节至少需要记住这个 就够了
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后面的技术性比较强
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不过能够帮助熟悉Σ等符号
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同时也是对二项式系数的复习
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同时也是对二项式系数的复习
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总之 期望值就是这些经过概率加权之后的和
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总之 期望值就是这些经过概率加权之后的和
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也就是将X=k的概率乘以k 然后全部加起来
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也就是将X=k的概率乘以k 然后全部加起来
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对每一个k
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所以二项分布的随机变量X 其期望值是
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所以二项分布的随机变量X 其期望值是
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求和
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k从0一直到n 投篮中表示不中到全中
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k从0一直到n 投篮中表示不中到全中
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k从0一直到n 投篮中表示不中到全中
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每一个求和项是结果k乘以k次投中的概率
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每一个求和项是结果k乘以k次投中的概率
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k次投中的概率也就是这个
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k次投中的概率也就是这个
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即k乘以n选k乘以p的k次方乘以1-p的n-k次方
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即k乘以n选k乘以p的k次方乘以1-p的n-k次方
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然后进行一些代数求和运算
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然后进行一些代数求和运算
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首先我们可以这样处理一下这个求和式
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首先我们可以这样处理一下这个求和式
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第一项的k=0
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第一项的k=0
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所以第一项整个为0
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这一项对求和没有贡献
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这一项对求和没有贡献
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整个求和式可以写成
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0乘以n选0乘以p的0次方乘以1-p的n-0次方
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0乘以n选0乘以p的0次方乘以1-p的n-0次方
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加0乘以n选1乘以p的1次方乘以1-p的n-1次方
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加0乘以n选1乘以p的1次方乘以1-p的n-1次方
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一直加下去 直到k=n为止
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也就是n乘以n选n乘以p的n次方乘以1-p的n-n次方
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也就是n乘以n选n乘以p的n次方乘以1-p的n-n次方
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这是求和的展开式
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这第一项为0 因为k=0 0乘以任何数为0
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这第一项为0 因为k=0 0乘以任何数为0
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这第一项为0 因为k=0 0乘以任何数为0
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因此这一项可以在求和过程中忽略
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求和可以写成这个形式
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这和上面的求和是一样的
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这和上面的求和是一样的
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随机变量的期望值就是这个和
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k不需要从0开始 从1开始即可
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k=1一直到n k乘以n选k
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乘以p的k次方 乘以1-p的n-k次方
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以上只是将第一项去掉了
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以上只是将第一项去掉了
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这对后面的化简很有用处
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这对后面的化简很有用处
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下面把二项式系数写出来
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下面把二项式系数写出来
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哦 我的iPod同步弹出来了
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关掉它 然后回来
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下面把二项式系数写出来
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下面把二项式系数写出来
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k从1到n
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k乘以n!/[k!(n-k)!]
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k乘以n!/[k!(n-k)!]
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乘以p的k次方乘以1-p的n-k次方
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这里k/k!还可以进行一些化简
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这里k/k!还可以进行一些化简
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我可以重写一下k!
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k!也就是k?(k-1)?(k-2)…一直乘到1
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k!也就是k?(k-1)?(k-2)…一直乘到1
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k!也就是k?(k-1)!
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因为这是k乘以k-1一直到1
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因为这是k乘以k-1一直到1
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这个可以重写为k?(k-1)!
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这样k和k就可以消掉
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这样k和k就可以消掉
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于是整个式子又可以重写
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于是整个式子又可以重写
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这样就得到
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求和 k从1到n n!/[(k-1)!(n-k)!]
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求和 k从1到n n!/[(k-1)!(n-k)!]
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乘以p的k次方 乘以1-p的n-k次方
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继续进行化简 最后我们要化简成np
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继续进行化简 最后我们要化简成np
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继续进行化简 最后我们要化简成np
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我们可以提出一个np来
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然后看其它东西能否得到1
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n!可以用上面的技巧
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n!可以写成n?(n-1)!
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而p的k次方可以写成p乘p的k-1次方
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然后可以提出n和p
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有np乘以求和 k从1到n
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后面是(n-1)!/[(k-1)!(n-k)!]
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后面是(n-1)!/[(k-1)!(n-k)!]
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乘以p的k-1次方 乘以1-p的n-k次方
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乘以p的k-1次方 乘以1-p的n-k次方
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我们希望期望值是np
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也就是说 上面这个式子
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应该等于这个
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所以最终目的是让这个求和式等于1
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为了实现这个目的 我将进行换元
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令a=k-1
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令a=k-1
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b=n-1
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那么n-k等于多少
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a=k-1 则a+1=k
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然后b+1=n 那么n-k=a+1-(b+1)=a-b
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然后b+1=n 那么n-k=a+1-(b+1)=a-b
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然后b+1=n 那么n-k=a+1-(b+1)=a-b
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继续化简 有np乘以整个和
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继续化简 有np乘以整个和
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k从1到n
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k=1时 a等于0
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k=n时 a=n-1 所以a是从0到n-1
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k=n时 a=n-1 所以a是从0到n-1
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k=n时 a=n-1 所以a是从0到n-1
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k=n时 a=n-1 所以a是从0到n-1
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而n-1又等于b
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所以a是从0到b 有点绕
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你可以停下来琢磨琢磨
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我已经超时了 必须得加快
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b=n-1
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所以有b! 除以k-1的阶乘
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这也就是a!
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然后n-k=… 我写反了 应该是b-a
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然后n-k=… 我写反了 应该是b-a
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n-k=b+1-(a+1)=b-a
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n-k=b+1-(a+1)=b-a
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所以这里是(b-a)!
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后面是p的k-1次方 也就是p的a次方
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乘以1-p的n-k次方
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仍然有n-k=b-a
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基本完成 这个是什么
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基本完成 这个是什么
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我以一种更简单的方式重写一下
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这等于npΣ… a从0到b
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其中这是b选a 从b中选a的不同选法种数
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其中这是b选a 从b中选a的不同选法种数
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乘以p的a次方 乘以1-p的b-a次方
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这是什么
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这里是对二项分布的每一项求和
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比如a=0的概率是多少
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这是每一种a值的概率
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然后把所有放到一起求和
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我简单画个图
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a=0的概率是这么多
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a=1时是另外一个概率 一直下去 越来越高
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a=1时是另外一个概率 一直下去 越来越高
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最后得到一个接近钟形曲线的形状
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这一项对应于每一个概率
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每个长方形代表这其中一项
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a=0对应第一项 a=1对应第二项
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a=2对应第三项 一直到a=b
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所有这些相加 这些都是概率值
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这相当于随机变量取到任意一个值的概率
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随机变量取到任意某个值的概率
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也就是所有可能的概率加起来
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结果肯定等于1
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以投硬币为例
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以投硬币为例
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这等于0次正面的概率+1次正面概率
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这等于0次正面的概率+1次正面概率
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加2次正面的概率+3次正面的概率
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一直加到b次正面的概率
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所有情况中任意一种发生的概率
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也就是整个概率分布上的和 也就是1
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也就是整个概率分布上的和 也就是1
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这样随机变量X的期望值就是np了
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这样随机变量X的期望值就是np了
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其中n是试验次数 p是每次成功的概率
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其中n是试验次数 p是每次成功的概率
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该公式只针对二项分布 不针对其它分布的随机变量
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该公式只针对二项分布 不针对其它分布的随机变量
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只对二项分布的随机变量X成立
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只对二项分布的随机变量X成立
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这次超时太多了 下次见
