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Eu acho que é razoável fazer mais um
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problema de equações diferenciais separáveis, então vamos fazê-lo.
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A derivada de y em relação a x é igual a y
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cosseno de x dividido por 1 mais 2y quadrado, e eles nos dão
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uma condição inicial de que y 0 é igual a 1.
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Ou quando x é igual a 0, y é igual a 1.
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E eu sei que fizemos alguns já, mas uma outra forma de
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pensar em equações diferenciais separáveis é
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realmente, tudo o que você está fazendo está diferenciação
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implícita no sentido inverso.
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Ou outra forma de pensar sobre isso é sempre que você tomou uma
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derivada implícita, o produto final foi uma
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equacão diferencial separáveis.
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E assim, esta espero que isso forme uma conexão.
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De qualquer forma, vamos fazer isso.
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Temos que separar o de y do x é.
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Vamos multiplicar ambos os lados vezes 1 mais 2y quadrado.
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Ficamos com um mais 2y ao quadrado vezes dy dx é igual
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a y cosseno de x.
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Nós ainda não separamos totalmente o y do x eo de x.
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Vamos dividir ambos os lados desta por y, e então vamos ver.
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Nós temos 1 sobre y mais 2y ao quadrado dividido por y, que é
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apenas 2y, dy dx vezes é igual ao cosseno de x.
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Eu posso apenas multiplicar ambos os lados por dx.
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1 sobre y mais vezes 2y dy é igual ao cosseno de x dx.
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E agora podemos integrar ambos os lados.
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Então qual é o integrante da 1 sobre y em relação a y?
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Eu sei que sua reação instintiva é o log natural de y, que é
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correto, mas há realmente uma função um pouco mais ampla
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do que isso, cuja derivada é realmente uma mais y, e isso é
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o logaritmo natural do valor absoluto de y.
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E esta é apenas uma função um pouco mais amplo, porque é
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domínio inclui números positivos e negativos, só
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exclui 0.
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Enquanto log natural de y inclui apenas
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um número maior que 0.
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Log tão natural do valor absoluto de y é bom, e é
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realmente verdade que em todos os pontos diferente de 0, a sua
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derivativo é uma mais y.
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É apenas uma função um pouco mais amplo.
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Então essa é a antiderivada de uma mais de y, e nós provamos
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que, ou pelo menos provamos que o derivado de gás natural
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log de y é 1 sobre y.
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Além disso, qual é a antiderivada de 2a com
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relação a y?
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Bem, é y ao quadrado, é igual a - Eu vou fazer o
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c mais deste lado.
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Cuja derivada é co-seno de x?
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Bem, é seno de x.
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E então poderíamos acrescentar o c. mais
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Poderíamos acrescentar que c mais lá.
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E qual foi a nossa condição inicial? y de
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0 é igual a 1.
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Assim, quando x é igual a 0, y é igual a 1.
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Então ln do valor absoluto de 1 mais 1 é igual ao quadrado
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seno de 0 mais c.
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O logaritmo natural de um e, ao poder que é um?
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Bem, 0, mais 1 é - seno de 0 é 0 - é igual a C.
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Então nós começamos c é igual a 1.
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Portanto, a solução para esta equação diferencial aqui
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é, eu nem sequer tem que reescrevê-lo, descobrimos c
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é igual a 1, então podemos apenas tocar esta fora, e
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poderíamos colocar um 1.
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O logaritmo natural do valor absoluto de y y mais
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quadrado é igual ao seno de x + 1.
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E na verdade, se você fosse gráfico isso, você veria que
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y realmente nunca cai abaixo ou até atingir o eixo-x.
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Então você pode realmente se livrar desse absolutos
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função de valor lá.
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Mas de qualquer maneira, isso é apenas uma questão técnica pouco.
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Mas esta é a forma implícita de a solução para este
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não-linear.
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Isso faz sentido, porque o diferencial separável
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equações são realmente apenas
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derivados implícitos para trás.
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E, em geral, uma coisa que é tipo de divertimento sobre
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equações diferenciais, mas não como espécie de satisfação
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sobre equações diferenciais, é realmente é apenas um todo
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miscelânea de ferramentas para resolver diferentes tipos de equações.
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Não é apenas uma ferramenta ou uma teoria de que vai resolver todos
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equacão diferencial.
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Há poucos que vai resolver uma certa classe de
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equações diferenciais, mas não há apenas um
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forma consistente para resolver todos eles.
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E mesmo hoje, há diferenciais sem solução
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equações, onde a única maneira que sabemos como chegar
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soluções é usar um computador numericamente.
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E um dia eu vou fazer vídeos sobre isso.
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E na verdade, você verá que na maioria das aplicações, isso é
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o que você acaba fazendo de qualquer maneira, porque a maioria dos diferencial
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equações que você encontra na ciência ou com qualquer tipo de
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ciência, quer se trate de economia, ou física, ou
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engenharia, que muitas vezes são insolucionável, porque eles
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pode ter um derivado segundo ou terceiro envolvido, e
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eles vão se multiplicar.
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Quero dizer, eles estão apenas vai ser muito complicado, muito
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difícil de resolver analiticamente.
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E, na verdade, você está indo para resolvê-los numericamente, o que
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muitas vezes é muito mais fácil.
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Mas de qualquer maneira, espero que neste momento você tem um bom
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sentido de equações separáveis.
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Eles estão apenas a diferenciação implícita para trás, e
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é realmente nada de novo.
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Nossa próxima coisa que vamos aprender é equações diferenciais exatas,
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e depois vamos sair em mais e mais métodos.
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E então, esperamos, até o final desta lista, você terá
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um kit de ferramentas agradável de todas as maneiras diferentes para resolver
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pelo menos as equações diferenciais solúveis.
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Vejo-te no vídeo seguinte.
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