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Law of cosines

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    上个视频中
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    我们做了一个应用问题
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    我们必须
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    计算出三角形的边长
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    但是 你们知道
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    如果是直角三角形
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    仅仅用勾股定理即可
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    这是一个普通的三角形
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    它不是直角三角形
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    我们使用
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    SOH CAH TOA定义方法和简单的三角函数
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    我们得到了
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    正确的答案
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    我现在想要做的
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    就是给你们介绍
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    余弦定理
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    实际上在上个视频中我们已经证明了
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    但我想用一种更严谨的方法来证明 你们知道
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    不涉及到应用问题
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    我想告诉你们
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    一旦你们知道了余弦定理
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    就可以将它应用于问题中
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    就如我们以前所做的一样
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    你们会做题做得更快
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    有关余弦定理我有一点混乱
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    因为我不喜欢记东西
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    大家知道 当你们40岁时
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    可能不记得
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    余弦定理了
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    但是如果你们有能力
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    从三角函数开始
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    一直推理出 你们将一直能够记得余弦定理
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    如果你们在40岁时还做三角题目
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    我将会很受感动 谁知道呢？
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    那么让我们开始看看
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    余弦定理是关于什么的
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    我们知道这个角θ
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    我们称这个边为- 我不知道 为a吧
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    不 称它为b吧
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    在这里有一点随意
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    实际上 我们用边的颜色来标记吧
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    称这条边为b 这条边为c
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    这条边为a
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    如果这是一个直角三角形
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    我们就可以使用
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    勾股定理了 但是现在我们不能
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    那我们做什么呢？
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    我们知道a
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    假设我们知道b 知道c
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    知道θ 然后求a
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    通常 只要你知道他们中的三个
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    一旦你知道了余弦定理
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    就能求出第四个量
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    我们怎么做呢？
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    我们将会使用和
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    做上个问题一样的方法来做这个问题
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    在这里 我们可以画一条线
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    哦 天哪 画乱了
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    我还以为我在使用直线工具
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    编辑 撤销
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    我可以画一条像这样的线
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    我就有了两个直角
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    一旦我有了直角三角形
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    我就可以开始
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    使用三角函数和勾股定理
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    等等
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    让我们瞧瞧 这是个直角
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    这是个直角
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    这条边是多少？
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    我换个颜色
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    我可能要
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    用到所有的颜色
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    仅仅为了有助于你们理解
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    这条边是多长？
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    这条紫色的边多长呢？
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    这条紫色的边正好 你们知道
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    可以使用SOH CAH TOA
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    我刚要把SOH CAH TOA写到这上面
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    这条紫色的边是θ的邻边
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    这条蓝色或说淡紫色的边b
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    是这个直角三角形的斜边
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    所以我们知道
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    我要固定使用一种颜色
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    因为如果我一直换颜色
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    我就要一直换下去
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    我们知道cosθ 我们称这条边
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    我们称这条边为 我不知道
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    我们称之为d 边d
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    我们知道cosθ等于d除以b
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    对吧？
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    我们知道b
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    那么d等于什么呢？
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    它等于 bcosθ
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    现在 称这儿的这条边为e
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    那么e是什么？
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    e是整个c边-
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    c边 这很有趣
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    整个c边减去d边 对吧？
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    所以e等于c减去d
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    我们刚解出了d 所以e等于
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    c减bcosθ
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    所以这就是e
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    我们通过这个方法求出了e
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    那么 这条洋红色的边是多少？
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    我们称这条洋红色的边为
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    我们称洋红色边为m
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    m是θ的对边
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    现在 我们就可以求出它了
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    我们同样求出了c
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    但是我们知道b b很简单
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    什么样的关系得到m除以b呢？
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    或说什么样的关系包含对边和斜边呢？
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    是正弦关系 对边除以斜边
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    所以我们知道m除以b等于sinθ
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    我们知道 我写在这里
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    m除以b 正确 因为这是斜边
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    等于sinθ
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    或说m等于bsinθ 对吗？
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    所以我们算出m 算出e
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    现在我们想算出a
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    这下怎么做就很清楚了
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    我们有一个直角三角形的两条边
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    我们要算出斜边
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    我们可以用勾股定理
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    勾股定理告诉我们
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    a的平方等于m的平方
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    加上e的平方 对吧？
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    就是另外两条边的平方
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    m的平方加上e的平方等于多少？
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    我随便换一种颜色
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    a的平方等于m的平方(加上)-
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    m等于bsinθ
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    所以它等于bsinθ的平方加上e的平方
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    我们算出来e等于这个
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    所以加上(c-bcosθ)的平方
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    现在 让我们用代数知识慢慢来做
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    所以这个等于bsin- b的平方乘以sinθ的平方
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    sinθ的平方就是
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    sinθ的平方 对吧？
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    我们需要把括号里面拆开
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    尽管我不喜欢这么做
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    我把它乘开
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    c的平方减去2cbcosθ加上b的平方乘以cosθ的平方
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    对吧？
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    我只是通过相乘把这个展开
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    现在我来看看能不能做点有趣的事
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    如果我们把这项和这项合并
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    我们得到 这两个项等于b方乘以sinθ方
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    加上b的平方乘以cosθ
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    这个应该取平方 对了
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    因为我们对它取平方
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    b的平方cosθ的平方
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    然后我们已经加上c的平方
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    减去2bccosθ
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    那么 这个可以化简成什么呢？
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    这个和b的平方乘以
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    sinθ的平方加上cosθ的平方是一样的
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    你可能突然想到了什么
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    它加上c的平方减去2bccosθ
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    对任何角度来讲
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    它的正弦的平方加上余弦的平方是1
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    这是以前使用的恒等式之一
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    这儿是勾股定理
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    所以这等于1 然后我们还剩下-
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    回到我最初的颜色
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    我们差不多做出来了 a的平方等于
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    这一项变成1 所以b取平方
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    我们只留下b的平方加上c的平方
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    减2bccosθ
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    这很工整
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    这叫做余弦定理
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    余弦定理很有用
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    如果你们知道任何一个三角形的一个角
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    和两条边
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    你们可以求出另一条边
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    实际上 如果你们愿意
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    如果知道三角形的三条边
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    就可以求出它的任意一个角
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    所以这也很有用
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    为什么我有点- 你们知道 这里
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    我不
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    如果你们正在学习三角知识
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    你们可能参加考试 你们应该记住这个公式
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    因为这会令你们做题更快
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    这样会更快地
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    得到答案
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    如果我不知道一个东西是如何得来的
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    我是不喜欢记住它的
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    因为一两年后
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    当你们进入大学
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    过了四年 当你们看到三角形
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    你们可能忘记了余弦定理
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    如果突然遇到一个三角问题
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    最好通过推导得出结论
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    如刚才所说 这是余弦定理
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    如果你们使用余弦定理
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    我们刚才做的那个问题早就解出来了
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    我们更快地解出来 因为我们刚才
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    你们知道 只要建立三角形
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    然后代入余弦定理
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    你们可能已经在上节那个偏离正常航线的问题中
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    算出a来了
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    下个视频再见
Title:
Law of cosines
Description:

Introduction to the law of cosines to solve for a side of a triangle when 2 sides and an angle are known.
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Video Language:
English
Duration:
09:26
oliviagao8971 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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