Return to Video

Ví dụ: tính e_ bằng cách sử dụng giới hạn sai số Lagrange | AP Giải tích BC | Khan Academy

  • 0:00 - 0:02
    Khi ước lượng e mũ 1,45 bằng cách
  • 0:02 - 0:05
    sử dụng đa thức Taylor tại x bằng 2,
  • 0:05 - 0:08
    thì bậc nhỏ nhất của đa thức để sai số
  • 0:08 - 0:11
    nhỏ hơn 0,001 là bao nhiêu?
  • 0:11 - 0:14
    Thông thường, nếu bạn thấy trường hợp như thế này,
  • 0:14 - 0:16
    nếu mình đang ước lượng một hàm số
  • 0:16 - 0:19
    với đa thức Taylor lân cận một giá trị nào đó,
  • 0:19 - 0:22
    và mình muốn biết là mình cần đa thức đến bậc mấy
  • 0:22 - 0:24
    để có thể giới hạn sai số?
  • 0:24 - 0:26
    Câu hỏi này gợi ý cho chúng ta sử dụng
  • 0:26 - 0:30
    cận sai số Lagrange hoặc là định lý phần dư của dãy Taylor.
  • 0:30 - 0:32
    Để mình nhắc lại định lý,
  • 0:32 - 0:35
    mình đang ôn lại định lý phần dư của dãy Taylor,
  • 0:35 - 0:38
    và nó cho mình biết giá trị tuyệt đối của phần dư
  • 0:38 - 0:40
    của đa thức Taylor bậc n,
  • 0:40 - 0:43
    sẽ nhỏ hơn phần này ở ngay đây.
  • 0:43 - 0:47
    Bây giờ thì n là bậc của đa thức của chúng ta
  • 0:47 - 0:49
    vậy đây sẽ là n.
  • 0:49 - 0:53
    x ở đây sẽ là giá trị x mà chúng ta sẽ dùng để tính sai số,
  • 0:53 - 0:56
    trong trường hợp này x sẽ bằng 1,45.
  • 0:56 - 0:58
    Và c sẽ là nơi mà đa thức Taylor của chúng ta sẽ lân cận.
  • 0:58 - 1:00
    Nhưng mà M thì sao?
  • 1:00 - 1:03
    Thì M sẽ là cận trên của giá trị tuyệt đối
  • 1:03 - 1:06
    của đạo hàm thứ n cộng 1 của hàm số của mình
  • 1:06 - 1:07
    Và nghe thì có vẻ khó,
  • 1:07 - 1:09
    nhưng nó sẽ trở nên dễ hiểu hơn
  • 1:09 - 1:12
    khi mà chúng ta đã thực sự giải ra bài toán.
  • 1:12 - 1:15
    Vậy với bài toán này, chúng ta đang cố gắng
  • 1:15 - 1:17
    ước lượng e mũ x.
  • 1:17 - 1:21
    Vậy mình có thể viết f(x), để mình viết như thế này.
  • 1:21 - 1:26
    Vậy cho nên f(x) sẽ bằng với e mũ x,
  • 1:26 - 1:29
    và chúng ta đang cần ước lượng f(1,45).
  • 1:29 - 1:32
    Và hãy để tìm ra được cận của chúng ta ở đây,
  • 1:32 - 1:34
    để biết được M bằng mấy, hãy nhớ rằng
  • 1:34 - 1:36
    đạo hàm bậc nhất của hàm số này
  • 1:36 - 1:38
    sẽ là e mũ x,
  • 1:38 - 1:40
    đạo hàm bậc 2 cũng là e mũ x,
  • 1:40 - 1:41
    đạo hàm bậc n cũng vậy,
  • 1:41 - 1:44
    đạo hàm bậc n cộng một cũng là e mũ x.
  • 1:44 - 1:49
    Vậy cho nên đạo hàm bậc n cộng một của f
  • 1:49 - 1:50
    sẽ bằng
  • 1:50 - 1:53
    e mũ x, thật là tiện nhỉ.
  • 1:53 - 1:55
    Những bài toán này sẽ rất rất khó
  • 1:55 - 2:00
    nếu việc tìm cận cho đạo hàm bậc n cộng một khó.
  • 2:00 - 2:03
    Thì chúng ta đã biết e mũ x
  • 2:03 - 2:05
    và mình cũng có thể
  • 2:05 - 2:08
    lấy trị tuyệt đối của cái này, nó sẽ trở nên dương,
  • 2:08 - 2:10
    e mũ x sẽ bé hơn hoặc bằng
  • 2:10 - 2:15
    hãy cho rằng nó sẽ bé hơn hoặc bằng e bình phương
  • 2:15 - 2:17
    với mọi x lớn hơn 0 và
  • 2:17 - 2:23
    bé hơn hoặc bằng 2.
  • 2:23 - 2:26
    e mũ x sẽ không bị giới hạn
  • 2:26 - 2:28
    trên cả miền xác định của nó.
  • 2:28 - 2:29
    Nếu x tiến tới vô cực,
  • 2:29 - 2:31
    e mũ x cũng sẽ tiến tới vô cực.
  • 2:31 - 2:33
    Nhưng ở đây mình đang dựng một khoảng
  • 2:33 - 2:36
    chứa điểm x mà mình đang quan tâm tới.
  • 2:36 - 2:39
    Hãy nhớ rằng x mà mình đang quan tâm tới là 1,45
  • 2:39 - 2:42
    và cận của mình cũng bao gồm cả nơi mà
  • 2:42 - 2:44
    hàm số lân cận của mình tại x bằng 2.
  • 2:44 - 2:48
    Vậy mình đã biết rằng hàm số bị giới hạn bởi e bình phương
  • 2:48 - 2:50
    nên mình có thể sử dụng e bình phương
  • 2:50 - 2:53
    như là M của mình.
  • 2:53 - 2:55
    Mình có thể xác định cận này.
  • 2:55 - 2:58
    Và bây giờ, mình có thể sử dụng thẳng
  • 2:58 - 2:59
    cận sai số Lagrange.
  • 2:59 - 3:02
    Chúng ta có thể nói phần dư của
  • 3:02 - 3:03
    đa thức Taylor bậc n,
  • 3:03 - 3:06
    mình muốn giải ra được n.
  • 3:06 - 3:11
    Mình muốn biết giá trị nào của n sẽ cho chúng ta cận sai số
  • 3:11 - 3:13
    thích hợp tại x bằng 1,45.
  • 3:13 - 3:17
    Khi x bằng 1,45 thì hàm số sẽ bé hơn hoặc bằng
  • 3:17 - 3:21
    giá trị tuyệt đối, vậy M của mình sẽ bằng
  • 3:21 - 3:23
    e bình phương chia cho
  • 3:23 - 3:30
    n cộng một giai thừa nhân với
  • 3:30 - 3:32
    1,45, là giá trị x mà mình quan tâm,
  • 3:32 - 3:34
    đó là nơi mà mình muốn tính
  • 3:34 - 3:35
    cận sai số xung quanh,
  • 3:35 - 3:37
    và trừ cho nơi mình đang lân cận,
  • 3:37 - 3:41
    trừ cho 2 mũ tất cả n cộng một.
  • 3:41 - 3:44
    Bây giờ 1,45 trừ 2
  • 3:44 - 3:46
    sẽ bằng với trừ 0,55.
  • 3:46 - 3:48
    Hãy để mình viết nó.
  • 3:48 - 3:50
    Vậy cái này sẽ là
  • 3:50 - 3:54
    trừ 0,55
  • 3:54 - 3:56
    mũ n cộng một.
  • 3:56 - 4:00
    Và chúng ta muốn giải xem giá trị nào của n thì
  • 4:00 - 4:05
    cả phần này đây sẽ bé hơn 0,001.
  • 4:05 - 4:08
    Hãy biến đổi số học một chút nhé.
  • 4:08 - 4:11
    Đơn thức này sẽ dương, đơn thức này cũng sẽ dương.
  • 4:11 - 4:12
    Phần này ở đây
  • 4:12 - 4:14
    không phải là số hạng riêng biệt,
  • 4:14 - 4:16
    nhưng mà e bình phương sẽ dương.
  • 4:16 - 4:18
    n cộng 1 giai thừa cũng sẽ dương,
  • 4:18 - 4:21
    số trừ 0,55 này mũ một số nào đó,
  • 4:21 - 4:23
    thì sẽ liên tục thay đổi giữa dương và âm.
  • 4:23 - 4:26
    Nhưng bởi vì chúng ta đang lấy trị tuyệt đối,
  • 4:26 - 4:28
    chúng ta có thể viết nó như sau.
  • 4:28 - 4:30
    Chúng ta có thể viết nó là e bình,
  • 4:30 - 4:35
    vì chúng ta đang lấy giá trị tuyệt đối, nhân với 0,55
  • 4:35 - 4:41
    mũ n cộng 1 chia cho n cộng 1 giai thừa
  • 4:41 - 4:46
    phải bé hơn 0,001.
  • 4:46 - 4:50
    Hoặc là, vì chúng ta muốn giải ra n,
  • 4:50 - 4:53
    hãy chia cả hai vế cho e bình phương.
  • 4:53 - 4:56
    Vậy nên chúng ta có thể viết là
  • 4:56 - 5:00
    hãy tìm n sao cho 0,55
  • 5:00 - 5:03
    mũ n cộng một
  • 5:03 - 5:07
    chia cho n cộng một giai thừa
  • 5:07 - 5:09
    bé hơn
  • 5:09 - 5:13
    0,001
  • 5:13 - 5:17
    chia cho e bình phương.
  • 5:17 - 5:20
    Bây giờ để tính thử cái này, mình sẽ dùng máy tính.
  • 5:20 - 5:23
    Từ đây mình chỉ đang lấy n càng ngày càng lớn
  • 5:23 - 5:26
    cho tới khi chúng ta ra được giá trị n thỏa mãn yêu cầu.
  • 5:26 - 5:29
    Và chúng ta đang muốn tìm giá trị nhỏ nhất của n để
  • 5:29 - 5:30
    thỏa mãn yêu cầu.
  • 5:30 - 5:33
    Hãy lấy máy tính ra để mình có thể
  • 5:33 - 5:35
    giải được đáp án bài này nhé.
  • 5:35 - 5:37
    Thì đầu tiên mình sẽ thử tính xem
  • 5:37 - 5:40
    1/1000 chia cho e bình phương là bao nhiêu.
  • 5:40 - 5:43
    Nhớ xóa cái này.
  • 5:43 - 5:45
    Hãy lấy e bình phương
  • 5:45 - 5:47
    và lấy nghịch đảo của nó,
  • 5:47 - 5:49
    và rồi nhân nó cho 1/1000.
  • 5:49 - 5:56
    Vậy nhân với 0,001 sẽ bằng với
  • 5:56 - 6:01
    vậy nó sẽ có ba số không, đây sẽ là hàng phần mười nghìn,
  • 6:01 - 6:02
    và sau đó là 35.
  • 6:02 - 6:05
    Vậy mình sẽ có ba số không, và mình sẽ lấy 136.
  • 6:05 - 6:11
    Như vậy là phần này sẽ phải bé hơn 0, 1 2 3 số 0
  • 6:11 - 6:13
    và sau đó là 136.
  • 6:13 - 6:17
    Nếu mình có thể tìm một n để phần này bé hơn số này,
  • 6:17 - 6:19
    vậy thì mình sẽ tới đúng đáp án.
  • 6:19 - 6:22
    Mình sẽ muốn phần này bé hơn 135.
  • 6:22 - 6:25
    thì đáp án sẽ đúng.
  • 6:25 - 6:28
    Cái này sẽ lớn hơn 135 một tí,
  • 6:28 - 6:31
    nhưng nếu mình có thể tìm một n để phần này bé hơn số này,
  • 6:31 - 6:33
    thì đáp án sẽ đúng.
  • 6:33 - 6:38
    Vậy hãy để mình viết như này, 0,55 mũ n cộng 1
  • 6:38 - 6:41
    chia cho n cộng 1 giai thừa.
  • 6:41 - 6:43
    Hãy thử một vài giá trị n nhé.
  • 6:43 - 6:46
    Mình sẽ phải lấy máy tính ra.
  • 6:46 - 6:48
    Hãy xem nào, mình đã ghi đúng chưa?
  • 6:48 - 6:50
    Đúng rồi, 0,000135.
  • 6:50 - 6:54
    Nếu mình kiếm được giá trị nào bé hơn cái này thì mình đã ra đáp án
  • 6:54 - 6:57
    bởi vì số này sẽ còn bé hơn phần này.
  • 6:57 - 6:59
    Được rồi, hãy tính nào.
  • 6:59 - 7:01
    Hãy xem xem phần này sẽ bằng gì
  • 7:01 - 7:04
    khi mà n bằng 2.
  • 7:04 - 7:07
    Mình có thể bắt đầu tại n bằng 1, n bằng 2, hoặc n bằng 3,
  • 7:07 - 7:09
    nhưng nếu n bằng 2 thỏa điều kiện,
  • 7:09 - 7:11
    thì mình sẽ thử n bằng 1.
  • 7:11 - 7:14
    Nhưng nếu n bằng 2 chưa thỏa điều kiện,
  • 7:14 - 7:16
    mình sẽ thử tiếp n bằng 3 hoặc n bằng 4.
  • 7:16 - 7:17
    Vậy hãy bắt đầu với
  • 7:17 - 7:19
    thôi thật ra hãy bắt đầu với n bằng 3.
  • 7:19 - 7:23
    Nếu n bằng 3, phần này sẽ là 0,55 mũ 4
  • 7:23 - 7:24
    chia cho 4 giai thừa.
  • 7:24 - 7:26
    Hãy làm thế nhé.
  • 7:26 - 7:29
    Vậy là 0,55
  • 7:29 - 7:34
    mũ 4 sẽ bằng nhiêu đây
  • 7:34 - 7:37
    chia 4 giai thừa,
  • 7:37 - 7:42
    thì cũng sẽ bằng chia cho 24.
  • 7:42 - 7:46
    Ồ kết quả còn không đủ thấp nữa,
  • 7:46 - 7:48
    nên hãy thử n bằng 4.
  • 7:48 - 7:51
    Nếu n bằng 4, thì cái này sẽ bằng 0,55 mũ 5
  • 7:51 - 7:53
    chia cho 5 giai thừa.
  • 7:53 - 7:57
    Vậy sẽ là 0,55
  • 7:57 - 8:00
    mũ 5 bằng nhiêu đây,
  • 8:00 - 8:03
    và sau đó chia cho 5 giai thừa,
  • 8:03 - 8:05
    cũng là chia cho 120,
  • 8:05 - 8:09
    và sẽ bằng nhiêu đó.
  • 8:09 - 8:12
    Với n bằng bốn thì mình đã gần tới rồi.
  • 8:12 - 8:15
    Mình đoán là n bằng năm sẽ đúng đó.
  • 8:15 - 8:18
    Vậy với n bằng năm, để mình xóa cái này.
  • 8:18 - 8:21
    Với n bằng năm thì mình sẽ mũ sáu,
  • 8:21 - 8:23
    và chia cho sáu giai thừa.
  • 8:23 - 8:25
    Hãy nhớ lại xem,
  • 8:25 - 8:28
    sáu giai thừa sẽ là 720.
  • 8:28 - 8:31
    Được rồi, hãy xem nào.
  • 8:31 - 8:36
    Chúng ta đang có 0,55 mũ, hãy nhớ rằng n bằng 5,
  • 8:36 - 8:38
    nên 0,55 sẽ mũ 6,
  • 8:38 - 8:40
    mũ 6,
  • 8:40 - 8:42
    và chúng ta sẽ chia cho 720,
  • 8:42 - 8:46
    chia cho 720 sẽ bằng nhiêu đây
  • 8:46 - 8:48
    và số này chắc chắn
  • 8:48 - 8:50
    là sẽ bé hơn số này ở đây.
  • 8:50 - 8:53
    Chúng ta đã có 4 số 0 đúng trước số 3 ở sau dấu phẩy,
  • 8:53 - 8:55
    ở đây thì chỉ có 3 số 0 thôi.
  • 8:55 - 8:59
    Vậy nên khi n bằng 5 thì giá trị này sẽ đủ thấp,
  • 8:59 - 9:02
    phần dư này sẽ đủ thấp,
  • 9:02 - 9:05
    và nó sẽ bé hơn giá trị này ở ngay đây.
  • 9:05 - 9:08
    Vậy nên là, đa thức bậc thấp nhất
  • 9:08 - 9:12
    để sai số nhỏ hơn 1/1000 là bao nhiêu?
  • 9:12 - 9:16
    Đáp án sẽ là 5, giá trị n của chúng ta,
  • 9:16 - 9:19
    sai số chắc chắn sẽ nhỏ hơn cái này.
Title:
Ví dụ: tính e_ bằng cách sử dụng giới hạn sai số Lagrange | AP Giải tích BC | Khan Academy
Description:

Giới hạn sai số Lagrange (còn gọi là thuyết số dư Taylor) có thể giúp mình xác định bậc của đa thức Taylor/Maclaurin dùng để tính gần đúng hàm số với giới hạn sai số cho trước. Xem nó thế nào khi tính gần đúng e_ tại x=1.45.

Luyện tập bài này trên Khan Academy bây giờ:
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/e/taylor-polynomial-approximation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/visualizing-taylor-series-for-e-x?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/lagrange-error-bound-for-sine-function?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

AP Giải tích BC trên Khan Academy: Học AP Giải tích BC - mọi thứ từ AP Giải tích AB và thêm vài thứ hay ho nữa, ví dụ như dãy Taylor, để bạn sẵn sàng cho kì thi AP.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh AP Giải tích BC của Khan Academy:
https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:20

Vietnamese subtitles

Incomplete

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.