你能解答囚犯找盒子的謎題嗎？尤西．艾爾朗 (Yossi Elran)

完整的課程請見：http://ed.ted.com/lessons/can-you-solve-the-prisoner-boxes-riddle-yossi-elran

你最喜愛的樂隊演出的時候很出色……但並不怎麼擅長組織與編排工作。他們老是在巡演的時候放錯樂器，這讓他們的經理十分惱火。你能解答經理給樂手們提出的燒腦謎題，確保他們能按時參加演出嗎？讓艾爾朗來揭開謎底吧。

該課程出自尤西．艾爾朗 (Yossi Elran)
動畫出自耙藝工作室 (Artrake Studio)

你最喜愛的樂隊演奏的時候很出色，

但並不怎麼擅長組織與編排工作。

他們老是在巡演的時候放錯樂器，

這讓他們的經理十分惱火。

就在一場大型音樂會的當天，

這個樂隊醒來發現他們被綁在

一個沒有窗戶並且隔音的練習室。

他們的經理解釋了這是怎麼回事。

在外面，一共有十個大盒子。

每一個裝著一件你們的樂器，

但別被上面的圖片迷惑了，
他們都是隨機放置的。

每次我會讓你們其中的一人出去。

這時候你們可以查看任意五個盒子。

然後保安會把你們帶回巴士。

你們不能觸碰樂器，

也不能以任何形式
同他人交流你發現了什麼。

不能在盒子上做記號，
不能喊叫，什麼都不能。

如果你們每人都能找對你們的樂器，

你們今晚就能演出。

否則演出將被取消。

你們有三分鐘的思考時間，
然後我們就開始。

整個樂團都十分絕望。

畢竟，如果只是隨機看五個盒子，

每個人只有 50% 的機會
找到自己的樂器。

十個人都找對的幾率就更低了——

只有 1024 分之 1。

但是突然，

鼓手想出了一個有效的策略，

有大於 35% 的機率能成功。

你能想出來這個策略是什麼嗎？

如果你想自行思考該策略的話，
請在下一畫面按暫停！

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鼓手是這麼說的：

每人首先打開
有自己樂器圖片的盒子。

如果裡面就是你們的樂器，
那就完成了。

如果不是，就看看裡面是什麼，

再打開有該樂器圖片的盒子。

以此類推，直到找到你們各自的樂器。

其他樂隊成員們都表示懷疑，

但令人驚奇的是，
他們最終都找到了各自的樂器。

幾小時後，他們為成千上萬
喜愛他們的粉絲帶來了精彩演出。

為什麼鼓手的策略能得以成功呢？

每個樂手的選擇
都是一個相聯結的序列，

該序列始於有各自樂器圖片的盒子，

終於實際裝有各自樂器的盒子。

值得注意的是，繼續以此類推的話，
他們的選擇將回到最初的盒子。

所以這其實是一個循環。

比如說，如果盒子是按此法擺放，

歌手會先打開第一個盒子找到鼓，

然後打開第八個盒子找到貝斯，

然後打開第三個盒子找到麥克風，

這也將指引他回到第一個盒子。

這樣比隨機猜五個盒子有效多了。

因為從有他們各自樂器
圖片的盒子開始找，

每位樂手都將選擇限制在
包含他們各自樂器的循環裡，

並且有不錯的機率，大概有 35%，

所有這樣的循環只要五步或者更少。

我們如何算出這個機率的呢？

為了簡便，我們舉一個簡化的例子，

只有四種樂器，
每個樂手最多只能打開兩個盒子。

我們先來看看失敗的概率，

也就是說需要打開三個或者四個盒子

才能猜對自己的樂器的概率。

總共有六種不同的四個步驟循環。

計算這個的一個有趣的辦法
是去畫一個方形。

把四個樂器分別擺到四個角，

然後畫出對角線。

看看你究竟能找出多少獨特的循環，

注意這兩種循環其實是同一種，

只是始於不同的起點而已。

然而，這兩種就不相同啦。

我們用三角形就能觀察到
八種不同的三個步驟的循環。

總共有四種三角形，

取決於哪一種樂器不含在其中，

而每種三角形有兩種不同的路徑。

所以在總共 24 種盒子的
排列組合中，

有 14 種會失敗，

還有 10 種會成功。

這種計算方法適用於
任何有偶數個樂手的情況，

但是如果你想要一個簡便辦法，

可以概括成一個方便的方程式。

代入 10 位樂手，
得出約 35% 的概率。

如果有 1,000 位樂手呢？

1,000,000 位呢？

隨著 n 的增大，概率接近 30%

並不能完全保證成功，

但如果樂手運氣不錯，

總不至於是毫無希望的。

如果大家喜歡這這個謎題，
就再來試試這兩個吧。