Уравнение на права по дадени ъглов коефициент и точка от правата

Начертал съм една жълта права.

Да кажем, че знаем две неща за тази права.

Знаем, че има ъглов коефициент (наклон) m

и че точката (a; b) лежи на правата.

Въпросът, на който ще опитаме да си отговорим,

е можем ли лесно да намерим уравнение

за тази права, като използваме дадената информация.

Нека опитаме.

Всяка точка от тази права, или всяко (x; y) от правата,

трябва да отговори на условието,

че наклонът между тази точка...

да кажем, че това е точка (x; y) –

произволна точка от правата.

Това, че точката лежи на правата, ни казва, че

наклонът между (a; b) и (x; y) трябва да е равен на m.

Нека използваме този информация, за да съставим уравнение.

Какъв е наклонът между (a; b) и (x; y)?

Припомни си, че ъгловият коефициент (наклонът) е просто

промяната на у върху промяната на х.

Нека запиша това.

Ъгловият коефициент е равен на промяната на у върху промяната на х.

Този малък триъгълник е гръцката буква делта,

с която обозначаваме накратко "промяна в".

Да видим нашата промяна на у.

Ако тръгнем от у = b и стигнем до

това произволно у тук,

тази промяна в у ще е (у – b).

Нека запиша това със същите цветове.

Така, това ще е у минус малкото ми оранжево b.

И това върху промяната на х.

По същата логика, започваме при х = а

и завършваме при х равно на

това случайно х, което сме си избрали.

Значи, промяната в х ще бъде тази крайна тачка

минус началната ни точка, минус а.

И знаем, че това е наклонът между тези две точки.

Това е наклонът между всеки две точки от тази права.

И това ще е равно на m.

Ето какво току-що направихме – съставихме

уравнение, което описва тази права.

Може да не е във вид, с който сте свикнали,

но това е уравнение, което показва,

че всяка точка (x; y), която изпълнява това уравнение,

ще бъде на правата, защото за всяка точка (x; y)

и тази точка тук, (a; b),

ъгловият коефициент ще бъде m.

Нека сега обърнем това във вид,

който ще разпознаем по-лесно.

Ще поставя това.

За да опростя израза малко,

или поне за да се отърва от това (х – а) в знаменателя,

ще умножа двете страни по (х – а).

Тогава имаме (х – а) от лявата

и (х – а) от дясната страна.

Нека сложа скоби тук.

Умножаваме двете страни по (х – а).

Целта е да получим (х – а), делено на

(х – а), което е равно на 1.

И от дясната страна

ще имаме просто m по (х – а).

Всичко това е опростено до

у – b = m(х – а).

Това тук е видът на уравнението, който математиците

наричат уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата.

Значи това тук е уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата,

което описва тази права.

А защо се нарича така?

Много е лесно да изследваме това име.

Ето това е ъгловият коефициент (наклонът) m

на правата (в зелено).

Мога да сложа двете точки върху нея.

Ако точка (a; b) лежи върху тази права,

имам ъгловия коефициент по (х – а) е равно на (y – b).

Сега да видим защо това е полезно и

защо хората го използват.

Нека вече не използваме просто (a; b) и ъглов коефициент m.

Нека бъдем малко по-специфични.

Да кажем, че ни е дадено, че имаме права,

чийто ъглов коефициент е 2 и да кажем,

че тя минава през точката (–7; 5).

Много бързо можем да използваме тази информация

и знанието си за уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата,

за да запишем това в този вид.

Ще кажеш: уравнение, което съдържа тази точка

и има такъв ъглов коефициент е (у – b), което е 5,

у минус координата на точката,

която лежи на правата,

е равно на ъгловия коефициент по х минус координата х на точката, лежаща на правата.

Значи, минус –7.

По този начин сме записали уравнение,

което има ъглов коефициент 2 и което съдържа

ето тази точка.

И ако не ни харесва това х минус –7 тук,

можем да го препишем като х + 7.

Това е най-чистата форма уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата.

Ако искаме да опростим малко,

можем да запишем като у – 5 = 2(х + 7).

И това е само един начин да изразим

уравнението на тази права – има и много други.

Този, с който сме най-запознати, е

уравнение по дадени ъглов коефициент и точка на пресичане с Оу.

Можем лесно да превърнем това в този вид.

За да го направим, трябва просто да разкрием скобите и да умножим по това 2.

Получаваме у – 5 = 2х + 2 по 7,

което е равно на 14.

И сега можем да се освободим от това –5 отляво,

като добавим 5 към двете страни на уравнението.

И тогава от лявата страна ни остава у,

а от дясната 2х + 19.

Това тук е уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу.

Имаме ъгловия коефициент и пресечната точка с Оу.

Значи това е уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу.

А това горе е уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата.