Return to Video

Koch Sneeuwvlok Fractaal

  • 0:00 - 0:03
    Laten we zeggen dat dit een gelijkzijdige driehoek is.
  • 0:03 - 0:05
    en wat ik wil gaan doen is een andere vorm maken
  • 0:05 - 0:07
    uit deze gelijkzijdige driehoek.
  • 0:07 - 0:09
    En ik ga dat doen door elke zijde van deze driehoek te pakken,
  • 0:09 - 0:15
    en het verdelen in drie gelijke secties, in drie gelijke secties.
  • 0:15 - 0:19
    Dus mijn gelijkzijdige driehoek was niet ideaal getekend,
  • 0:19 - 0:20
    Maar ik denk dat je het begrijpt.
  • 0:20 - 0:21
    En in de middelste sectie,
  • 0:21 - 0:23
    maak ik nog een andere gelijkzijdige driehoek
  • 0:23 - 0:26
    Dus de middelste sectie hier,
  • 0:26 - 0:29
    Ik ga een andere gelijkzijdige driehoek maken.
  • 0:29 - 0:32
    Dus het zal ongeveer als volgt eruit komen te zien.
  • 0:32 - 0:34
    En dan, hier,
  • 0:34 - 0:37
    Ik zal een andere gelijkzijdige driehoek plaatsen.
  • 0:37 - 0:40
    En dus zo zijn wij beland van de ene gelijkzijdige driehoek
  • 0:40 - 0:43
    naar iets als dat lijkt op de ster van David.
  • 0:43 - 0:45
    en dan zal ik het nog een keer doen.
  • 0:45 - 0:48
    Dus, elke van deze zijdes, ik ga ze verdelen in drie gelijke zijden.
  • 0:48 - 0:51
    In de middelste segment, ga ik een gelijkbenige driehoek plaatsen
  • 0:51 - 0:54
    Ik zal een gelijkbenige driehoek erin maken
  • 0:54 - 0:59
    Dus in de middelste segment, plaats ik een gelijkbenige driehoek.
  • 0:59 - 1:02
    Dus ik ga het doen voor elk van deze zijdes.
  • 1:02 - 1:05
    Dus laat mij dat hier doen en hier.
  • 1:05 - 1:11
    Ik denk wel dat je het idee hebt, maar ik wil het duidelijk maken dus laat me..
  • 1:11 - 1:16
    zo dan, zoals dit, en dan, kijk zoals dat, zoals dat.
  • 1:16 - 1:21
    En dan bijna klaar voor
  • 1:21 - 1:23
    En dan lijkt het op dat.
  • 1:23 - 1:24
    Dan kan ik het nog een keer doen
  • 1:24 - 1:27
    Ik kan elk van de segmenten verdelen in drie gelijke zijden
  • 1:27 - 1:28
    en teken ik nog een andere gelijkzijdige driehoek,
  • 1:28 - 1:32
    zoals hier, hier, hier , hier , hier ,hier.
  • 1:32 - 1:33
    Ik denk wel dat je kunt zien waar het naar toe gaat.
  • 1:33 - 1:37
    En ik kan hier voor altijd mee door blijven gaan.
  • 1:37 - 1:40
    Dus wat ik wil doen in deze video is nadenken over
  • 1:40 - 1:41
    wat er hier aan de hand is.
  • 1:41 - 1:42
    En wat ik eigenlijk aan het tekenen ben,
  • 1:42 - 1:45
    zolang we dit blijven doen en blijven doen,
  • 1:45 - 1:48
    ..., dan kijken we naar elke zijde,
  • 1:48 - 1:50
    we verdelen hem in gelijke zijde,
  • 1:50 - 1:52
    en dan de volgende, waar drie gelijke segmenten,
  • 1:52 - 1:53
    en dan de volgende,
  • 1:53 - 1:55
    de middelste segment we kunnen dit ook veranderen in een gelijkzijdige driehoek.
  • 1:55 - 1:58
    De vorm dat we hier aan het beschrijven zijn
  • 1:58 - 2:00
    heet de Koch Sneeuwvlokje
  • 2:00 - 2:03
    En ik weet zeker dat ik het stukje Koch verkeerd uitspreek.
  • 2:03 - 2:05
    De Koch Sneeuwvlokje
  • 2:05 - 2:08
    en het was als eerst beschreven door deze man hier,
  • 2:08 - 2:12
    wie een Zweedse wiskundige was genaamd Niels Fabian Helge von Koch
  • 2:12 - 2:15
    Ik weet zeker dat ik het verkeerd uitspreek.
  • 2:15 - 2:17
    En dit is een van de eerste beschreven fractals.
  • 2:17 - 2:20
    Dus dit is een fractal.
  • 2:20 - 2:22
    En de reden waarom dit een fractal is,
  • 2:22 - 2:24
    is dat het hetzelfde lijkt,
  • 2:24 - 2:26
    het lijkt hetzelfde op elke schaal als je er naar kijk.
  • 2:26 - 2:30
    Als je het op deze schaal bekijkt, als je het op deze manier bekijkt,
  • 2:30 - 2:32
    dan lijkt het alsof je een aantal driehoek zie met bultjes.
  • 2:32 - 2:35
    Maar als je dan hier weer zult inzommen
  • 2:35 - 2:38
    dan zie je nog steeds hetzelfde patroon.
  • 2:38 - 2:40
    En als je dan weer inzoomt,
  • 2:40 - 2:42
    zul je het nog een keer zien en nog een keer.
  • 2:42 - 2:43
    Dus een fractal is alles dat, op elke schaal,
  • 2:43 - 2:47
    of je inzoomt of uitzoomt, het lijkt allemaal hetzelfde.
  • 2:47 - 2:49
    Dat is waarom het een fractal word genoemd
  • 2:49 - 2:50
    Wat hier zo interessant aan is,
  • 2:50 - 2:54
    en waarom ik het op dit punt in de geometry afspeellijst plaats is,
  • 2:54 - 2:57
    is dat dit eigenlijk een oneindige omtrek bevat.
  • 2:57 - 2:58
    Als je dit zou blijven doen,
  • 2:58 - 3:00
    Als je echt de Koch Sneeuwvlok zou maken
  • 3:00 - 3:03
    Waar je een oneindig aantal nummers
  • 3:03 - 3:05
    op elke kleinere driehoek hier,
  • 3:05 - 3:10
    en je plaats nog een gelijkzijdige driehoek op de zijde.
  • 3:10 - 3:12
    En om te laten zien dat het een oneindige omtrek bevat
  • 3:12 - 3:13
    laten we dan eens kijken naar deze zijde kijken.
  • 3:13 - 3:16
    Dus laten we zeggen dat deze zijde,
  • 3:16 - 3:19
    Laten we zeggen we starten hier waar we gestart zijn
  • 3:19 - 3:20
    met de originele driehoek, dat is deze zijde.
  • 3:20 - 3:21
    En laten we zeggen het heeft de lengte S.
  • 3:22 - 3:24
    En dan verdelen we het in drie kleine segmenten.
  • 3:24 - 3:26
    We verdelen het in drie gelijke segmenten.
  • 3:26 - 3:31
    Dus dit zal zijn S/3, S/3 laat ik het zo opschrijven.
  • 3:31 - 3:36
    S/3, S/3 en S/3.
  • 3:36 - 3:39
    In het middelste segment, kun je een gelijkzijdige driehoek maken.
  • 3:39 - 3:42
    In het middelste segment, kun je een gelijkzijdige driehoek maken.
  • 3:42 - 3:44
    Dus elk van deze zijdes zijn S/3.
  • 3:44 - 3:47
    S/3, S/3.
  • 3:47 - 3:51
    en we weten dat de lengte van dit nieuwe stuk,
  • 3:51 - 3:53
    Ik kan het geen lijn meer noemen wat het heeft een bult in zich.
  • 3:53 - 3:57
    De lengte van dit stuk hier, deze zijde,
  • 3:57 - 3:59
    heeft nu niet de lengte van S.
  • 3:59 - 4:02
    Het is nu S/3 * 4.
  • 4:02 - 4:03
    Daarvoor was het S/3 * 3
  • 4:03 - 4:08
    nu heb je er een, twee, drie, vier segmenten dat S/3 is.
  • 4:08 - 4:10
    Dus na een keer, na een pas,
  • 4:10 - 4:15
    na een keer een aantal driehoeken plaatsen,
  • 4:15 - 4:16
    onze nieuwe zijde,
  • 4:16 - 4:24
    nadat we de bult hadden, zal zijn 4 * S/3 wat gelijk is aan 4/3 s.
  • 4:24 - 4:31
    Dus als onze originele omtrek toen het nog een driehoek was P sub 0,
  • 4:31 - 4:34
    Na een pas, na een set van bulten,
  • 4:34 - 4:36
    dan zal onze omtrek zijn,
  • 4:36 - 4:40
    Het zal 4/3 * het origineel.
  • 4:40 - 4:43
    Want elk van de zijdes zullen 4/3 groter zijn.
  • 4:43 - 4:44
    Dus als dit bestond uit drie zijdes
  • 4:44 - 4:47
    Nu zal elk van deze zijde groter zijn dan 4/3
  • 4:47 - 4:49
    Dus de nieuwe omtrek zal zijn 4/3 keer dat.
  • 4:49 - 4:52
    En dan nemen we nog een twee pas.
  • 4:52 - 4:54
    Dat word 4/3 de eerste pas.
  • 4:54 - 4:58
    Dus elk pas dat je maakt word 4/3 groter.
  • 4:58 - 5:00
    Het word gok ik zo een derde groter bij elke stap,
  • 5:00 - 5:04
    Het word 4/3 de vorige stap.
  • 5:04 - 5:06
    En als je dat doen in ontelbare keer de tijd,
  • 5:06 - 5:11
    als je het zou vermenigvuldigen met elk nummer van 4/3 een oneindig aantal keer,
  • 5:11 - 5:14
    dan krijg je een oneindig aantal nummers van ! een oneindige lengte.
  • 5:14 - 5:16
    Dus, P oneindig, P oneindig,
  • 5:16 - 5:20
    De omtrek als je dat een oneindig aantal keer zal doen, is oneindig
  • 5:20 - 5:22
    Dus dat bijzichzelf alleen is al cool,
  • 5:22 - 5:24
    Door alleen maar te denken over iets dat een oneindig aantal perimter heeft.
  • 5:24 - 5:28
    Maar wat eigenlijk leuker is, is dat het een eindige oppervlakte heeft.
  • 5:28 - 5:30
    En als ik zeg een oppervlakte dat eindig is,
  • 5:30 - 5:32
    dan is het gelimiteerd aan een stuk ruimte.
  • 5:32 - 5:34
    Om weer een vorm hiervan te maken
  • 5:34 - 5:36
    En dit zal zich nooit uitbreiden buitenom dat.
  • 5:36 - 5:39
    En om erover na te denken, ik ga niet een echt bewijs aanleveren,
  • 5:39 - 5:42
    Denk maar eens na over wat er gebeurd met elk van deze zijdes.
  • 5:42 - 5:46
    Dus in de eerste stap, hebben we deze driehoek dat hier uitspringt.
  • 5:46 - 5:50
    En als je erover nadenkt, als je tekent wat er gebeurd,
  • 5:50 - 5:52
    de volgende waarmee je deze twee driehoeken hier tekent
  • 5:52 - 5:54
    en deze twee figuren hier.
  • 5:54 - 5:56
    En dan plaats je een aantal driehoek hier,
  • 5:56 - 6:00
    en daar, en daar, en daar, en daar, enz enz enz.
  • 6:00 - 6:03
    Maar kijk, je kunt wel steeds meer en meer toevoegen,
  • 6:03 - 6:05
    je kunt een oneindig aantal nummers van deze bulten toevoegen,
  • 6:05 - 6:07
    maar je zult nooit voorbij dit punt komen.
  • 6:07 - 6:11
    En hetzelfde zal ook waar zijn voor deze zijde hier.
  • 6:11 - 6:14
    Het zal ook waar zijn voor deze zijde hier.
  • 6:14 - 6:18
    Het zal ook waar zijn voor deze zijde hier.
  • 6:18 - 6:20
    En het zal waar zijn voor deze zijde hier.
  • 6:20 - 6:22
    En dan zal het ook waar zijn voor deze zijde hier.
  • 6:22 - 6:25
    Dus ook al zou je dit een oneindig aantal keer doen,
  • 6:25 - 6:27
    deze vorm, deze Koch Sneeuwvlok
  • 6:27 - 6:30
    zal nooit een grotere oppervlakte hebben dan deze vaststaande hexagon.
  • 6:30 - 6:32
    Of het zal nooit een grotere oppervlakte hebben
  • 6:32 - 6:35
    dan de vorm dat lijkt op iets als dat.
  • 6:35 - 6:36
    En ik teken hier gewoon
  • 6:36 - 6:38
    Ik wil het buiten deze hexagon maken
  • 6:38 - 6:40
    Ik kan er een cirkel buiten plaatsen.
  • 6:40 - 6:45
    Dus dit ding wat ik tekende in het blauw, of deze hexagon wat ik tekende in paars,
  • 6:45 - 6:47
    zij hebben een vastgesloten oppervlakte.
  • 6:47 - 6:49
    En deze Koch Sneeuwvlok zal altijd vast zitten,
  • 6:49 - 6:52
    Ook al voeg je deze bulten een oneindig aantal keren toe.
  • 6:52 - 6:55
    Dus een boel coole dingen gebeuren hier.
  • 6:55 - 6:56
    Een, het is een fractal.
  • 6:56 - 6:59
    Je kunt inzoomen en het blijft hetzelfde.
  • 6:59 - 7:05
    Nog een ding is, oneindige perimter en einde oppervlakte.
  • 7:05 - 7:08
    Nu zou je kunnen zeggen, wacht, uhm, okay, dit is een abstract ding.
  • 7:08 - 7:10
    Dit soort dingen bestaan helemaal niet in de echte wereld.
  • 7:10 - 7:13
    En dit hier is een experiment
  • 7:13 - 7:15
    waar mensen over praten in de wereld van fracties.
  • 7:15 - 7:18
    En dat is het vinden van England,
  • 7:18 - 7:19
    Of je kunt het eigenlijk met elke eiland doen.
  • 7:19 - 7:21
    En Engeland lijkt dus hierop,
  • 7:21 - 7:23
    Weet je ik ben geen expert op de, weet je,
  • 7:23 - 7:24
    laten we zeggen het lijkt een beetje op dat.
  • 7:24 - 7:26
    Dus ten eerste schat je de omtrek,
  • 7:26 - 7:27
    en meet je de afstand.
  • 7:28 - 7:32
    Je kunt meten wat deze afstand is + deze afstand
  • 7:32 - 7:36
    + deze afstand + deze afstand + deze afstand + deze afstand.
  • 7:36 - 7:38
    Kijk.
  • 7:38 - 7:39
    het heeft een eindige perimter.
  • 7:39 - 7:40
    Het heeft duidelijk gezien een eindige oppervlakte, maar weet je,
  • 7:40 - 7:42
    kijk dat heeft een eindige perimter.
  • 7:42 - 7:44
    Maar je zegt, nee, nee dat is niet goed.
  • 7:44 - 7:45
    Je moet het iets beter berekenen dan dat.
  • 7:45 - 7:47
    In plaats van dat je het losjes doet,
  • 7:47 - 7:49
    moet je een aantal smallere lijnen maken.
  • 7:49 - 7:51
    Je moet een aantal smallere lijnen maken
  • 7:51 - 7:53
    Zodat je de kust een beetje kan
  • 7:53 - 7:55
    En dan zeg je, Okay dat is een veel betere schatting.
  • 7:55 - 7:59
    Maar dan, laten we zeggen als we op een bepaald stuk inzoomen,
  • 7:59 - 8:02
    als we genoeg inzoomen, als we genoeg inzoomen,
  • 8:02 - 8:04
    de eigenlijk kustlijn zal iets zijn als dit.
  • 8:04 - 8:08
    De werkelijke kustlijn heeft allerlei stukjes in zich
  • 8:08 - 8:11
    En wanneer je dit deed,
  • 8:11 - 8:14
    was je gewoon aan het meten, je was gewoon aan het meten.
  • 8:14 - 8:16
    En dan zeg je. Dat is niet de omtrek van deze kustlijn.
  • 8:16 - 8:18
    Je zult meer zijdes moeten doen.
  • 8:18 - 8:19
    Je zult iets moeten doen als dit
  • 8:19 - 8:26
    om eigenlijk de echte omtrek te krijgen van de kustlijn.
  • 8:26 - 8:29
    En dan zeg je hey dat is een goede schatting van de omtrek.
  • 8:29 - 8:32
    maar als je in zoomt op dat stuk van de kust
  • 8:32 - 8:35
    dan zal het eigenlijk niet zo eruit zien als dat.
  • 8:35 - 8:37
    Het zal eigenlijk in en uitkomen als dit.
  • 8:37 - 8:39
    Misschien lijkt het als dat.
  • 8:39 - 8:43
    Dus in plaats van deze ruige lijnen te hebben, wat het meet als dat.
  • 8:43 - 8:44
    Je zult zeggen , Oh wacht,
  • 8:44 - 8:46
    nu moet ik er nog iets beter naar kijken.
  • 8:46 - 8:48
    En je kunt dit blijven doen
  • 8:48 - 8:50
    totdat je op atomisch niveau bezig bent.
  • 8:50 - 8:55
    Dus de werkelijke kustlijn van een eiland,
  • 8:55 - 8:59
    of een continent, of wat dan ook, is eigenlijk fractisch.
  • 8:59 - 9:01
    En het is, je kunt er over nadenken
  • 9:01 - 9:03
    als de ultieme oneindige omtrek
  • 9:03 - 9:04
    Natuurlijk op een gegeven moment,
  • 9:04 - 9:05
    kom je op atomisch gebied uit,
  • 9:06 - 9:07
    en zal het niet meer hetzelfde zijn,
  • 9:07 - 9:09
    maar het is eigenlijk dezelfde fenomeen.
  • 9:09 - 9:10
    het is interessant om erover na te denken.
Τίτλος:
Koch Sneeuwvlok Fractaal
Περιγραφή:

Een vorm met een oneindige omtrek maar een eindige oppervlakte

more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:11
sebastiaanvanheteren added a translation

Dutch subtitles

Αναθεωρήσεις