-
Νομίζω ότι έχετε ξανακούσει τη λέξη 'διαιρώ',
-
όταν κάποιος σας λέει να μοιράσετε κάτι.
-
'Διαίρεσε τα λεφτά μετάξυ του αδελφού σου και εσένα'
-
ή 'μεταξύ εσένα και του φίλου σου'.
-
Και στην ουσία σημαίνει να κόψετε κάτι σε κομμάτια.
-
Οπότε ας γράψω την λέξη διαιρώ.
-
Ας πούμε πως έχω τέσσερα ίδια κέρματα.
-
Θα προσπαθήσω να τα ζωγραφίσω.
-
Αν έχω τέσσερα κέρματα σαν και αυτά.
-
Αυτή είναι η εκδοχή μου για τα κέρματα.
-
Και ας υποθέσουμε ότι είμαστε δύο
-
και ότι θα μοιράσουμε (διαιρέσουμε) τα κέρματα σε μας τους δύο.
-
Οπότε αυτός εκεί είμαι εγώ.
-
Θα δοκιμάσω να με σχεδιάσω.
-
Αυτός είμαι εγώ.
-
Για να δούμε, έχω πολλά μαλλιά.
-
Και αυτός είσαι εσύ.
-
Θα προσπαθήσω για το καλύτερο.
-
Ας πούμε ότι είσαι φαλακρός.
-
Αλλά έχεις φαβορίτες.
-
Ίσως και λίγο μουσάκι.
-
Εντάξει, αυτός είσαι εσύ και αυτός είμαι εγώ,
-
και θα διαιρέσουμε τα τέσσερα κέρματα μεταξύ μας.
-
Παρατήρησε, έχουμε 4 κέρματα
-
και θα τα μοιράσουμε μεταξύ μας.
-
Και είμαστε δύο.
-
Και θέλω να τονίσω τον αριθμό 2.
-
Οπότε θα διαιρέσουμε 4 κέρματα με το 2.
-
Θα τα μοιράσουμε μεταξύ μας.
-
Και πιθανώς να έχετε κάνει κάτι σαν και αυτό.
-
Τι συμβαίνει;
-
Λοιπόν, ο κάθε ένας από εμάς θα πάρει δύο κέρματα.
-
Οπότε ας το διαιρέσουμε.
-
Θα το διαιρέσουμε με το 2.
-
Στην ουσία, αυτό που κάνω είναι να πάρω τα 4 κέρματα
-
και να τα μοιράσω σε 2 ίσες ομάδες.
-
Δύο ίσες ομάδες.
-
Και αυτό είναι η διαίρεση.
-
Χωρίζουμε την ομάδα των κερμάτων σε δύο ίσες ομάδες.
-
Οπότε όταν διαιρείς 4 κέρματα σε 2 ομάδες...
-
αυτό ήταν 4 κέρματα εκεί.
-
Και θα το χωρίσετε σε δύο ομάδες.
-
Αυτή είναι η πρώτη ομάδα.
-
Η ομάδα ένα εδώ.
-
Και αυτή είναι η ομάδα δύο.
-
Πόσοι αριθμοί πάνε σε κάθε ομάδα;
-
Ή πόσα κέρματα έχουμε σε κάθε ομάδα;
-
Λοιπόν, σε κάθε ομάδα έχουμε ένα, δύο κέρματα.
-
Θα χρησιμοποιήσω ένα πιο φωτεινό χρώμα.
-
Έχω ένα, δύο κέρματα σε κάθε ομάδα.
-
Ένα κέρμα και δύο κέρματα σε κάθε ομάδα.
-
Οπότε να το γράψουμε μαθηματικά,.
-
νομίζω ότι αυτό είναι κάτι που έχετε κάνει,
-
πιθανώς για όσο καιρό χωρίζετε χρήματα
-
μετάξυ εσάς και των φίλων σας.
-
Για να μετακινήσω λίγο την οθόνη,
-
για να βλέπετε όλη την εικόνα.
-
Πώς το γράφουμε αυτό με μαθηματικό τρόπο;
-
Μπορούμε να το γράψουμε 4 διά -- οπότε αυτό είναι 4.
-
Ας χρησιμοποιήσω τα σωστά χρώματα.
-
Οπότε αυτό είναι 4, το οποίο είναι αυτό το 4, διαιρεμένο σε δύο ομάδες,
-
αυτές είναι οι δύο ομάδες: η ομάδα ένα είναι αυτή και η ομάδα δύο είναι αυτή.
-
Οπότε διαιρούμε σε δύο ομάδες ή δύο συλλογές.
-
4 διά 2 κάνει --
-
όταν διαιρείτε το 4 σε δύο ομάδες,
-
κάθε ομάδα θα έχει 2 κέρματα.
-
Θα κάνει 2.
-
Και ήθελα να χρησιμοποιήσω αυτό το παράδειγμα
-
γιατί ήθελα να σας δείξω
-
ότι η διαίρεση είναι κάτι που χρησιμοποιούσατε εδώ και καιρό.
-
Και κάτι ακόμα, που είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσετε,
-
είναι ότι, κατά μία έννοια, είναι το αντίθετο του πολλαπλασιασμού.
-
Εάν έλεγα ότι είχα δύο ομάδες με δύο κέρματα,
-
θα πολλαπλασίαζα τις δύο ομάδες επί δύο κέρματα η καθεμία
-
και θα έλεγα ότι έχω 4 κέρματα.
-
Κατά μία έννοια, αυτά λένε το ίδιο πράγμα.
-
Αλλά για να το κάνω πιο σαφές στο μυαλό μας
-
θα κάνουμε μερικά ακόμα παραδείγματα.
-
Θα κάνουμε αρκέτα παραδείγματα.
-
Για να γράψουμε, πόσο κάνει 6 διά --
-
θα προσπαθήσω να το κρατήσω όμορφο και χρωματιστό.
-
6 διά 3, πόσο μας κάνει αυτό;
-
Θα σχεδιάσουμε έξι αντικείμενα.
-
Μπορούν να είναι ο,τιδήποτε.
-
Ας πούμε 6 πιπεριές.
-
Δεν θα είναι πολύ δύσκολο να τις σχεδιάσουμε.
-
Λοιπόν, αυτό δεν μοιάζει με πιπεριά,
-
αλλά παίρνετε μια ιδέα.
-
Οπότε μία, δύο, τρεις, τέσσερεις, πέντε, έξι.
-
Και θα το διαιρέσω με το 3.
-
Ένας τρόπος για να το σκεφτούμε αυτό
-
είναι ότι σήμαινει ότι θέλω να διαιρέσω τις 6 πιπεριές
-
σε 3 ίσες ομάδες πιπεριών.
-
Μπορείτε να σκεφτείτε: αν 3 άνθρωποι μοιραστούν αυτές τις πιπεριές,
-
πόσες θα πάρει ο καθένας;
-
Ας τις μοιράσουμε σε 3 ομάδες.
-
Αυτές είναι οι 6 πιπεριές μας.
-
Θα τις μοιράσω σε 3 ομάδες.
-
Ο καλύτερος τρόπος για να τις μοιράσω σε 3 ομάδες είναι
-
να έχω μία ομάδα εδώ, τη δεύτερη ομάδα εδώ,
-
και εδώ την τρίτη.
-
Πόσες πιπεριές θα έχει κάθε ομάδα;
-
Θα έχει μία, δύο.
-
1, 2.
-
1, 2 πιπεριές.
-
Οπότε 6 διά 3 κάνει 2.
-
Οπότε ο καλύτερος τρόπος, ή ένας τρόπος για να το σκεφτείτε
-
είναι ότι διαιρέσατε το 6 σε 3 ομάδες.
-
Μπορείτε τώρα να το δείτε λίγακι διαφορετικά,
-
αν και όχι εντελώς διαφορετικά,
-
αλλά είναι ένας καλός τρόπος να το σκεφτείτε.
-
Μπορείτε επίσης να το σκεφτείτε σαν 6 διά 3.
-
Και ξανά, ας πούμε ότι έχουμε βατόμουρα, πιο εύκολα να τα σχεδιάσουμε.
-
Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι.
-
Και εδώ, αντί να τα χωρίζουμε σε 3 ομάδες όπως κάναμε εδώ.
-
Αυτό ήταν μία ομάδα, δύο ομάδες, τρεις ομάδες.
-
Αντί να τα διαιρούμε σε 3 ομάδες,
-
αυτό που θέλω να κάνω είναι,
-
αν διαιρώ το 6 με το 3, θέλω να το μοιράσω σε ομάδες των τριών.
-
Και όχι σε τρεις ομάδες.
-
Θέλω να το μοιράσω σε ομάδες με τρία βατόμουρα.
-
Πόσες ομάδες των τριών βατομούρων θα φτιάξω;
-
Για να ζωγραφίσω μερικές ομάδες των τριών.
-
Ώστε να είναι μία ομάδα των τριών.
-
Έχουμε 2 ομάδες των τριών.
-
Οπότε αν πάρω 6 πράγματα και τα χωρίσω σε ομάδες των τριών,
-
θα καταλήξω με ένα, δύο ομάδες.
-
Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος για να σκεφτείτε την διαίρεση.
-
Και αυτό είναι ενδιαφέρον.
-
Όταν σκέφτεστε αυτές τις σχέσεις,
-
θα δείτε μια σχέση μεταξύ 6 διά 3 και 6 διά 2.
-
Για να το ξανακάνω.
-
Πόσο κάνει 6 διά 2,
-
όταν το σκεφτόμαστε με αυτόν εδώ τον τρόπο;
-
6 διά 2, όταν το κάνουμε έτσι--
-
ας σχεδιάσω ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι.
-
Όταν σκέφτομαστε 6 διά 2 με την έννοια ότι τα χωρίζουμε σε δύο ομάδες,
-
θα καταλήξουμε ότι μπορούμε να έχουμε μία ομάδα τέτοια
-
και μία τέτοια,
-
και ότι κάθε ομάδα θα έχει 3 στοιχεία.
-
Θα έχει τρία πράγματα μέσα.
-
Οπότε 6 διά 2 κάνει 3.
-
Ή μπορείτε να το σκεφτείτε με τον άλλο τρόπο.
-
Μπορείτε να πείτε 6 διά 2 κάνει --
-
παίρνετε 6 αντικέιμενα: ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι.
-
Και τα μοιράζετε σε ομάδες των δύο
-
όπου δηλαδή κάθε ομάδα έχει δύο αντικείμενα.
-
Και αυτό είναι κάπως ευκολότερο να το κάνετε.
-
Κάθε ομάδα έχει δύο στοιχεία, λοιπόν, αυτό είναι το ένα εκεί.
-
Δεν χρείαζεται να είναι τοποθετημένα με ωραίο τρόπο.
-
Αυτό θα μπορούσε να είναι μια άλλη ομαδα
-
και αυτό μια άλλη ομάδα.
-
Δεν χρειάζεται καν να τα ζωγραφίσουμε σε σείρα.
-
Είναι απλά ομάδες των δύο.
-
Πόσες ομάδες έχουμε;
-
Έχουμε μία, δύο, τρεις.
-
Τρεις ομάδες.
-
Αλλά παρατηρείστε κάτι. Δεν είναι σύμπτωση ότι 6 διά 3 κάνει 2,
-
και ότι 6 διά 2 κάνει 3.
-
Ας το γράψω.
-
Λοιπόν, 6 διά 3 κάνει 2,
-
και 6 διά 2 κάνει 3.
-
Και ο λόγος που βλέπετε αυτή την σχέση όπου μπορείτε να ανταλλάξετε το 2 με το 3
-
είναι επειδή 2 φορές το 3 κάνει 6.
-
Ας πούμε ότι έχω δύο ομάδες των τριών.
-
Θα σχεδιάσω δύο ομάδες των τριών.
-
Να η μία ομάδα και να μία ακόμα ομάδα των τριών.
-
Οπότε δύο ομάδες των τρίων ισούνται με 6.
-
2 φορές το 3 κάνει 6.
-
Ή μπορείτε να το σκεφτείτε και ως εξής:
-
εάν έχω 3 ομάδες των δύο.
-
Οπότε αυτή είναι μία ομάδα των 2 εδώ πέρα.
-
Και έχω και μια ακόμη ομάδα των δύο εδώ πέρα.
-
Και τότε έχω και μια τρίτη ομάδα των δύο εδώ πέρα.
-
Πόσο μας κάνει αυτό;
-
3 ομάδες των δύο -- 3 φορές το 2.
-
Που κάνει 6.
-
Οπότε 2 φορές το 3 κάνει 6.
-
3 φορές το 2 κάνει 6.
-
Το είδαμε στο βίντεο του πολλαπλασιασμού
-
ότι η σειρά δεν παίζει ρόλο.
-
Αλλά αυτός είναι και ο λόγος που αν θέλετε να το διαιρέσετε,
-
αν θέλετε να το πάτε με τον άλλο τρόπο---
-
αν έχετε 6 πράγματα και θέλετε να τα μοιράσετε σε ομάδες των δύο, θα πάρετε 3.
-
Αν έχετε 6 και θέλετε να τα μοιράσετε σε ομάδες των τριών, θα πάρετε 2.
-
Για να κάνουμε μερικά ακόμα προβλήματα.
-
Νομίζω θα βγάλει νόημα το τι είναι πραγματικά η διαίρεση.
-
Ας κάνουμε ένα ενδιαφέρον.
-
Ας κάνουμε 9 διά 4.
-
Οπότε αν σκεφτούμε 9 διά 4, ας σχεδιάσω εννιά αντικείμενα.
-
Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ, εννέα.
-
Τώρα όταν διαιρείτε με το 4, για αυτό το πρόβλημα,
-
σκέφτομαι να το διαιρέσω σε μία ομάδα των τεσσάρων
-
Οπότε αν θέλω να το διαιρέσω σε ομάδες των τεσσάρων--
-
Για να δοκιμάσω να το κάνω αυτό.
-
Οπότε εδώ είναι μια ομάδα των τεσσάρων.
-
Απλά διάλεξα τυχαία μια ομάδα.
-
Αυτό είναι μια ομάδα των τεσσάρων.
-
Εδώ είναι μια ακόμη ομάδα των τεσσάρων,
-
Και μετά έχω και αυτό το υπόλοιπο που περίσσεψε.
-
Θα το ονομάσουμε υπόλοιπο,
-
όταν δεν μπορώ να το βάλω σε κάποια ομάδα των τεσσάρων.
-
Όταν διαιρώ με το 4,
-
μπορώ μόνο να χωρίσω το 9 σε ομάδες των τεσσάρων.
-
Οπότε η απάντηση είναι και αυτό είναι μια καινούργια έννοια,
-
9 διά 4 θα είναι 2 ομάδες.
-
Μία ομάδα εδώ, μια εκεί
-
και υπόλοιπο 1.
-
Έχω ένα να περισσεύει που δε μπόρεσα να το κάνω κάτι.
-
Υπόλοιπο -- αυτό το λέμε υπόλοιπο 1.
-
9 διά 4 κάνει 2 και υπόλοιπο 1.
-
Και αν ρωτούσα πόσο είναι 12 διά 4 --ας γράψω δώδεκα.
-
Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ, εννέα, δέκα, έντεκα, δώδεκα.
-
Ας το γράψω.
-
12 διά 4.
-
Οπότε θέλω να διαιρέσω αυτά τα 12 αντικείμενα--
-
ίσως είναι μήλα ή δαμάσκηνα.
-
Θα τα μοιράσω σε ομάδες των τεσσάρων.
-
Για να δω αν μπορώ να τα καταφέρω.
-
Οπότε αυτό είναι μία ομάδα των τεσσάρων.
-
Αυτή άλλη μία.
-
Και αυτή είναι εύκολη.
-
Και τώρα έχω και μία τρίτη ομάδα.
-
Έτσι απλά.
-
Και δεν περισσεύει τίποτα.
-
Μπορώ να διαιρέσω ακριβώς το 12 σε 3 ομάδες των τεσσάρων.
-
Μία, δύο, τρεις ομάδες των τεσσάρων.
-
Οπότε 12 διά 4 κάνει 3.
-
Και μπορούμε να κάνουμε την άσκηση που είδαμε στο προηγούμενο βίντεο.
-
Πόσο κάνει 12 διά 3?
-
Για να βάλω ένα νέο χρώμα.
-
12 διά 3.
-
Τώρα βάσει όσων μάθαμε ήδη,
-
λέμε ότι αυτό θα πρέπει να κάνει 4, διότι 3 επί 4 κάνει 12.
-
Αλλά ας το αποδείξουμε μόνοι μας.
-
Οπότε ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ, εννέα, δέκα, έντεκα, δώδεκα.
-
Ας το διαιρέσουμε σε ομάδες των τριών.
-
Και θα τα κάνω λίγο περίεργα
-
ώστε να μη μπορείτε να τα βάζετε πάντα σε ωραίες καθαρές στήλες.
-
Οπότε εδώ είναι μία ομάδα, εδώ.
-
12 διά 3.
-
Για να δούμε, να μία ακόμα ομάδα των τριών.
-
Και μετά, ίσως κάνω μία ομάδα τριών έτσι.
-
Και αυτή η ομάδα τριών.
-
Υπήρχε προφανώς και κάποιος πολύ πιο εύκολος τρόπος να τα χωρίσουμε
-
από αυτά τα περίεργα σχήματα,
-
αλλά ήθελα να σας δείξω ότι δεν έχει σημασία.
-
Απλά τα διαιρείτε σε ομάδες των τριών.
-
Πόσες ομάδες έχουμε.
-
Έχουμε μία ομάδα.
-
Και εδώ η δεύτερη ομάδα.
-
Και έχουμε και μία τρίτη ομάδα εδώ.
-
Και τότε έχουμε-- θα βάλω νέο χρώμα.
-
Και μετά έχουμε την τέταρτη ομάδα εδώ.
-
Οπότε έχουμε ακριβώς 4 ομάδες.
-
Και όταν λέω ότι υπήρχε και ένας ευκολότερος τρόπος να το διαιρέσουμε,
-
ο ευκολότερος τρόπος προφανώς --μάλλον όχι προφανώς--
-
αν θέλω να μοιράσω αυτές τις ομάδες των τριών,
-
θα μπορούσα να είχα κάνει μία, δύο, τρεις, τέσσερεις ομάδες των τριών.
-
Για κάθε ένα, χωρίζω τα 12 αντικείμενα σε ομάδες των τριών.
-
Μπορείτε να τα φαντάζεστε με αυτό τον τρόπο.
-
Για να κάνουμε άλλο ένα που να έχει υπόλοιπο.
-
Για να δούμε.
-
Πόσο κάνει 14 διά 5;
-
Ας σχεδιάσουμε, λοιπόν, 14 αντικείμενα.
-
Ένα, δύο, τρία.... ....δώδεκα, δεκατρία, δεκατέσσερα.
-
14 αντικείμενα.
-
Και θα τα διαιρέσω σε ομάδες των πέντε.
-
Λοιπόν, ο ευκολότερος τρόπος είναι μία ομάδα εδώ πέρα,
-
δύο ομάδες εδώ πέρα.
-
Και μετά αυτή η τελευταία, έχω μόνο τέσσερα,
-
οπότε δεν μπορώ να κάνω ομάδα των πέντε.
-
Οπότε η απάντηση είναι μπορώ να κάνω 2 ομάδες των πέντε,
-
και θα έχω υπόλοιπο 4.
-
2 και υπόλοιπο 4.
-
Τώρα μόλις εξασκηθείτε αρκετά,
-
δε θα θέλετε πάντα να σχεδιάζετε αυτούς τους κύκλους
-
και να τους διαιρείτε έτσι.
-
Αν και αυτό δεν θα ήταν λάθος.
-
Οπότε ένας ακόμα τρόπος για να σκεφτείτε αυτού του είδους προβλήματα
-
είναι να πείτε, λοιπόν 14 διά 5, πώς το βρίσκω αυτό;
-
Βασικά, ένας ακόμα τρόπος για να το γράψετε,
-
και δεν θα πειράξει να σας δείξω:
-
Μπορώ να πω 14 διά 5 είναι το ίδιο με 14 διά --
-
με αυτό το σύμβολο-- διά 5.
-
Και αυτό που θα κάνετε είναι, για να δούμε.
-
Πόσες φορές χωράει το 5 στο 14;
-
Για να δούμε.
-
Πέντε φορές --και φέρτε τους πίνακες του πολλαπλασιασμού στο μυαλό σας--
-
5 φορές 1 κάνει 5.
-
Πέντε επί 2 κάνει 10.
-
Οπότε αυτό είναι ακόμα λιγότερο από 14, όποτε το 5 χωράει τουλάχιστον 2 φορές.
-
5 φορές το 3 κάνει 15.
-
Ε, αυτό είναι μεγαλύτερο από το 14, οπότε πρέπει να πάω πίσω.
-
Οπότε το 5 χωράει μόνο 2 φορές.
-
Άρα χωράει 2 φορές.
-
2 φορές το 5 κάνει 10.
-
Και μετά αφαιρείτε.
-
Λέτε, 14 μείον 10 κάνει 4.
-
Και αυτό είναι το υπόλοιπό σας.
-
Οπότε μπορέσαμε να χωρέσουμε το 5 στο 14 ακριβώς 2 φορές,
-
που θα μας έδινε δύο ομάδες των πέντε.
-
Που μας κάνει 10.
-
Και έχουμε άλλα 4 να περισσεύουν.
-
Για να κάνω μερικά ακόμα,
-
για να σιγουρεύτουμε ότι τα πιάνετε αυτά πολύ, πολύ, πολύ, πολύ καλά.
-
Για να γράψω τα σύμβολα.
-
Ας πούμε οκτώ διά δύο.
-
Θα μπορούσα επίσης να το γράψω 8--
-
οπότε θέλω να μάθω πόσο είναι αυτό.
-
Αυτό είναι ερωτηματικό.
-
Θα μπορούσα να το γράψω σαν 8 διά 2.
-
Και ο τρόπος που τα κάνω αυτά -- θα σχεδιάσω τους κύκλους σε λιγάκι --
-
χωρίς να σχεδιάζω κύκλους,
-
λέω, λοιπόν, 2 επί 1 κάνει 2.
-
Οπότε αυτό σίγουρα χωράει στο 8,
-
αλλά μάλλον μπορώ να σκεφτώ κάποιον μεγαλύτερο αριθμό που --
-
όταν το πολλαπλασιάζω με το 2 πάλι θα χωράει στο 8.
-
2 φορές το 2 κάνει 4.
-
Και αυτό είναι λιγότερο για το 8.
-
Οπότε 2 φορές το 3 κάνει 6.
-
Ακόμα είναι μικρότερο το 8.
-
2 φορές-- ωχ, κάτι περίεργο έγινε στην πένα μου.
-
2 επί 4 κάνει ακριβώς 8.
-
Οπότε το 2 χωράει στο 8 τέσσερεις φορές.
-
Οπότε, θα μπορούσαμe να πούμε ότι το 2 χωράει στο 8 τέσσερεις φορές.
-
Ή 8 διά 2 κάνει 4.
-
Μπορούμε και να σχεδιάσουμε τους κύκλους μας.
-
Ένας, δύο, τρεις, τέσσερες, πέντε, έξι, επτά, οκτώ.
-
Τα έκανα λίγο άτακτα επίτηδες!
-
Ας τα χωρίσουμε σε ομάδες των δύο.
-
Έχω μία ομάδα των δύο, δύο ομάδες,
-
τρεις ομάδες, τέσσερεις ομάδες των δύο.
-
Οπότε αν έχω 8 αντικέιμενα και τα διαιρέσω σε ομάδες των δύο,
-
έχουμε 4 ομάδες.
-
Οπότε το 8 διά 2 κάνει 4.
-
Ελπίζω να σας βοήθησα!