Part 1 of Proof of Heron's Formula

.

Vi har en trekant.

Det her er våres trekant.

Vi kjenner kun lengden på trekantens sider.

Den her siden har en lengde a, den her siden har en lengde b,

og den her siden har en lengde c.

Vi skal finne arealet av trekanten.

Det eneste vi vet er, at arealet av en trekant

er lik en halv ganger trekantens grunnlinje

ganger trekantens høyde.

På den måten vi har tegnet trekanten,

er siden c grunnlinjen, men vi kjenner ikke høyden.

Høyden er den h'en rett her,

men vi vet ikke hva, h er.

Hva er h?

Spørsmålet er, hvordan vi finner

arealet av trekanten.

I den siste videoen så vi,

hvordan vi bruker Herons formel.

I den her videoen vil vi bevise Herons formel.

Vi finner h ved å bruke

Pythagoras læresetning.

Når vi har funnet h, kan vi bruke formelen til

å regne ut arealet av trekanten.

Den her kaller vi h.

Vi definerer enda en variabel her.

.

Det her ser vi ofte i geometri.

Vi definerer x, som er skrevet med lilla,

og den blå fargen er x minus x.

Hele lengden er c.

Hvis den her delen er x, er den her delen c minus x.

Da har vi to rette vinkler,

og det vet vi, da er det her høyden,

kan vi sette opp to likninger med Pythagoras læresetning.

Det første vi kan gjøre med den venstre siden er, at vi kan skrive

x i andre pluss h i andre er lik med a i andre.

Det får vi her fra den venstre trekanten.

Fra den høyre trekanten får vi

c minus x i andre pluss h i andre er lik med b i andre.

Vi går ut fra, at vi kjenner a, b og c,

og derfor har vi to likninger med to ukjente.

De ukjente er x og h.

Vi skal huske, at det er h, som vi gjerne vil finne,

da vi allerede kjenner lengden på c.

Hvis vi kjenner hm kan vi anvende formelen for en trekants areal.

Hvordan kan vi så gjøre det?

Først substituerer vi h for å finne x.

Når vi sier det, så mener vi, at vi løser for h i andre.

Når vi løser for h i andre, trekker vi x i andre fra

på begge sier av likningen.

Vi skriver,

at h i andre er lik a i andre minus x i andre.

Nå kan vi ta den her informasjonen og innsette

den her borte.

Den nederste likningen blir derfor c minus x i andre

pluss h i andre.

h i andre kjenner vi fra den venstre siden av likningen.

h i andre vil være lik med

a i andre minus x i andre er lik med b i andre.

Vi erstatter verdien av det,

vi har her inne.

Vi skriver uttrykket ut.

c minus x i andre. Det er c i andre minus

2cx pluss x i andre.

Vi har pluss a i andre

minus x i andre er lik med b i andre.

.

Nå har vi x i andre minus x i andre her,

så de går ut mot hverandre.

.

Vi legger 2cx til på begge sider av likningen.

Nå er våre likning c i andre

pluss a i andre.

Vi legger 2cx til på begge sider.

Når vi legger 2cx til her, får vi,

at 0 er lik med b i andre pluss 2cx.

Det eneste vi har gjort her er å utligne x i andre

og legge 2cx til på begge sider av likningen.

Våres spørsmål er å løse før x.

Når vi har løst for x, kan vi løse for h

og bruke formelen.

For å løse for x trekker vi b i andre fra

på begge sider.

Nå har vi c i andre pluss a i andre minus b i andre

er lik 2cx.

Hvis vi dividerer begge sider med 2c, får vi c i andre pluss a i andre

minus b i andre over 2c er lik x.

Her har vi løst for x.

Nå vil vi gjerne løse for høyden,

så kan vi tilføye en halv ganger grunnlinjen ganger høyden.

For å gjøre det går vi tilbake til den her likningen

og løse den for høyden.

.

Vi vet, at høyden i andre er lik med

a i andre minus x i andre.

I stedet for, at vi bare skriver x i andre, så substituerer vi.

Vi får minus x i andre.

c i andre pluss a i andre minus b i andre

over 2c i andre.

Det er det samme som x i andre.

Derfor løser vi det i forhold til det.

h er lik med kvadratroten av alt det her,

.

altså a i andre minus c i andre pluss a i andre minus b i andre.

Alt sammen i andre.

.

.

Kvadratroten av

a i andre minus alt det her i andre, altså c i andre

pluss a i andre minus b i andre over 2c.

Det er høyden på trekanten vår.

Den trekanten, som vi startet med her oppe.

Vi ser på trekanten vår igjen,

så kan vi huske, hva vi snakker om.

.

Vi innsetter den her.

Vi vet, at høyden er den her.

innvikla formelen.

Høyden i forhold til a, b og c er det, vi har her.

Hvis vi vil finne trekantens areal,

.

bruker vi formelen en halv ganger grunnlinjen,

som er hele lengden c, ganger våres høyde,

som er det uttrykket, vi har rett her.

Det innsetter vi her.

.

Vi ganger altså med høyden.

Det er nå uttrykket for arealet.

Når vi ser på det, ligner det

umiddelbart ikke Herons formel.

Det ligner ikke Herons formel,

men i den neste videoen finner vi ut av,

at det her i bunn og grunn er Herons formel.

Det her er en versjon av Herons formel, som er vanskeligere å huske.

Vi vil tilføye mye algebra for å bunn og grunn

å forenkle det her til Heron formel.

Den her virker også.

Hvis vi kan huske den her,

er Herons formel mye lettere å huske.

Kan vi bare huske det her, og kjenner vi a, b og c,

kan vi anvende den her formelen

til å finne trekantens areal.

Vi prøver å anvende den her for å vise,

at det i det minste gir det samme tallet som Herons formel.

I den forrige videoen hadde vi viser med lengdene 9, 11 og 16,

og ved å bruke Herons formel fikk vi, at arealet er lik 18

ganger kvadratroten av 7.

La oss se, hva vi får, når vi bruker den her formelen.

Vi får, at arealet er lik med en halv ganger 16 ganger kvadratroten

av noe i annen.

Vi har 81 minus c i andre, det vil si 16 i andre, som er 256

pluss a i andre, det vil si 9 i andre, som er 81 minus b i andre,

det vil si 11 i andre, som er 121.

Alt det her er i andre.

Alt er over 2 ganger c, altså over 32.

Vi prøver å redusere det litt.

81 minus 121, det er lik minus 40.

Her får vi 216 over 32.

Arealet er derfor lik en halv ganger 8 er lik 8.

.

En halv ganger 18 er lik 8 ganger kvadratroten av 81 minus 256.

81 minus 121, det er lik minus 40.

256 minus 40 er lik 216.

216 over 32 i andre.

Det er en masse matematikk, så her

bruker vi lommeregneren.

Det vi ser er, at de her 2 tallene

skal gi oss det samme tallet.

Vi bruker lommeregneren.

Først finner vi ut av,

hva 18 kvadratrot 7 er lik.

18 ganger kvadratroten av 7. Her skal vi bruke

Herons formel.

Vi får 47,62.

Vi sjekker om det her er 47,62.

Vi har 8 ganger kvadratroten av 81 minus 216

dividert med 32 i andre.

Vi får nøyaktig det samme tallet.

Her kan vi se,

at vi får nøyaktig det

samme tallet som før.

Våres formel ga oss den samme verdien

som Herons formel.

Det vi skal lære i den neste videoen er å bevise, hvordan vi

kan redusere det algebraisk til Herons formel.

.