-
V tomto videu si ukážeme, že implicitní
i explicitní derivování ‚dá to stejné‘.
-
Nebo-li dostaneme
stejný výsledek.
-
Mějme například rovnici:
x krát odmocnina z y je rovna 1.
-
Snadno můžeme
v závislosti na x vyjádřit y.
-
Podělením obou stran x dostaneme,
že 1 lomeno x je rovno odmocnině z y.
-
Umocněním na druhou dostaneme,
že y je rovno 1 lomeno x na druhou.
-
Což je to stejné
jako x na −2.
-
Potom už je vypočítání
derivace y podle x přímočaré.
-
Použitím pravidla o derivování mocninné
funkce pak máme −2 krát x na −3.
-
To bylo
celkem snadné.
-
Ukážeme, že stejný výsledek
dá i implicitní derivování.
-
Zderivujme obě dvě
strany rovnice podle x.
-
Při derivování výrazu vlevo
použijeme následující pravidla:
-
o derivaci součinu a
o derivaci složené funkce.
-
Z pravidla o derivaci
součinu dostaneme…
-
Máme tady součin dvou
funkcí proměnné x,
-
takže dle pravidla o součinu máme derivaci
podle x funkce x krát odmocnina z y
-
a k tomu přičteme součin x
a derivace podle x z odmocniny z y.
-
Napravo pak dostaneme
derivaci z konstanty, což je 0.
-
Jak rovnici zjednodušit?
-
Derivace z x
podle x je 1.
-
Tím se nám tento výraz
zjednoduší na odmocninu z y.
-
Jak zjednodušit
další výraz?
-
Zderivování odmocniny z x podle x uděláme
pomocí pravidla o derivaci složené funkce.
-
Uděláme to postupně.
-
Přičteme x krát
výraz v modrém.
-
To bude jako derivace z ‚něčeho‘
na jednu polovinu podle ‚něčeho‘.
-
Což bude jedna polovina krát
‚něco‘ na minus jednu polovinu.
-
Ještě jednou, toto je derivace
odmocniny z y podle y.
-
Viděli jsme
to už mnohokrát.
-
Třeba derivace odmocniny z x podle x je
jedna polovina x na minus jednu polovinu.
-
A nyní to stejné
počítáme s y.
-
Avšak ještě
nejsme hotovi.
-
Vzpomeňme si, že jsme derivovali
podle y a ne podle x.
-
Podle pravidla o derivaci složené funkce
to ještě vynásobíme derivací y podle x.
-
Derivaci y podle x ještě neznáme
a budeme ji chtít dopočítat.
-
Z pravidla o derivaci
složené funkce máme,
-
že derivace odmocniny z y podle y
krát derivace y podle x
-
je rovna derivaci
odmocniny z y podle x.
-
Toto tedy
máme nalevo.
-
Napravo
pak je 0.
-
Připomeňme, že chceme
vyjádřit derivaci y podle x.
-
Odečtěme od obou stran
rovnice odmocninu z y.
-
Trochu si to tady upravím,
abych měl více místa na práci.
-
Posunu to sem doprava.
-
Vlastně to radši dám sem.
-
Pak dostaneme nalevo x lomeno
2 odmocniny z y krát derivace y podle x.
-
A na pravé straně máme
minus odmocninu z y.
-
Překopírujme si
nyní rovnici sem.
-
Pokračujme ve vyjadřování
derivace y podle x.
-
Stačí rovnici vynásobit převrácenou
hodnotou zlomku x lomeno 2 odmocniny z y.
-
Nalevo máme
derivaci y pod x.
-
Vpravo bude 2 krát odmocnina z y lomeno x
a to celé krát minus odmocnina z y.
-
A jak se to
zjednoduší?
-
Jelikož odmocnina z y krát odmocnina
z y je y, tak dostaneme následující:
-
−2 krát y lomeno x.
-
Což je rovno
derivaci y podle x.
-
Můžete namítnout, že implicitní derivace
vypadá dosti jinak než ta dříve vypočtená.
-
Což bylo
−2x na −3.
-
Všimněme si, že zde
jsme již vyjádřili y podle x.
-
Proveďme proto substituci
y rovno 1 lomeno x na druhou.
-
Dostaneme, že derivace y podle x
je rovna následujícímu:
-
−2 krát 1 lomeno x na druhou
a to celé děleno x.
-
Což je −2x na −3, a tím jsme
dostali stejný výsledek jako dříve.
