Gammel video om ligningssystemer

To ligninger med to ubekendte.

Velkommen til gennemgangen af lineære ligningssystemer.

Lad os komme i gang.

Vi har 2 ligninger.

Den første ligning er

9x minus 4y er lig med minus 78.

Den anden ligning er

4x plus y er lig med minus 18.

Vi skal nu bruge begge ligninger

til at finde de 2 ubekendte x og y.

Vi ved allerede, at hvis vi har en ligning med en variabel,

kan vi løse ligningen,

men nu har vi 2 ligninger.

Det er 2 sammenhængende ligninger,
og løsningen skal opfylde begge ligninger.

Vi skal finde både x og y,

og det bliver muligvis lidt forvirrende.

Hvordan løser man egentlig 2 ligninger med 2 ubekendte?

Man kan omskrive de 2 ligninger,

så de kommer på den almindelige form for lineære ligninger,

hvor y er lig med a gange x plus b.

De står lige nu på en form, hvor det ikke er let at se,

hvordan linjerne ser ud,

men hvis vi har et koordinatsystem,

kan man vise løsningen grafisk.

Lad os sige, at den første linje,

hvor 9x minus 4y er lig med minus 78,

er den linje her,

og lad os sige, at den anden linje,

hvor 4x plus y er lig med minus 18,

ser sådan her ud.

På den gule linje ligger alle x- og y-værdier, der opfylder den nederste ligning,

og på den grønne linje er alle x- og y-værdier,

der opfylder den øverste ligning.

Der er kun 1 sæt af x- og y-værdier,

der opfylder begge ligninger.

Det punkt her er skæringspunktet.

Vi fremhæver skæringspunktet med lyserød.

Uanset hvor punktet er, er det vigtigt at lægge mærke til, at det opfylder begge ligninger.

Uanset hvad x- og y-værdien er,

er det en løsning for ligningssystemet.

Lad os finde ud af, hvordan man finder x og y.

Først vil vi gerne slippe af med en af de variable,

for så kan vi løse ligningen med den ene variabel, der er tilbage.

I det her tilfælde fjerner vi vores variabel y,

og senere vil det nok give mening,

hvorfor vi vælger at gøre det.

Vi vil gerne have de at de 2 y-værdier går ud med hinanden,

når ligningerne lægges sammen.

De går ikke ud med hinanden nu,

og derfor ganger vi den nederste ligning med 4.

Lad os gange den nederste ligning med 4.

Vi får 16x plus 4y er lig med minus 18 gange 4,

som er 40 plus 32, så det er minus 72.

Vi gangede altså med 4 på begge sider af lighedstegnet i den nederste ligning.

Det er vigtigt, at man husker at gange alle led i ligningen med 4,

for ellers er ligningen ikke længere den samme.

Alt man gør på den ene side af ligningen, skal man derfor også gøre på den anden side.

Vi skriver lige den øverste ligning på ny.

Vi skriver ligningen i samme farve som før,

så vi kan holde styr på det.

9x minus 4y er lig med minus 78.

Nu skal vi lægge de 2 ligninger sammen.

Det gøres ved at lægge de 2 venstresider sammen

og de 2 højresider sammen.

Når vi lægger 16x og 9x sammen,

får vi 25x.

16 plus 9.

4y minus 4y er lig med 0,

og så har vi minus 72 minus 78.

Det må være lig med minus 150.

Nu har vi altså 25x er lig med minus 150.

For at finde x kan vi enten dividere med 25 på begge sider

eller gange med 1/25 på begge sider.

Vi glemte at skrive minus foran 150.

x er lig med minus 6.

Nu har vi fundet x-koordinatet.

For at finde det tilsvarende y-koordinat,

skal vi bruge en af de 2 oprindelige ligninger.

Lad os bruge den her,

for den ser ud til at være lidt nemmere.

I ligningen erstatter vi nu x med minus 6,

så der kommer til at stå 4 gange minus 6 plus y er lig med minus 18.

4 gange minus 6 er minus 24 plus y er lig med minus 18.

Vi flytter nu 24 over på højre side og får,
at y er lig med 24 minus 18.

y er derfor lig med 6.

De 2 linjer skærer altså hinanden i det punkt,

hvor x er lig minus 6, og y er lig 6.

De skærer hinanden i et punkt hernede til højre.

Linjerne er nok noget i stil med det her.

Vi har løst det.

Vi har brugt de 2 ligninger til at finde værdien af 2 variable.

Vi kan vist godt nå et stykke mere.

Lad os regne et nyt stykke.

Vi har igen 2 ligninger.

Den første ligning er minus 7x minus 4y er lig med 9,

og den anden ligning er

x plus 2y er lig med 3.

Hvis vi skulle regne det ud så hurtigt som muligt,

kunne vi gange den nederste ligning med 7,

og så ville det gå ud med hinanden.

Det er den nemmeste måde.

I nogle tilfælde skal man gange hver ligning med et tal

for at finde svaret.

I det her stykke kan vi bruge den hurtige måde.

Lad os gange med 7 i den nederste ligning.

Grunden til, at vi ganger med 7 er,

fordi vi vil have de 2 x-værdier til at gå ud med hinanden.

Når vi ganger med 7, får vi 7x plus 14y er lig med 21.

Lad os skrive den første ligning ned igen.

Minus 7x minus 4y er lig med 9.

Nu lægger vi de 2 ligninger sammen.

Det her x er positivt.

7x minus 7x er 0.

14y minus 4y er 10y, hvilket er lig med 30.

y er derfor lig med 3.

Nu skal vi bare erstatte y med 3 i en af ligningerne.

Lad os gøre det i den her.

x plus 2 gange y, det vil sige 2 gange 3,
hvilket er lig med 6.

Derfor har vi x plus 6 er lig med 3.

Vi får derfor, at x er lig med minus 3.

Den gik hurtigt.

Vi har fundet skæringspunktet.

Hvis det gik lidt for hurtigt,

kan man altid se gennemgangen igen.

De 2 linjer skærer altså hinanden i punktet

minus 3 komma 3.

Lad os regne et stykke mere.

Det her skulle gerne være lidt sværere.

Vi tager en, der er lidt mere udfordrende.

Den første er minus 3x minus 9y er lig med 66.

Den anden ligning er minus 7x plus 4y er lig med minus 71.

Her er det ikke helt indlysende,
hvordan vi lettest løser det.

Lad os sige, at vi vil have y'erne til at gå ud med hinanden.

Vi vil gerne have, at koefficienten til y i begge ligninger er det mindste fælles multiplum for 9 og 4.

Tallene ganget med hinanden er altid en mulighed.

I den øverste er det 9y,
så vi ganger den øverste ligning med 4.

Lad os gange med 4.

Vi får minus 12x minus 36y er lig med 4 gange 66,

hvilket er lig med 264.

I den nederste er det 4y,
så vi ganger den nederste ligning med 9.

Her får vi minus 63x plus 36y er lig med

71 gange 9 er 630 plus 9, så det er minus 639.

Nu lægger vi de 2 ligninger sammen.

Minus 12x minus 63x er minus 75x, og y-værdierne går ud med hinanden.

Det giver 639 minus 264.

Enerne giver 5.

Vi låner, så det er 13 her, og 6 bliver til 5.

7 på tiernes plads og 5 minus 2. Det er 375,

men det er faktisk minus 639, så det er minus 375.

Vi ved, at 75 går op i 300 4 gange,

så derfor må x være lig med 5.

75 gange 5 er 375.

Vi har lige divideret med 75 på begge sider.

Hvis x er 5, skal vi bare erstatte x med 5 i denne ligning.

Vi får minus 3 gange 5 minus 9y er lig med 66.

Vi får minus 15 minus 9y er lig 66.

Minus 9y er derfor lig med 81.

Ved at dividere med 9 på begge sider, får vi, at y er lig med minus 9.

Koordinatsættet til skæringspunktet er derfor 5 komma minus 9.

Nu er man klar til selv at løse nogle ligningssystemer.