-
Wyobraźcie sobie, że jesteście
starożytnym filozofem
-
który tworzy podstawy matematyki.
-
Wiecie już, co oznacza lub co powinna
oznaczać liczba ujemna
-
i umiecie je dodawać i odejmować.
-
Macie jednak pewną zagwozdkę.
-
Jak mnożyć liczby ujemne?
-
Co robić, gdy mnożycie
liczbę ujemną przez dodatnią
-
albo mnożycie przez siebie
dwie liczby ujemne.
-
Na przykład
-
co zrobić z takim mnożeniem:
-
Wybiorę jedną liczbę
dodatnią i jedną ujemną.
-
Co zrobić z mnożeniem 5 × -3?
-
Nie umiecie jeszcze tego robić.
-
Nie wiecie też, jaki wynik daje
mnożenie dwu liczb ujemnych.
-
Na przykład -2 × -6.
-
Też tego nie umiecie.
-
Będąc matematykiem wiecie jednak
-
że niezależnie od tego,
co z tym zrobicie
-
rozwiązanie musi być spójne
-
z całą dotychczasową
wiedzą matematyczną.
-
Zwłaszcza z innymi zasadami mnożenia.
-
Wtedy uwierzycie,
że rozwiązanie jest dobre.
-
Postarajmy się zatem dojść do wyniku
i udowodnić, że jest prawidłowy.
-
Aby rozwiązanie było spójne
z wiedzą matematyczną
-
zrobimy eksperyment myślowy.
-
Jaki wynik dałoby
5 razy… 3 dodać -3?
-
Wymyśliliśmy już, jak należy
dodawać liczby ujemne i dodatnie
-
i wiemy, że -3 jest przeciwieństwem 3.
-
Wiemy, że -3 + 3 = 0.
-
To będzie więc równe… 5 razy 0.
-
Wywnioskowaliśmy to z tego,
co już wiemy o dodawaniu liczb ujemnych.
-
Każda liczba pomnożona przez 0
daje wynik 0
-
dlatego to wyrażenie jest równe 0.
-
Teraz myślimy sobie:
-
mnożenie liczb ujemnych musi być przecież
zgodne z zasadą rozdzielności.
-
Rozdzielmy tę piątkę.
-
Rozdzielmy ją.
-
Jeśli matematyka jest spójna,
a musi taka być
-
to nie powinno to wpłynąć na wynik.
-
Rozdzielmy tę piątkę.
Otrzymamy 5 × 3…
-
5 × 3… Napiszmy to.
-
5 × 3…
-
Użyję krzyżyka jako znaku
mnożenia, zamiast kropki.
-
5 × 3… To pierwszy element…
-
plus…
-
plus 5 × -3.
Kolorem żółtym.
-
5 × -3
-
Całe to wyrażenie musi być równe 0.
-
Musi być równe 0.
-
5 × 3 to dwie liczby dodatnie,
umiemy je mnożyć. To się równa 15.
-
Teraz mamy więc 15… plus…
-
nieznany wynik działania 5 × -3…
-
i to się musi równać 0,
aby nie naruszało zasad matematyki.
-
Ile trzeba dodać do 15, aby otrzymać 0?
-
Przeciwieństwo 15.
-
Aby to wszystko było spójne z całą
naszą wiedzą matematyczną
-
to wyrażenie musi być równe -15.
-
Doszliśmy do wniosku, że jeśli ściśle
trzymamy się wiedzy matematycznej
-
to 5 × -3 musi być równe -15.
-
To samo podpowiada nam intuicja
-
bo 5 × -3 to odejmowanie
liczby 3 pięć razy.
-
Nieco trudniejszym zagadnieniem
jest mnożenie dwu liczb ujemnych.
-
Przeprowadźmy ten sam eksperyment.
-
Wynik tego działania musi być spójny
z całą wiedzą matematyczną.
-
Przeprowadźmy ten sam
eksperyment myślowy.
-
Ile będzie równe
-2 razy… 6 dodać -6?
-
6 + -6 równa się 0
-
a -2 × 0, jak wszystko razy 0,
musi być równe 0.
-
Rozdzielmy to, jak poprzednio.
-
Mamy więc -2 razy 6…
-
plus…
-
-2 razy -6.
-
I to wszystko musi być równe 0.
-
Tak jak w poprzednim eksperymencie
-
mówimy: to musi być równe -12.
-
Można to rozumieć jako dwukrotne
przesunięcie się na osi liczbowej o 6 w lewo
-
albo jako sześciokrotne odjęcie
liczby 2, co łącznie daje wynik -12.
-
Tutaj, gdy mnożyliśmy
liczbę dodatnią przez ujemną
-
też otrzymaliśmy liczbę ujemną.
-
Wiemy już, że to wyrażenie
jest równe -12
-
zatem -12 dodać…
-
nieznana wartość tego mnożenia…
-
musi równać się 0.
-
Musi się równać 0, aby pozostać
w zgodzie z wiedzą matematyczną.
-
Co zatem trzeba dodać do -12,
aby otrzymać 0?
-
Oczywiście trzeba dodać plus 12,
aby wyszło 0.
-
To wyrażenie musi być równe 12
-
aby pozostać w zgodzie
z wiedzą matematyczną.
-
Stąd wiemy, że -2 razy -6
musi się równać plus 12.
-
Na tym skończymy, ale postaram się
zrobić kolejne prezentacje
-
aby przekonać was, że tak musi być.
