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Integration by parts of definite integral

  • 0:01 - 0:02
    이번 시간에는
  • 0:02 - 0:04
    xcosx의
  • 0:04 - 0:10
    0부터 π까지의 정적분을
    계산해 봅시다
  • 0:10 - 0:12
    항상 그랬듯이
    강의를 멈추고
  • 0:12 - 0:15
    스스로 계산해 보세요
  • 0:15 - 0:16
    식을 보자마자
  • 0:16 - 0:18
    부정적분을 구하여
  • 0:18 - 0:21
    π일 때 값을 계산하고
  • 0:21 - 0:23
    0일 때 값을 빼는 것이
  • 0:23 - 0:25
    바로 보이지는 않습니다
  • 0:25 - 0:29
    따라서 조금 더 정교한 기술을
    사용해야 할 것입니다
  • 0:29 - 0:33
    일반적으로
    이 함수들의 곱은
  • 0:33 - 0:36
    함수들 중 하나가
  • 0:36 - 0:39
    cosx처럼
    복잡한 과정 없이
  • 0:39 - 0:43
    부정적분을 구하기 쉽다면
  • 0:43 - 0:46
    x와 같은 다른 함수의
  • 0:46 - 0:48
    도함수를 구한다면
    더 쉬워집니다
  • 0:48 - 0:50
    이 경우, 1이 되겠네요
  • 0:50 - 0:52
    부분적분을 사용하라는
  • 0:52 - 0:54
    좋은 신호군요
  • 0:54 - 0:59
    부분적분을
    떠올려 봅시다
  • 0:59 - 1:02
    부분적분을 해보죠
  • 1:02 - 1:04
    적분을 구하는데
  • 1:04 - 1:07
    부정적분을 먼저 구하고
  • 1:07 - 1:11
    π일 때와 0일 때 계산합니다
  • 1:11 - 1:13
    ∫f(x)g'(x)dx 가 있습니다
  • 1:13 - 1:20
    ∫f(x)g'(x)dx 가 있습니다
  • 1:20 - 1:23
    이는 지난 강의에서
    증명하였습니다
  • 1:23 - 1:24
    미분학에서 배운
  • 1:24 - 1:26
    곱셈규칙으로부터 알 수 있죠
  • 1:26 - 1:33
    f(x)g(x) -
  • 1:33 - 1:35
    두 식의 위치를 바꾸어서
  • 1:35 - 1:41
    ∫f'(x)g(x)dx 입니다
  • 1:41 - 1:43
    반복해서 이야기하자면
  • 1:43 - 1:47
    f(x)를 구하고자 하는데
    이 도함수를 구하면
  • 1:47 - 1:52
    간단하게 되고
  • 1:52 - 1:56
    g'(x)를 구하고자 한다면
  • 1:56 - 2:00
    그 부정적분을 구해야 하므로
  • 2:00 - 2:03
    더 복잡해지지 않습니다
  • 2:03 - 2:07
    더 복잡해지지 않습니다
  • 2:07 - 2:10
    f(x)의 도함수를 구할 때
    간단해진다면
  • 2:10 - 2:12
    그리고 g'(x)가
    그 부정적분을 구할 때
  • 2:12 - 2:15
    더 복잡해지지 않는다면
  • 2:15 - 2:18
    이 식의 부정적분은
  • 2:18 - 2:21
    구하기 더욱 쉬워질 것입니다
  • 2:21 - 2:22
    한번 해봅시다
  • 2:22 - 2:24
    x와 cosx 중에서
  • 2:24 - 2:28
    도함수가 더 간단한
    함수는 무엇일까요?
  • 2:28 - 2:31
    x의 도함수는 1이므로
  • 2:31 - 2:36
    이것을 f(x)라고 하겠습니다
  • 2:36 - 2:40
    f(x) = x 이고
  • 2:40 - 2:46
    f'(x) = 1 입니다
  • 2:46 - 2:50
    그렇다면
    g(x)는 무엇일까요?
  • 2:50 - 2:53
    g(x)인 cosx의
    부정적분을 구해도
  • 2:53 - 2:55
    더 복잡해지지 않습니다
  • 2:55 - 2:58
    cosx의 부정적분은
    sinx입니다
  • 2:58 - 3:00
    따라서 g'(x) = cosx 입니다
  • 3:00 - 3:04
    따라서 g'(x) = cosx 입니다
  • 3:04 - 3:08
    g(x) = sinx 이고
  • 3:08 - 3:10
    반대로 생각해보면
  • 3:10 - 3:12
    sinx의 도함수는 cosx 입니다
  • 3:12 - 3:15
    C를 더해야 한다고
    생각할 수도 있는데
  • 3:15 - 3:16
    잊지 마세요
    정적분을 계산하는 것이므로
  • 3:16 - 3:19
    임의의 상수들은
  • 3:19 - 3:20
    필요 없습니다
  • 3:20 - 3:22
    계속 계산해 봅시다
  • 3:22 - 3:26
    부분적분을 적용하였습니다
  • 3:26 - 3:29
    이 식을 계산하면
  • 3:29 - 3:32
    아래에 나타내 보겠습니다
  • 3:32 - 3:34
    아래에 나타내 보겠습니다
  • 3:34 - 3:37
    f(x)g(x)는
  • 3:37 - 3:41
    f(x) = x이고
    g(x) = sinx이므로
  • 3:41 - 3:47
    x·sinx - ∫
  • 3:47 - 3:51
    f'(x) = 1이므로
  • 3:51 - 3:54
    1 × g(x)
  • 3:54 - 3:59
    g(x) = sinx이므로
  • 3:59 - 4:01
    1 × sinx
  • 4:01 - 4:04
    이는 sinx이므로
    더 간단히 만들 수 있습니다
  • 4:04 - 4:10
    ∫ sinx dx
    정적분을 구해야 하죠
  • 4:10 - 4:12
    π일 때와 0일 때
    전체 식을 계산합니다
  • 4:12 - 4:16
    π일 때와 0일 때
    전체 식을 계산합니다
  • 4:16 - 4:18
    그 다음
    둘의 차를 계산합니다
  • 4:18 - 4:22
    sinx의 부정적분은 무엇일까요?
  • 4:22 - 4:25
    부정적분은
  • 4:25 - 4:29
    cosx의 도함수가
    -sinx이므로
  • 4:29 - 4:32
    마이너스 부호를
    적분 안에 집어넣으면
  • 4:32 - 4:34
    마이너스 부호를
    적분 안에 집어넣으면
  • 4:34 - 4:37
    + ∫ -sinx dx 입니다
  • 4:37 - 4:39
    명백하게
    이 식의 부정적분은
  • 4:39 - 4:41
    cosx 이므로
  • 4:41 - 4:44
    이 식은 cosx가 되고
  • 4:44 - 4:48
    적분한계에서의 값을
    계산합니다
  • 4:48 - 4:51
    π일 때 전체 식을
    계산합니다
  • 4:51 - 4:55
    πsinπ + cosπ
  • 4:55 - 5:01
    πsinπ + cosπ
  • 5:01 - 5:07
    그 후 0일 때의
    전체 식을 계산하여 뺍니다
  • 5:07 - 5:10
    다른 색으로 표시할게요
  • 5:10 - 5:13
    0sin0 +cos0
  • 5:13 - 5:18
    0sin0 +cos0
  • 5:18 - 5:20
    sinπ = 0 이므로
  • 5:20 - 5:22
    사라집니다
  • 5:22 - 5:25
    cosπ = -1 입니다
  • 5:25 - 5:28
    이것은 0이고
    cos0 = 1 이므로
  • 5:28 - 5:33
    -1 - 1 이 되어
  • 5:33 - 5:35
    -2가 나옵니다
  • 5:35 - 5:37
    이상입니다
  • 5:37 - 5:39
    부분적분을 이용하여
  • 5:39 - 5:41
    이 정적분을 계산하였습니다
Title:
Integration by parts of definite integral
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:43

Korean subtitles

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