< Return to Video

Vector Triple Product Expansion (very optional)

  • 0:00 - 0:03
    本次课我要讲的是
  • 0:03 - 0:04
    三重积展开
  • 0:04 - 0:07
    它有一定的使用范围和相应的公式
  • 0:07 - 0:09
    它实际上是三个向量的
  • 0:09 - 0:12
    外积的一种化简
  • 0:12 - 0:12
    如果我取
  • 0:12 - 0:18
    a b和c的外积
  • 0:18 - 0:20
    我要做的是将其表示出来
  • 0:20 - 0:21
    我要把它表示成
  • 0:21 - 0:25
    向量的内积的差的形式
  • 0:25 - 0:26
    不仅仅是内积
  • 0:26 - 0:28
    而是用内积乘以不同的向量的形式
  • 0:28 - 0:29
    你将我明白我的意思
  • 0:29 - 0:31
    这将表达式化简了一些
  • 0:31 - 0:33
    因为外积一般是不容易算的
  • 0:33 - 0:34
    需要大量的计算
  • 0:34 - 0:36
    至少我对此容易弄乱
  • 0:36 - 0:38
    对于计算处理一些向量
  • 0:38 - 0:40
    这不是必须知道的知识
  • 0:40 - 0:42
    但是我讲这个知识点的
  • 0:42 - 0:45
    原因是我看到
  • 0:45 - 0:48
    印度理工大学的入学试题中
  • 0:48 - 0:50
    会考察大家
  • 0:50 - 0:52
    对不同形式的公式
  • 0:52 - 0:53
    以及三重积展开的掌握程度
  • 0:54 - 0:55
    我们来看看如何化简它
  • 0:55 - 1:02
    我们先做b与v的外积
  • 1:02 - 1:05
    在所有的情况下 我都假设……
  • 1:05 - 1:07
    假设已知向量a
  • 1:07 - 1:09
    我称之为―― 它将是
  • 1:09 - 1:12
    向量a的x分量乘以单位向量i
  • 1:12 - 1:16
    加上y分量 不是b
  • 1:16 - 1:21
    加上向量a的y分量乘以单位向量j
  • 1:21 - 1:24
    加上向量a的z分量
  • 1:24 - 1:26
    乘以单位向量k
  • 1:26 - 1:28
    我可以对b和c做相同的处理
  • 1:28 - 1:30
    如果我称by
  • 1:30 - 1:31
    就是说
  • 1:31 - 1:34
    关于b向量在j分量方向上的长度
  • 1:35 - 1:38
    那么我们先来求这个外积
  • 1:38 - 1:41
    如果我取这个外积
  • 1:41 - 1:43
    就需要求这个行列式
  • 1:43 - 1:45
    我写在这
  • 1:45 - 1:47
    于是b×c
  • 1:47 - 1:51
    就等于一个行列式
  • 1:51 - 1:54
    我把i j k写在上面
  • 1:54 - 1:58
    i j k 这都是由外积的定义得到的
  • 1:58 - 2:01
    没有关于它的证明
  • 2:01 - 2:03
    这是是记录内积的一种形式
  • 2:03 - 2:04
    如果你还记得
  • 2:04 - 2:06
    如何求三阶行列式的值
  • 2:06 - 2:12
    然后我写出b的x项 b的y项
  • 2:12 - 2:15
    和b的z项
  • 2:15 - 2:20
    然后对于c做同样处理 有cx cy cz
  • 2:20 - 2:22
    于是它等于……
  • 2:22 - 2:24
    第一项是i分量
  • 2:24 - 2:29
    于是有i乘以b
  • 2:29 - 2:32
    忽略这一列和这一行
  • 2:32 - 2:39
    从而有bycz-bzcy
  • 2:39 - 2:41
    我就是忽略了这一列和这一行
  • 2:41 - 2:42
    只看这个二阶的子行列式
  • 2:42 - 2:48
    这是减去bzcy
  • 2:48 - 2:52
    然后我们减去j分量
  • 2:52 - 2:54
    记住求行列式的值时符号是交替的
  • 2:54 - 2:56
    减去
  • 2:56 - 2:59
    我们忽略这一列和这一行
  • 2:59 - 3:01
    就得到bxcz
  • 3:04 - 3:05
    这是下标
  • 3:05 - 3:07
    希望能得到有趣的结果
  • 3:07 - 3:16
    从而减去bzcx
  • 3:16 - 3:19
    最后加上k分量
  • 3:19 - 3:25
    于是有bx乘以cy
  • 3:25 - 3:33
    减去bycx
  • 3:33 - 3:36
    这样我们就处理了这个内积\N【口误:应该是外积】
  • 3:36 - 3:38
    现在我要做的是……
  • 3:38 - 3:40
    抱歉 是处理了这个外积
  • 3:40 - 3:41
    我把大家弄晕了
  • 3:41 - 3:44
    我们刚刚求的是b和c的外积
  • 3:44 - 3:45
    现在我们要
  • 3:45 - 3:47
    取其与a的外积
  • 3:47 - 3:50
    要求a与这一项的外积
  • 3:50 - 3:52
    我们来算一下
  • 3:52 - 3:55
    我再建立一个矩阵
  • 3:55 - 3:59
    我把i j k写在这
  • 3:59 - 4:01
    在写上a的分量
  • 4:01 - 4:07
    就是ax ay和az
  • 4:07 - 4:09
    然后我们把这里的向量擦去
  • 4:09 - 4:12
    我把它涂成黑色
  • 4:12 - 4:15
    用黑色的来做
  • 4:18 - 4:21
    这是负的j乘以x
  • 4:21 - 4:24
    我要做的是…… 这是减去j
  • 4:24 - 4:29
    我要把符号调换一下重新写
  • 4:29 - 4:32
    这里要变号
  • 4:32 - 4:34
    就有bzcx
  • 4:34 - 4:41
    减去bxcz
  • 4:41 - 4:43
    我把其他的都删去
  • 4:43 - 4:46
    我就是把这个负号乘进来
  • 4:46 - 4:48
    这里不能算错
  • 4:48 - 4:51
    我把刷子的型号扩大一些
  • 4:51 - 4:53
    这样擦起来方便
  • 4:53 - 4:55
    好的
  • 4:55 - 4:58
    我们还要消去这一项
  • 4:58 - 5:00
    我把刷子换回到原来的型号
  • 5:00 - 5:05
    现在我们来算这个外积
  • 5:06 - 5:11
    把它建立成一个行列式
  • 5:11 - 5:12
    我要关注那个量呢?
  • 5:12 - 5:14
    如果要把分量i j和k都算出来
  • 5:14 - 5:19
    那要花去很多时间
  • 5:19 - 5:21
    这里我只计算i分量
  • 5:21 - 5:25
    只求出这个外积的x分量
  • 5:25 - 5:28
    然后我们可以求出分量i和j
  • 5:28 - 5:30
    从而就能得出
  • 5:30 - 5:32
    这一项化简成什么样
  • 5:32 - 5:35
    这里我们只计算i分量
  • 5:35 - 5:40
    这就等于i乘以……
  • 5:41 - 5:42
    我们考虑
  • 5:42 - 5:44
    这个二阶矩阵
  • 5:44 - 5:46
    我们忽略有i的这一行和这一列
  • 5:46 - 5:49
    从而有ay乘以这些项
  • 5:49 - 5:52
    我写出来
  • 5:52 - 5:57
    就是ay乘以bxcy
  • 5:57 - 6:07
    减去ay乘以bycx
  • 6:07 - 6:10
    然后再减去
  • 6:10 - 6:13
    这里是用-az乘以这项
  • 6:13 - 6:14
    我们做一下
  • 6:14 - 6:22
    从而有-azbzcx
  • 6:22 - 6:24
    然后有-az乘以这项
  • 6:24 - 6:30
    就是加上azbxcz
  • 6:30 - 6:31
    现在我要做的是――
  • 6:31 - 6:34
    要证明它需要一个小技巧
  • 6:34 - 6:37
    我们需要得到想要的结果
  • 6:37 - 6:38
    我要加上
  • 6:38 - 6:40
    在减去相同的项
  • 6:40 - 6:46
    我要加上axbxcx
  • 6:46 - 6:49
    再减去axbxcx
  • 6:49 - 6:58
    这是-axbxcx
  • 6:58 - 7:00
    显然表达式并未改变
  • 7:00 - 7:02
    我加上并减去了同一个项
  • 7:02 - 7:05
    我们看看能够进行化简
  • 7:05 - 7:09
    这只是三重积中的x分量
  • 7:09 - 7:10
    只是x分量
  • 7:10 - 7:12
    为了化简 我要提出一些因子
  • 7:12 - 7:16
    提出因子bx
  • 7:16 - 7:20
    我处理一下 提出因子bx
  • 7:20 - 7:22
    如果提出了因子
  • 7:22 - 7:26
    我将这个含有bx的项因式分解
  • 7:26 - 7:28
    再将这一项因式分解
  • 7:28 - 7:31
    还要将这一项因式分解
  • 7:31 - 7:37
    如果把bx提出来 就得到aycy
  • 7:37 - 7:39
    我不这么写
  • 7:39 - 7:43
    先对这一项因式分解
  • 7:43 - 7:46
    把axcx提出来
  • 7:46 - 7:50
    从而这一项就处理完了
  • 7:50 - 7:52
    然后处理――
  • 7:52 - 7:53
    处理这一项――
  • 7:53 - 7:56
    加上…… 如果把bx提出来
  • 7:56 - 7:59
    就得到aycy
  • 7:59 - 8:00
    这一项用过了
  • 8:00 - 8:02
    我把这一项中的bx提出来
  • 8:03 - 8:08
    就剩下了azcz
  • 8:08 - 8:10
    这就是结果 我把因子bx提出来了
  • 8:10 - 8:15
    现在由这一项
  • 8:15 - 8:17
    我来提出因子-cx
  • 8:17 - 8:20
    提出-cx
  • 8:20 - 8:22
    如果要这么处理
  • 8:22 - 8:24
    我们来考察这一项
  • 8:24 - 8:26
    将其提出后就得到axbx
  • 8:26 - 8:30
    得到axbx 将这项划去
  • 8:30 - 8:33
    由这一项得到ayby
  • 8:33 - 8:35
    注意提出的是-cx
  • 8:35 - 8:39
    所以这是正的ayby
  • 8:39 - 8:47
    最后有azbz
  • 8:47 - 8:49
    这等于什么?
  • 8:49 - 8:52
    绿色的这一项
  • 8:52 - 8:53
    就等于
  • 8:53 - 8:56
    a与c的内积
  • 8:56 - 9:01
    这是a与c的内积
  • 9:01 - 9:06
    它是这两个向量的内积
  • 9:06 - 9:12
    所以这就是a与c的内积乘以bx
  • 9:12 - 9:18
    也就是乘以b的x分量
  • 9:18 - 9:21
    再减去…… 我们要做相同的处理
  • 9:21 - 9:25
    再次说明 这是a与b的内积
  • 9:25 - 9:30
    即减去a・b
  • 9:30 - 9:33
    乘以c的x分量
  • 9:33 - 9:34
    我们不能忘了
  • 9:34 - 9:36
    所有的这些都要乘以单位向量i
  • 9:36 - 9:39
    我们现在考虑的是
  • 9:39 - 9:43
    整个三重积的x分量 或者说是i分量
  • 9:43 - 9:48
    于是我们把这一项
  • 9:48 - 9:52
    乘以单位向量i
  • 9:52 - 9:54
    下面要做相同的事情
  • 9:54 - 9:55
    我就不具体做了
  • 9:55 - 9:57
    因为这需要大量的计算
  • 9:57 - 10:01
    但这也并不是很难吧
  • 10:01 - 10:02
    这是关于x分量的
  • 10:02 - 10:04
    如果对j分量
  • 10:04 - 10:06
    做相同的处理
  • 10:06 - 10:08
    就要加上……
  • 10:08 - 10:10
    如果对j分量做相同的处理
  • 10:10 - 10:11
    我们只需进行相应的匹配
  • 10:11 - 10:15
    关于x分量有bx和cx
  • 10:15 - 10:19
    关于j分量有by和cy
  • 10:19 - 10:22
    这不是特殊的分量
  • 10:22 - 10:27
    这里是a・c
  • 10:27 - 10:30
    这里是-a・b
  • 10:30 - 10:32
    如果你不相信的话
  • 10:32 - 10:33
    可以自己验证一下
  • 10:33 - 10:35
    这与我们之前所做的是一样的
  • 10:35 - 10:38
    最后求z分量 或者说是k分量
  • 10:38 - 10:41
    这里还有个括号
  • 10:41 - 10:47
    同样的道理 这里有bz和cz
  • 10:47 - 10:52
    这里是a・b
  • 10:52 - 10:57
    这里是a・c
  • 10:57 - 11:03
    这变成什么? 我们怎么化简?
  • 11:03 - 11:08
    我们可以将其展开
  • 11:08 - 11:10
    从这些项里
  • 11:10 - 11:12
    提出a・c
  • 11:12 - 11:14
    注意这一项后面还要乘以i
  • 11:14 - 11:17
    我不应该跳这么多步
  • 11:17 - 11:20
    我要大家理解我讲的内容
  • 11:20 - 11:23
    如果把含有i这项展开
  • 11:23 - 11:24
    我不这么写
  • 11:24 - 11:26
    我这样写
  • 11:26 - 11:27
    这有些乱
  • 11:27 - 11:28
    让我……
  • 11:28 - 11:32
    把i写在这 这也是i
  • 11:32 - 11:34
    我只是将x分量分配进来
  • 11:34 - 11:35
    就是这个x单位向量
  • 11:35 - 11:36
    或者说是i单位向量
  • 11:36 - 11:39
    我对j做同样的处理
  • 11:39 - 11:41
    我把j写到这里
  • 11:41 - 11:43
    可以把j放到这里
  • 11:43 - 11:46
    对k也做同样的处理
  • 11:46 - 11:50
    把k放在这 把k放在这
  • 11:50 - 11:51
    那么这等于什么?
  • 11:51 - 11:54
    这个部分
  • 11:54 - 11:57
    这个部分
  • 11:57 - 12:06
    就等于a・c乘以……
  • 12:06 - 12:07
    我写出来
  • 12:07 - 12:11
    即等于bx*i
  • 12:11 - 12:13
    加上by*j
  • 12:13 - 12:16
    加上by*j
  • 12:16 - 12:21
    再加上bz*k
  • 12:21 - 12:23
    然后由此
  • 12:23 - 12:26
    我们再减去这些含有a・b的项
  • 12:27 - 12:28
    即减去
  • 12:28 - 12:33
    减去a・b乘以相同的东西
  • 12:33 - 12:35
    你会注意到
  • 12:35 - 12:36
    这一项就是向量b
  • 12:36 - 12:39
    当你处理这项时 这是向量b
  • 12:39 - 12:41
    你会得到向量c
  • 12:41 - 12:42
    我写在这里
  • 12:42 - 12:45
    将会得到向量c
  • 12:45 - 12:46
    就像这样
  • 12:46 - 12:50
    我们化简了这个三重积
  • 12:50 - 12:53
    这花了我们很长时间
  • 12:53 - 12:55
    但是这是一种化简
  • 12:55 - 12:56
    它可能看起来不像
  • 12:56 - 12:58
    但是这需要进行计算 很容易处理
  • 12:58 - 13:01
    我用不同的颜色来区分
  • 13:01 - 13:07
    如果有a叉乘b 再叉乘――
  • 13:07 - 13:09
    我换一种颜色――
  • 13:09 - 13:10
    再叉乘c
  • 13:10 - 13:13
    我刚讲过它等于……
  • 13:13 - 13:16
    一种考虑方式是它等于:
  • 13:16 - 13:17
    取第一个向量
  • 13:17 - 13:21
    乘以这两个向量的
  • 13:21 - 13:22
    内积
  • 13:23 - 13:24
    这里有个括号
  • 13:24 - 13:26
    我们要先算括号里的项
  • 13:26 - 13:27
    这里取第一个向量
  • 13:27 - 13:29
    就是向量b
  • 13:29 - 13:31
    然后将它乘以
  • 13:31 - 13:33
    其他两个向量的内积
  • 13:33 - 13:39
    就是a・c
  • 13:39 - 13:41
    然后再减去
  • 13:41 - 13:44
    减去第二个向量
  • 13:44 - 13:47
    减去第二个向量乘以
  • 13:47 - 13:49
    其他两个向量的内积
  • 13:49 - 13:54
    就是a・b
  • 13:54 - 13:55
    这样就做完了
  • 13:55 - 13:57
    这就是三重积
  • 13:57 - 14:00
    这就是三重积展开
  • 14:00 - 14:01
    再次说明
  • 14:01 - 14:04
    你不必记住这些
  • 14:04 - 14:06
    你总可以……
  • 14:06 - 14:08
    你可以通过笔算
  • 14:08 - 14:10
    自己算出来
  • 14:10 - 14:11
    你不用记住它
  • 14:11 - 14:14
    但是如果向量非常复杂
  • 14:14 - 14:16
    或者这出现在数学竞赛中
  • 14:16 - 14:18
    你就会很快地将它化简成
  • 14:18 - 14:19
    内积的形式
  • 14:19 - 14:22
    这个三重积展开公式
  • 14:22 - 14:24
    是非常有用的
Title:
Vector Triple Product Expansion (very optional)
Description:

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
14:25

Chinese (Simplified, China) subtitles

Incomplete

Revisions