Vector Triple Product Expansion (very optional)
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0:00 - 0:03本次课我要讲的是
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0:03 - 0:04三重积展开
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0:04 - 0:07它有一定的使用范围和相应的公式
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0:07 - 0:09它实际上是三个向量的
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0:09 - 0:12外积的一种化简
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0:12 - 0:12如果我取
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0:12 - 0:18a b和c的外积
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0:18 - 0:20我要做的是将其表示出来
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0:20 - 0:21我要把它表示成
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0:21 - 0:25向量的内积的差的形式
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0:25 - 0:26不仅仅是内积
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0:26 - 0:28而是用内积乘以不同的向量的形式
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0:28 - 0:29你将我明白我的意思
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0:29 - 0:31这将表达式化简了一些
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0:31 - 0:33因为外积一般是不容易算的
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0:33 - 0:34需要大量的计算
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0:34 - 0:36至少我对此容易弄乱
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0:36 - 0:38对于计算处理一些向量
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0:38 - 0:40这不是必须知道的知识
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0:40 - 0:42但是我讲这个知识点的
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0:42 - 0:45原因是我看到
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0:45 - 0:48印度理工大学的入学试题中
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0:48 - 0:50会考察大家
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0:50 - 0:52对不同形式的公式
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0:52 - 0:53以及三重积展开的掌握程度
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0:54 - 0:55我们来看看如何化简它
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0:55 - 1:02我们先做b与v的外积
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1:02 - 1:05在所有的情况下 我都假设……
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1:05 - 1:07假设已知向量a
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1:07 - 1:09我称之为―― 它将是
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1:09 - 1:12向量a的x分量乘以单位向量i
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1:12 - 1:16加上y分量 不是b
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1:16 - 1:21加上向量a的y分量乘以单位向量j
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1:21 - 1:24加上向量a的z分量
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1:24 - 1:26乘以单位向量k
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1:26 - 1:28我可以对b和c做相同的处理
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1:28 - 1:30如果我称by
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1:30 - 1:31就是说
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1:31 - 1:34关于b向量在j分量方向上的长度
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1:35 - 1:38那么我们先来求这个外积
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1:38 - 1:41如果我取这个外积
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1:41 - 1:43就需要求这个行列式
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1:43 - 1:45我写在这
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1:45 - 1:47于是b×c
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1:47 - 1:51就等于一个行列式
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1:51 - 1:54我把i j k写在上面
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1:54 - 1:58i j k 这都是由外积的定义得到的
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1:58 - 2:01没有关于它的证明
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2:01 - 2:03这是是记录内积的一种形式
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2:03 - 2:04如果你还记得
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2:04 - 2:06如何求三阶行列式的值
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2:06 - 2:12然后我写出b的x项 b的y项
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2:12 - 2:15和b的z项
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2:15 - 2:20然后对于c做同样处理 有cx cy cz
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2:20 - 2:22于是它等于……
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2:22 - 2:24第一项是i分量
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2:24 - 2:29于是有i乘以b
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2:29 - 2:32忽略这一列和这一行
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2:32 - 2:39从而有bycz-bzcy
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2:39 - 2:41我就是忽略了这一列和这一行
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2:41 - 2:42只看这个二阶的子行列式
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2:42 - 2:48这是减去bzcy
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2:48 - 2:52然后我们减去j分量
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2:52 - 2:54记住求行列式的值时符号是交替的
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2:54 - 2:56减去
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2:56 - 2:59我们忽略这一列和这一行
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2:59 - 3:01就得到bxcz
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3:04 - 3:05这是下标
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3:05 - 3:07希望能得到有趣的结果
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3:07 - 3:16从而减去bzcx
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3:16 - 3:19最后加上k分量
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3:19 - 3:25于是有bx乘以cy
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3:25 - 3:33减去bycx
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3:33 - 3:36这样我们就处理了这个内积\N【口误:应该是外积】
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3:36 - 3:38现在我要做的是……
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3:38 - 3:40抱歉 是处理了这个外积
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3:40 - 3:41我把大家弄晕了
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3:41 - 3:44我们刚刚求的是b和c的外积
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3:44 - 3:45现在我们要
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3:45 - 3:47取其与a的外积
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3:47 - 3:50要求a与这一项的外积
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3:50 - 3:52我们来算一下
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3:52 - 3:55我再建立一个矩阵
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3:55 - 3:59我把i j k写在这
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3:59 - 4:01在写上a的分量
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4:01 - 4:07就是ax ay和az
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4:07 - 4:09然后我们把这里的向量擦去
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4:09 - 4:12我把它涂成黑色
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4:12 - 4:15用黑色的来做
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4:18 - 4:21这是负的j乘以x
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4:21 - 4:24我要做的是…… 这是减去j
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4:24 - 4:29我要把符号调换一下重新写
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4:29 - 4:32这里要变号
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4:32 - 4:34就有bzcx
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4:34 - 4:41减去bxcz
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4:41 - 4:43我把其他的都删去
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4:43 - 4:46我就是把这个负号乘进来
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4:46 - 4:48这里不能算错
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4:48 - 4:51我把刷子的型号扩大一些
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4:51 - 4:53这样擦起来方便
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4:53 - 4:55好的
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4:55 - 4:58我们还要消去这一项
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4:58 - 5:00我把刷子换回到原来的型号
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5:00 - 5:05现在我们来算这个外积
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5:06 - 5:11把它建立成一个行列式
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5:11 - 5:12我要关注那个量呢?
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5:12 - 5:14如果要把分量i j和k都算出来
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5:14 - 5:19那要花去很多时间
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5:19 - 5:21这里我只计算i分量
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5:21 - 5:25只求出这个外积的x分量
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5:25 - 5:28然后我们可以求出分量i和j
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5:28 - 5:30从而就能得出
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5:30 - 5:32这一项化简成什么样
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5:32 - 5:35这里我们只计算i分量
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5:35 - 5:40这就等于i乘以……
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5:41 - 5:42我们考虑
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5:42 - 5:44这个二阶矩阵
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5:44 - 5:46我们忽略有i的这一行和这一列
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5:46 - 5:49从而有ay乘以这些项
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5:49 - 5:52我写出来
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5:52 - 5:57就是ay乘以bxcy
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5:57 - 6:07减去ay乘以bycx
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6:07 - 6:10然后再减去
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6:10 - 6:13这里是用-az乘以这项
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6:13 - 6:14我们做一下
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6:14 - 6:22从而有-azbzcx
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6:22 - 6:24然后有-az乘以这项
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6:24 - 6:30就是加上azbxcz
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6:30 - 6:31现在我要做的是――
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6:31 - 6:34要证明它需要一个小技巧
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6:34 - 6:37我们需要得到想要的结果
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6:37 - 6:38我要加上
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6:38 - 6:40在减去相同的项
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6:40 - 6:46我要加上axbxcx
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6:46 - 6:49再减去axbxcx
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6:49 - 6:58这是-axbxcx
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6:58 - 7:00显然表达式并未改变
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7:00 - 7:02我加上并减去了同一个项
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7:02 - 7:05我们看看能够进行化简
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7:05 - 7:09这只是三重积中的x分量
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7:09 - 7:10只是x分量
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7:10 - 7:12为了化简 我要提出一些因子
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7:12 - 7:16提出因子bx
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7:16 - 7:20我处理一下 提出因子bx
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7:20 - 7:22如果提出了因子
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7:22 - 7:26我将这个含有bx的项因式分解
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7:26 - 7:28再将这一项因式分解
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7:28 - 7:31还要将这一项因式分解
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7:31 - 7:37如果把bx提出来 就得到aycy
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7:37 - 7:39我不这么写
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7:39 - 7:43先对这一项因式分解
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7:43 - 7:46把axcx提出来
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7:46 - 7:50从而这一项就处理完了
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7:50 - 7:52然后处理――
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7:52 - 7:53处理这一项――
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7:53 - 7:56加上…… 如果把bx提出来
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7:56 - 7:59就得到aycy
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7:59 - 8:00这一项用过了
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8:00 - 8:02我把这一项中的bx提出来
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8:03 - 8:08就剩下了azcz
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8:08 - 8:10这就是结果 我把因子bx提出来了
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8:10 - 8:15现在由这一项
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8:15 - 8:17我来提出因子-cx
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8:17 - 8:20提出-cx
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8:20 - 8:22如果要这么处理
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8:22 - 8:24我们来考察这一项
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8:24 - 8:26将其提出后就得到axbx
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8:26 - 8:30得到axbx 将这项划去
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8:30 - 8:33由这一项得到ayby
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8:33 - 8:35注意提出的是-cx
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8:35 - 8:39所以这是正的ayby
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8:39 - 8:47最后有azbz
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8:47 - 8:49这等于什么?
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8:49 - 8:52绿色的这一项
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8:52 - 8:53就等于
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8:53 - 8:56a与c的内积
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8:56 - 9:01这是a与c的内积
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9:01 - 9:06它是这两个向量的内积
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9:06 - 9:12所以这就是a与c的内积乘以bx
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9:12 - 9:18也就是乘以b的x分量
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9:18 - 9:21再减去…… 我们要做相同的处理
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9:21 - 9:25再次说明 这是a与b的内积
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9:25 - 9:30即减去a・b
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9:30 - 9:33乘以c的x分量
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9:33 - 9:34我们不能忘了
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9:34 - 9:36所有的这些都要乘以单位向量i
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9:36 - 9:39我们现在考虑的是
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9:39 - 9:43整个三重积的x分量 或者说是i分量
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9:43 - 9:48于是我们把这一项
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9:48 - 9:52乘以单位向量i
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9:52 - 9:54下面要做相同的事情
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9:54 - 9:55我就不具体做了
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9:55 - 9:57因为这需要大量的计算
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9:57 - 10:01但这也并不是很难吧
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10:01 - 10:02这是关于x分量的
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10:02 - 10:04如果对j分量
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10:04 - 10:06做相同的处理
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10:06 - 10:08就要加上……
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10:08 - 10:10如果对j分量做相同的处理
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10:10 - 10:11我们只需进行相应的匹配
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10:11 - 10:15关于x分量有bx和cx
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10:15 - 10:19关于j分量有by和cy
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10:19 - 10:22这不是特殊的分量
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10:22 - 10:27这里是a・c
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10:27 - 10:30这里是-a・b
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10:30 - 10:32如果你不相信的话
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10:32 - 10:33可以自己验证一下
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10:33 - 10:35这与我们之前所做的是一样的
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10:35 - 10:38最后求z分量 或者说是k分量
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10:38 - 10:41这里还有个括号
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10:41 - 10:47同样的道理 这里有bz和cz
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10:47 - 10:52这里是a・b
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10:52 - 10:57这里是a・c
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10:57 - 11:03这变成什么? 我们怎么化简?
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11:03 - 11:08我们可以将其展开
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11:08 - 11:10从这些项里
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11:10 - 11:12提出a・c
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11:12 - 11:14注意这一项后面还要乘以i
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11:14 - 11:17我不应该跳这么多步
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11:17 - 11:20我要大家理解我讲的内容
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11:20 - 11:23如果把含有i这项展开
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11:23 - 11:24我不这么写
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11:24 - 11:26我这样写
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11:26 - 11:27这有些乱
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11:27 - 11:28让我……
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11:28 - 11:32把i写在这 这也是i
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11:32 - 11:34我只是将x分量分配进来
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11:34 - 11:35就是这个x单位向量
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11:35 - 11:36或者说是i单位向量
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11:36 - 11:39我对j做同样的处理
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11:39 - 11:41我把j写到这里
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11:41 - 11:43可以把j放到这里
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11:43 - 11:46对k也做同样的处理
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11:46 - 11:50把k放在这 把k放在这
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11:50 - 11:51那么这等于什么?
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11:51 - 11:54这个部分
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11:54 - 11:57这个部分
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11:57 - 12:06就等于a・c乘以……
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12:06 - 12:07我写出来
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12:07 - 12:11即等于bx*i
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12:11 - 12:13加上by*j
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12:13 - 12:16加上by*j
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12:16 - 12:21再加上bz*k
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12:21 - 12:23然后由此
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12:23 - 12:26我们再减去这些含有a・b的项
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12:27 - 12:28即减去
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12:28 - 12:33减去a・b乘以相同的东西
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12:33 - 12:35你会注意到
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12:35 - 12:36这一项就是向量b
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12:36 - 12:39当你处理这项时 这是向量b
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12:39 - 12:41你会得到向量c
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12:41 - 12:42我写在这里
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12:42 - 12:45将会得到向量c
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12:45 - 12:46就像这样
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12:46 - 12:50我们化简了这个三重积
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12:50 - 12:53这花了我们很长时间
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12:53 - 12:55但是这是一种化简
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12:55 - 12:56它可能看起来不像
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12:56 - 12:58但是这需要进行计算 很容易处理
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12:58 - 13:01我用不同的颜色来区分
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13:01 - 13:07如果有a叉乘b 再叉乘――
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13:07 - 13:09我换一种颜色――
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13:09 - 13:10再叉乘c
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13:10 - 13:13我刚讲过它等于……
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13:13 - 13:16一种考虑方式是它等于:
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13:16 - 13:17取第一个向量
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13:17 - 13:21乘以这两个向量的
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13:21 - 13:22内积
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13:23 - 13:24这里有个括号
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13:24 - 13:26我们要先算括号里的项
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13:26 - 13:27这里取第一个向量
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13:27 - 13:29就是向量b
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13:29 - 13:31然后将它乘以
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13:31 - 13:33其他两个向量的内积
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13:33 - 13:39就是a・c
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13:39 - 13:41然后再减去
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13:41 - 13:44减去第二个向量
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13:44 - 13:47减去第二个向量乘以
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13:47 - 13:49其他两个向量的内积
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13:49 - 13:54就是a・b
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13:54 - 13:55这样就做完了
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13:55 - 13:57这就是三重积
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13:57 - 14:00这就是三重积展开
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14:00 - 14:01再次说明
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14:01 - 14:04你不必记住这些
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14:04 - 14:06你总可以……
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14:06 - 14:08你可以通过笔算
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14:08 - 14:10自己算出来
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14:10 - 14:11你不用记住它
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14:11 - 14:14但是如果向量非常复杂
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14:14 - 14:16或者这出现在数学竞赛中
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14:16 - 14:18你就会很快地将它化简成
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14:18 - 14:19内积的形式
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14:19 - 14:22这个三重积展开公式
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14:22 - 14:24是非常有用的
- Title:
- Vector Triple Product Expansion (very optional)
- Description:
-
- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 14:25
![]() |
Fran Ontanaya edited Chinese (Simplified, China) subtitles for Vector Triple Product Expansion (very optional) |