Integration by parts of (e^x)(cos x)

让我们看一看我们可不可以用分部积分

来求出e^xcosxdx的反导数。

无论什么时候我们讨论分部积分，

我们一直说，这些函数中的哪一个--

我们取两个的积--

这些函数的哪一个，x或者cosx，

如果我要取它的导数，会变得更简单？

在这个情况下这两个都不会变得更简单。

当我取它们的反导数时

它们都没有变得更离谱得复杂。

那么这里，它是某种在我

给f(x)布置哪个以及我给g'(x)布置哪个之间选择。

实际上，你可以用任意一种方法解这个问题。

那么让我们用这个。

让我们用f(x)=e^x。

让我们把g'(x)写成等于cosx。

那让我写下来。

我们说f(x)=e^x，

或者f'(x)=e^x。

e^x的导数就是e^x。

然后我们可以说g，我们用的是--

g'(x)=cosx。

g(x)的反导数也是。

或者cosx的反导数

等于sinx。

那么现在让我们应用分部积分。

这个东西等于

f(x)乘以g(x)，这等于

e^x乘以sinx，减去f'(x)的

反导数--f'(x)是e^x。

e^x乘以g(x)，也就是sinx。

现在，它看起来不像我们已经做了很多步骤，

现在我们有了一个涉及到sinx的

不定积分。

那么让我们看一下能不能解它，

看一下能不能分开解题。

比方说如果我们试着求出反导数。

e^x的反导数, sinxdx。

我们可以怎么做？

那么，相似地，我们可以设置f(x)等于e^x。

现在这个是我们重新分配的。

尽管我们要做一模一样的重新分配。

那么我们说f(x)=e^x。

f'(x)就等于那个的导数，

仍旧是e^x。

然后在这个情况下，我们可以说g(x)

等于sinx。

我们现在把这些放到脑后。

然后--让我说清楚--g'(x)，让我

哦，那么我们有

g'(x)=sinx，也就是说

它的反导数是-cosx。

余弦的导数负正弦，

负余弦的导数是正弦。

所以再一次，让我们应用分部积分。

那么我们有f(x)乘以g(x)。

f(x)乘以g(x)是负--

我会把负号提前--它是负的

e^x乘以cosx，减去f'(x)g(x)

的反导数。

f'(x)是e^x。

然后g(x)是-cosx。

所以我把cosx放到这里，

然后负号，我会把它从

积分符号里拿出来。

所以我们减去一个负的。

它变成了正的。

当然，我们这里有dx。

你可能会说，Sal，我们没有在做任何进展。

这里的这个东西，我们现在

以不是我们原本的积分

的形式表达。

我们回到了一个完整的圆上。

但是让我们试着做一些有趣的事。

让我们再回去做减法--好的，

让我这样写。

在这里减去这个东西。

实际上，让我用不同的方法写。

让我们在原本的等式中减去这个。

然后让我们看看是不是能得到有趣的事。

那么我们会得到的是原本的积分，

在这里的左手边。

e^xcosxdx的不定积分，

或者反导数等于

e^xsinx，减去所有的这些。

那么让我们减去这些。

我们对所有的这些做减法。

所以如果你减去-e^xcosx，

它等于正的。

它是正的e^xcosx。

然后要记住，我们减掉所有。

那么我们要做减法了。

我们有减去e^xcosxdx的

反导数。

现在有意思了。

要记得所有我们做的是，我们取这里的这个部分。

我们说过，我们用了分部积分来

知道了这个和这个是一样的。

那么我们减回去。

当你减去它时，

当你从这个减去它时，

我们得到了这里的这个东西。

现在有趣的是我们本质上有

一个具有两次我们的表达式的等式，

我们原本的表达式。

我们甚至可以把这个分配给一个变量

然后本质上解这个变量。

那么为什么不在等式两边

加上这个东西呢？

让我讲清楚一点。

让我们在两边加上

积分e^xcosxdx。

e^x,cosx,dx。

那么你得到了什么？

好的，在左手边，你有

2乘以我们原本的积分。

e^x,cosx,dx等于这里的所有。

等于这个。

我会复制粘贴它。

复制，然后粘贴。

它等于所有的这些。

然后这一部分，全消。

现在我们可以解原本的表达式。

e^xcosxdx的反导数。

我们只需要两边除以这个，

除以2。

那么如果你左边除以2，

就剩下了我们原本的表达式。

e^xcosxdx的反导数。

在右手边你有

e^xsinx，加上e^xcox，除以2。

现在我们要小心，因为这是个

原本表达式的反导数，

但是它不是唯一的一个。

我们一直要记得，即使我们努力

把它完成--我们用了分部积分两次。

并且我们做过代入。

我们必须记得这里仍然得有一个常数。

那么如果你取了这个东西的导数，

不管这个常数是什么，

你会得到e^xcosx。

并且这个实际上是一个挺整洁的表达式。