< Return to Video

Integration by parts of (e^x)(cos x)

  • 0:00 - 0:01
    .
  • 0:01 - 0:03
    בוא נראה אם ​​אנחנו יכולים להשתמש
    באינטגרציה על ידי חלקים
  • 0:03 - 0:09
    כדי למצוא את האנטינגזרת של
    e בחזקת קוסינוס של dx x.
  • 0:09 - 0:11
    ובכל פעם שאנחנו מדברים
    האינטגרציה על ידי חלקים,
  • 0:11 - 0:13
    אנחנו תמיד אומרים, טוב,
    אילו מפונקציות האלה -
  • 0:13 - 0:15
    שאנחנו לוקחים תוצר
    של שתי אלה - ש
  • 0:15 - 0:18
    מהפונקציות האלה, או
    X או הקוסינוס של x, שאם הייתי
  • 0:18 - 0:20
    לוקח נגזרת שלה,
    היא נהפכת לפשוטה יותר.
  • 0:20 - 0:22
    ובמקרה הזה אף אחת
    מהן לא הופכת פשוטה יותר.
  • 0:22 - 0:24
    ואף אחת מהן לא נעשת
    באופן דרמטי יותר מסובכת
  • 0:24 - 0:26
    כאשר אני לוקח שלהם
    אנטינגזרת.
  • 0:26 - 0:29
    אז הנה, זה סוג של
    לזרוק איזו אני אקצה
  • 0:29 - 0:31
    ל F של x ואיזו מהן
    אני אקצה ל g גרש של x.
  • 0:31 - 0:34
    ובאמת, אתה יכול לפתור
    בעיה זו בכל מקרה.
  • 0:34 - 0:36
    אז בואו רק נקצה את זו.
  • 0:36 - 0:39
    בואו נקצה f של x להיות
    שווה e בחזקת x.
  • 0:39 - 0:43
    ובואו נקצה g גרש של
    X כשווה לקוסינוס שווה של x.
  • 0:43 - 0:44
    אז תנו לי לרשום את זה.
  • 0:44 - 0:49
    אנחנו אומרים ש f של x
    שווה ל e בחזקת x,
  • 0:49 - 0:52
    או f גרש של x
    שווה ל e בחזקת x.
  • 0:52 - 0:55
    הנגזרת של e בחזקת
    X הוא פשוט e בחזקת x.
  • 0:55 - 0:58
    ואנחנו יכולים לומר ש g - אנחנו
    מכינים את המשימה-- g
  • 0:58 - 1:01
    גרש של x שווה
    ל cosine של x.
  • 1:01 - 1:04
    ואת האנטינגזרת
    של g של x היא גם.
  • 1:04 - 1:06
    או האנטינגזרת
    של הקוסינוס של x
  • 1:06 - 1:11
    היא רק הולכת להיות
    שווה לסינוס של x.
  • 1:11 - 1:13
    אז עכשיו נעשה
    אינטגרציה על ידי חלקים.
  • 1:13 - 1:15
    אז הדבר הזה
    הולך להיות שווה ל F
  • 1:15 - 1:19
    של x כפול ל g של x,
    אשר שווה E
  • 1:19 - 1:29
    בחזקת x כפול סינוס של x,
    מינוס האנטינגזרת של F
  • 1:29 - 1:32
    גרש של x--
    f גרש של x הוא e בחזקת x.
  • 1:32 - 1:36
    e בחזקת x כפול g של x,
    ששוב, סינוס של x.
  • 1:36 - 1:43
    .
  • 1:43 - 1:46
    עכשיו זה לא נראה
    שעשינו הרבה התקדמות,
  • 1:46 - 1:47
    עכשיו יש לנו
    אינטגרל לא מסוים
  • 1:47 - 1:49
    שקשור בסינוס של x.
  • 1:49 - 1:50
    אז בואו נראה אם ​​אנחנו יכולים
    לפתור את זה, בואו נראה
  • 1:50 - 1:53
    אם אנחנו פותרים את זה בנפרד.
  • 1:53 - 1:56
    אז בוא נגיד אם היינו מנסים למצוא את אנטינגזרת.
  • 1:56 - 2:00
    את האנטינגזרת של e בחזקת
    x, סינוס של dx x.
  • 2:00 - 2:01
    איך נוכל לעשות את זה?
  • 2:01 - 2:06
    ובכן, באופן דומה, אנחנו יכולים להגדיר את f
    של x שווה ל- e בחזקת x.
  • 2:06 - 2:07
    אז, ועכשיו זה
    אנחנו מציבים מחדש,
  • 2:07 - 2:10
    למרות שאנחנו עושים את זה
    אותו השינוי מחדש.
  • 2:10 - 2:13
    אז אנחנו אומרים ש f של x
    שווה E בחזקת x.
  • 2:13 - 2:16
    f גרש של x שווה
    רק לנגזרת של זה,
  • 2:16 - 2:18
    אשר עדיין e בחזקת x.
  • 2:18 - 2:21
    ואז נוכל לומר
    ש g של x, במקרה זה,
  • 2:21 - 2:23
    שווה לסינוס x.
  • 2:23 - 2:26
    אנחנו נשים את המטלות האלה
    במקום כלשהו בראש לעת עתה.
  • 2:26 - 2:30
    ואז -- תנו לי לעשות את זה
    ברור- G גרש של x, תנו לי,
  • 2:30 - 2:35
    אופס, הנה -
    אז יש לנו g גרש
  • 2:35 - 2:41
    של x שווה לסינוס
    של x, כלומר
  • 2:41 - 2:45
    כי האנטינגזרת שלה
    היא מינוס קוסינוס של x.
  • 2:45 - 2:47
    הנגזרת של קוסינוס
    היא מינוס קוסינוס,
  • 2:47 - 2:49
    נגזרת של מינוס
    קוסינוס היא סינוס.
  • 2:49 - 2:53
    אז שוב, נעשה
    אינטגרציה על ידי חלקים.
  • 2:53 - 2:57
    אז יש לנו F של x כפול g של x.
  • 2:57 - 3:00
    f של x כפול g של
    x היא מינוס --
  • 3:00 - 3:03
    אני אשים את המינוס
    בחוץ -- זה מינוס e
  • 3:03 - 3:13
    אל x כפול cosine של x,
    מינוס האנטינגזרת של F
  • 3:13 - 3:14
    גרש של gx של x.
  • 3:14 - 3:19
    F גרש של x הוא e בחזקת x.
  • 3:19 - 3:22
    ואז g של x הוא
    מינוס של קוסינוס של x.
  • 3:22 - 3:24
    אז אני אשים את הקוסינוס
    של x ממש כאן,
  • 3:24 - 3:26
    ולאחר מכן את מינוס,
    אנחנו יכולים להוציא מחוץ
  • 3:26 - 3:27
    לסימן אינטגרלי.
  • 3:27 - 3:29
    וכך אנחנו
    מחסרים שלילי.
  • 3:29 - 3:32
    זה הופך להיות חיובי.
  • 3:32 - 3:36
    וכמובן, יש לנו את
    ה dx שלנו ממש שם.
  • 3:36 - 3:39
    ואתם יכולים לומר, סאל, אנחנו
    לא עושים שום התקדמות.
  • 3:39 - 3:40
    הדבר הזה פה
    , עכשיו אנחנו
  • 3:40 - 3:43
    מבטאים במונחים
    של אינטגרל
  • 3:43 - 3:44
    שהיה האינטגרל המסוים שלנו.
  • 3:44 - 3:47
    חזרנו לאותו מקום.
  • 3:47 - 3:49
    אבל בואו ננסה לעשות
    משהו מעניין.
  • 3:49 - 3:54
    בואו נחליף את זה
    --בסדר,
  • 3:54 - 3:56
    תנו לי לכתוב את זה ככה.
  • 3:56 - 4:03
    בואו נחליף חזרה את
    הדבר הזה כאן.
  • 4:03 - 4:05
    או בעצם, תנו לי
    לכתוב את זה בדרך אחרת.
  • 4:05 - 4:14
    בואו נחליף את זה
    לזה במשוואה המקורית שלנו.
  • 4:14 - 4:16
    ובואו נראה אם ​​הגענו
    למשהו מעניין.
  • 4:16 - 4:18
    אז מה שאנחנו מקבלים זה
    האינטגרל המקורי שלנו,
  • 4:18 - 4:20
    בצד שמאל כאן.
  • 4:20 - 4:22
    האינטגרל הלא מסוים
    או האנטינגזרת של e
  • 4:22 - 4:27
    בחזקת קוסינוס של x
    dx שווה ל- e
  • 4:27 - 4:39
    בחזקת x סינוס של x, מינוס
    כל העסק הזה.
  • 4:39 - 4:41
    אז בואו רק נחסר את
    כל העסק הזה.
  • 4:41 - 4:43
    אנחנו מפחיתים את כל זה.
  • 4:43 - 4:46
    אז אם אתה מחסר
    e בחזקת x קוסינוס של x,
  • 4:46 - 4:47
    זה הולך להיות חיובי.
  • 4:47 - 4:51
    זה הולך להיות חיובי
    e בחזקת x, קוסינוס של x.
  • 4:51 - 4:54
    .
  • 4:54 - 4:57
    ואז זכורו, אנחנו
    נחסר את כל זה.
  • 4:57 - 4:58
    אז אנחנו הולכים לחסר.
  • 4:58 - 5:09
    אז יש לנו מינוס האנטינגזרת
    של e בחזקת x,
  • 5:09 - 5:10
    קוסינוס של dx x.
  • 5:10 - 5:14
    .
  • 5:14 - 5:15
    עכשיו זה מעניין.
  • 5:15 - 5:18
    רק תזכרו את כל מה שעשינו, אנחנו
    לקח את החלק הזה ממש כאן.
  • 5:18 - 5:20
    אמרנו, שהתמשנו
    באינטגרציה על ידי חלקים
  • 5:20 - 5:22
    כדי להבין שזה
    אותו דבר כמו זה.
  • 5:22 - 5:23
    אז החלפנו את זה בחזרה.
  • 5:23 - 5:25
    כאשר אתם מחסרים את זה.
  • 5:25 - 5:27
    כאשר אתם מחסרים את זה
    מזה,
  • 5:27 - 5:29
    יש לנו את העסק הזה
    ממש פה.
  • 5:29 - 5:32
    עכשיו מה מעניין כאן
    זה שיש לנו בעצם
  • 5:32 - 5:34
    משוואה שבה
    יש לנו את הביטוי שלנו,
  • 5:34 - 5:35
    הביטוי המקורי שלנו, פעמיים.
  • 5:35 - 5:37
    אנחנו יכולים אפילו להקצות
    לזה משתנה
  • 5:37 - 5:39
    ובעצם לפתור
    עבורו משוואה .
  • 5:39 - 5:41
    אז למה לא
    רק תוסיפו את הדבר הזה
  • 5:41 - 5:43
    לשני הצדדים של המשוואה?
  • 5:43 - 5:44
    תנו לי להבהיר.
  • 5:44 - 5:48
    בואו רק נוסיף את האינטגרל
    של e בחזקת קוסינוס
  • 5:48 - 5:52
    של x לשני הצדדים.
  • 5:52 - 5:55
    e בחזקת x, קוסינוס של dx,x.
  • 5:55 - 5:56
    ומה אתם מקבלים?
  • 5:56 - 5:57
    טוב, משמאל
    , יש לכם
  • 5:57 - 6:00
    שתיים כפול האינטגרל המקורי שלנו.
  • 6:00 - 6:05
    e בחזקת, קוסינוס של dx,x
    שווה לכל העסק הזה.
  • 6:05 - 6:07
    שווה לזה.
  • 6:07 - 6:09
    אני אעתיק ואדביק אותו.
  • 6:09 - 6:12
    אז להעתיק ולהדביק.
  • 6:12 - 6:16
    זה שווה לכל זה.
  • 6:16 - 6:20
    ואז החלק הזה, החלק הזה
    ממש כאן, מתבטל.
  • 6:20 - 6:23
    ועכשיו אנחנו יכולים לפתור
    הביטוי המקורי שלנו.
  • 6:23 - 6:26
    את האנטינגזרת של e בחזקת x
    אל הקוסינוס dx x.
  • 6:26 - 6:29
    אנחנו פשוט חייבים לחלק
    משני הצדדים של זה,
  • 6:29 - 6:31
    למעשה משוואה, על ידי 2.
  • 6:31 - 6:34
    אז אם אתם מחלקים את
    צד שמאל בשתיים,
  • 6:34 - 6:36
    אתם תשארו עם
    הביטוי המקורי.
  • 6:36 - 6:39
    את האנטינגזרת של ה e בחזקת x
    אל x קוסינוס dx x.
  • 6:39 - 6:43
    ובצד ימין
    יש לכם למה זה חייב להיות שווה.
  • 6:43 - 6:47
    E בחזקת x סינוס של x, ועוד e
    בחזקת x קוסינוס חלקי 2.
  • 6:47 - 6:49
    ועכשיו אנחנו רוצים להיות
    זהירים בגלל שזו
  • 6:49 - 6:52
    האנטינגזרת של
    הביטוי המקורי שלנו,
  • 6:52 - 6:53
    אבל היא לא היחידה.
  • 6:53 - 6:56
    אנחנו תמיד צריכים לזכור,
    למרות שעבדנו קשה
  • 6:56 - 6:59
    ועשינו - השתמשנו
    באינטגרציה על ידי חלקים פעמיים.
  • 6:59 - 7:01
    ואנחנו נאלצנו
    להחליף חזרה.
  • 7:01 - 7:05
    אנחנו חייבים לזכור שאנחנו צריכים
    עדיין כאן קבוע.
  • 7:05 - 7:08
    אז אם אתם עושים
    נגזרת של העסק הזה,
  • 7:08 - 7:10
    לא משנה מה
    הקבוע הוא,
  • 7:10 - 7:13
    אתם תקבלו e בחזקת x
    קוסינוס x .
  • 7:13 - 7:15
    וזה בעצם ביטוי די יפה ומסודר.
  • 7:15 - 7:16
    .
Title:
Integration by parts of (e^x)(cos x)
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:16

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.