-
Máme tu jeden
zajímavý příklad.
-
Najděte takové číslo ‚a‘,
-
že limita pro x blížící se k 0
z odmocniny z (4 plus x)
-
minus odmocnina z (4 minus ‚a‘ krát x),
to celé lomeno x, se rovná 3 lomeno 4.
-
Jako vždy vám doporučuji si video
zastavit a zkusit to vyřešit sami.
-
Když jste si to teď už zkusili,
pojďme to vyřešit společně.
-
Když zkusíte do
výrazu v limitě dosadit...
-
x se blíží k 0, takže když zkusíte
za x dosadit 0, dostanete...
-
Limita pro x blížící se k 0
z odmocniny z (4 plus x)
-
minus odmocnina z
(4 minus ‚a‘ krát x), to celé lomeno x.
-
Tohle bude po dosazení
odmocnina ze 4, protože 4 plus 0 je 4.
-
Zde bude také
odmocnina ze 4,
-
protože ať už je ‚a‘ cokoliv,
‚a‘ krát 0 se vždy rovná 0,
-
tudíž mi zbyde 4 minus 0,
a tak tu bude odmocnina ze 4.
-
Tohle se rovná 2
poté, co dosadíme za x.
-
Tento výraz se
bude také rovnat 2,
-
takže zde bude
2 minus 2.
-
x se blíží k 0,
a tak zde bude 0.
-
Vypadá to tedy, že nám
vyšel neurčitý výraz.
-
Když vám vyjde něco jako
tohle, tak si začnete říkat:
-
„Což takhle použít
l'Hospitalovo pravidlo?“
-
Máme-li 0 lomeno 0 nebo
nekonečno lomeno nekonečno...
-
Tato limita se rovná
limitě pro x blížící se k 0
-
z derivace čitatele lomené
derivací jmenovatele.
-
Čemu se tedy rovná
derivace čitatele?
-
Nejdřív ale udělám
derivaci jmenovatele,
-
protože derivace x podle...
-
Udělám to
jinou barvou.
-
...derivace x podle x
se rovná 1.
-
Teď už půjdeme na
derivaci čitatele.
-
Derivace tohohle
podle x...
-
Tohle je (4 plus x)
na jednu polovinu,
-
takže derivace tohohle je (1 lomeno 2)
krát (4 plus x) na minus jednu polovinu.
-
Derivace tohoto
výrazu je tedy...
-
Zde jsme použili derivaci složené funkce,
avšak derivace (4 plus x) je 1,
-
takže tento výraz jsme
jen vynásobili 1.
-
V tomto případě je ale derivace
(4 minus ‚a‘ krát x) podle x rovna −a,
-
takže tím musíme vynásobit,
a navíc je tady tohle minus.
-
Píšu tu proto
plus ‚a‘ krát (1 lomeno 2)
-
krát (4 minus ‚a‘ krát x)
na minus jednu polovinu.
-
K derivaci tohoto jsem tedy použil
derivaci mocniny a složené funkce.
-
Čemu se
tohle rovná?
-
Tohle se rovná
něco lomeno 1.
-
Když se x blíží k 0,
tak tato část je...
-
4 plus 0 je 4, toto na minus jednu
polovinu, což se rovná jedna polovina.
-
4 na jednu polovinu je 2, 4 na minus
jednu polovinu je jedna polovina.
-
Když se x blíží k 0 tady, tak dostaneme
4 na minus jednu polovinu,
-
což je opět
jedna polovina.
-
Čemu se toto
tedy rovná?
-
Polovina krát polovina je
jedna čtvrtina, to je tato část,
-
a zde máme ‚a‘ krát jedna polovina krát
jedna polovina, to bude plus ‚a‘ lomeno 4.
-
Toto se tedy rovná ‚a‘ plus 1,
to celé lomeno 4.
-
V zadání máme, že tento
výraz se musí rovnat 3 lomeno 4.
-
Toto se musí rovnat 3 lomeno 4,
takové je zadání naší úlohy.
-
Tohle se musí
rovnat 3 lomeno 4.
-
Nyní už je jednoduché zjistit,
čemu se musí rovnat ‚a‘.
-
‚a‘ plus 1 se musí rovnat 3,
takže ‚a‘ se rovná 2.
-
A máme hotovo.
Khan Academy
