-
Дадена ни е интересна задача,
или упражнение, ето тук.
-
"Намерете такова число а, за което е изпълнено
следното: Границата, когато х клони към 0,
-
е равна на квадратен корен от 4 плюс х
-
минус квадратен корен от 4
минус а по х,
-
и всичко това е върху х,
и е равно на 3/4.
-
Както винаги, насърчавам те
-
да спреш видеото и да опиташ
да решиш задачата самостоятелно.
-
Предполагам, че вече го направи,
-
а сега нека да я решим заедно.
-
Когато просто се опиташ
повърхностно
-
да изчислиш тази граница тук,
когато х клони към 0,
-
или просто се опиташ да я изчислиш,
-
когато х е равно на 0, то ще получиш...
-
Добре, нека да се опитам
да изчисля границата,
-
когато х клони към 0,
-
от квадратен корен от 4 плюс х,
-
минус квадратен корен от
4 минус а по х,
-
и всичко е върху х.
-
Този израз ето тук ще бъде равен
-
просто на квадратен корен от 4,
-
защото 4 плюс 0 е равно на 4.
-
А този израз ето тук
просто ще бъде равен на
-
квадратен корен от 4,
-
защото без значение
на какво е равно а,
-
то а по 0 е равно на 0.
-
Следователно ще остане 4 минус 0,
-
или просто ще се получи
квадратен корен от 4.
-
Тоест ще се получи 2.
-
Целият този израз
ще бъде равен на 2.
-
Ако просто заместим х тук,
то целият този израз е равен на 2.
-
Целият този израз ето тук
също ще бъде равен на 2.
-
Ще се получи 2 минус 2,
и когато х клони към 0,
-
то знаменателят ще е равен на 0.
-
Изглежда, че ще получим...
-
Получава се недефиниран вид.
-
И когато получиш нещо такова,
-
си казваш: "Ще приложа
Правилото на Лопитал.".
-
Ако получа 0 върху 0 или
безкрайност върху безкрайност...
-
Тази граница ще бъде равна
на същото нещо,
-
като границата, когато х клони към 0...
-
Тази граница ще бъде равна
на същото нещо,
-
като границата, когато х клони към 0,
-
от производната на числителя
-
върху производната на знаменателя.
-
А на какво е равна
производната на числителя?
-
Всъщност първо ще намеря
производната на знаменателя.
-
Защото производната на х спрямо...
-
О, може да направя
това с различен цвят.
-
Производната на х спрямо х
просто ще бъде равна на 1.
-
Нека сега да намеря производната
-
на ето този израз тук отгоре.
-
Производната...
-
Производната на ето този израз
тук спрямо х.
-
Първият член е равен на
4 плюс х на степен 1/2.
-
Това е производната на този член
-
и ще бъде равна на 1/2 по 4
-
плюс х на степен минус 1/2.
-
А производната на ето този член тук...
-
Нека да видим...
-
Тук прилагаме верижното
правило и производната
-
на 4 плюс х е просто
равна на 1, т.е. просто
-
умножаваме този израз по 1.
-
Когато обаче приложим верижното
правило тук, то производната на
-
4 минус а по х спрямо х
ще бъде равна на минус а.
-
Сега умножаваме това по
-
този минус отпред,
така че ще се получи плюс а.
-
Плюс а по...
-
по 1/2,
-
по 4 минус а по х,
-
на степен минус 1/2.
-
Просто приложих правилото за намиране
производна на степен и верижното правило,
-
за да намеря производната
на този израз.
-
Тогава на какво
ще бъде равен този израз?
-
Е, ще бъде равен на...
-
Този израз ще бъде
равен на нещо върху 1.
-
Когато х клони към 0,
тогава тук ще се получи
-
за този израз 4 плюс 0,
-
което е равно просто на
4 на степен минус 1/2.
-
Това ще бъде равно на 1/2.
-
4 на степен 1/2 е равно на 2.
-
4 на степен минус 1/2 е равно на 1/2.
-
Тогава, когато х клони към 0,
-
за този израз се получава
4 на степен минус 1/2,
-
което отново ще бъде равно на 1/2.
-
И до какво се опростява
този израз?
-
Имаме 1/2 по 1/2,
което е равно на 1/4.
-
Това е от този израз тук.
-
Тогава за ето този израз
се получава а по 1/2 по 1/2,
-
така че записваме плюс а/4.
-
Тоест този резултат е равен
на същото като а плюс 1 върху 4.
-
И знаем, че това трябва
да е равно на 3/4.
-
Този израз трябва да е равен на 3/4.
-
Това е нашата първоначална задача.
-
Изразът трябва да е равен на 3/4.
-
И сега може директно да определим
на какво трябва е равно числото а.
-
а плюс 1 трябва да е равно на 3,
-
или а е равно на 2.
-
И сме готови.
Khan Academy
