Function Inverse Example 1
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0:00 - 0:01現在有函數f(x)=-x+4
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0:01 - 0:06且其曲線已經在坐標平面上畫出來了
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0:06 - 0:08我們試著求一下其反函數
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0:08 - 0:12要求反函數
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0:12 - 0:15我常做的是設變量y
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0:15 - 0:19y=f(x) 或者寫成
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0:19 - 0:22y=-x+4
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0:22 - 0:25現在 我們用x表示了y
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0:25 - 0:27爲了求反函數 要反過來
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0:27 - 0:30用y表示x
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0:30 - 0:32兩邊同時減4
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0:32 - 0:36得到y-4=-x
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0:36 - 0:39要求出x
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0:39 - 0:42可以對方程兩邊
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0:42 - 0:48同時乘以-1
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0:48 - 0:50得到-y+4=x
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0:50 - 0:53因爲我們習慣於
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0:53 - 0:56把自變量寫在左邊
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0:56 - 0:58因此可以改寫成x=-y+4
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0:58 - 1:07還有另一種寫法
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1:07 - 1:09就是f^(-1) (y)=-y+4
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1:09 - 1:13這個就是反函數
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1:13 - 1:15我們把它寫成了y的函數
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1:15 - 1:16爲了得到x的函數 我們可以把y命名爲x
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1:16 - 1:23我們來做一下
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1:23 - 1:26把y重命名爲x
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1:26 - 1:28得到f^(-1) (x)=-x+4
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1:28 - 1:31這兩個函數是等價的
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1:31 - 1:32在這裡我們用y表示自變量
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1:32 - 1:35或者說是輸入變量
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1:35 - 1:38在這兒則是用x 不過這兩者是完全一樣的
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1:38 - 1:40現在 爲了有趣 我們畫出反函數的曲線
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1:40 - 1:42看看它和這條曲線之間的聯係
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1:42 - 1:44如果看這個函數 它和原函數看起來完全一樣
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1:44 - 1:46都是-x+4
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1:46 - 1:47是同一個函數
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1:47 - 1:48我們看一下 如果我們-- y的截距是4
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1:48 - 1:52這兩條曲線應該是一樣的
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1:52 - 1:53這函數與自己互成反函數
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1:53 - 1:57如果要畫出來
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1:57 - 1:59應該把它畫到這條線上
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1:59 - 2:00有幾種方法思考這一情況
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2:00 - 2:03在第一個反函數的影片裏
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2:03 - 2:05我講過原函數和反函數是--
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2:05 - 2:08它們是關於y=x對稱的
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2:08 - 2:10那麽曲線y=x在哪呢?
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2:10 - 2:12y=x是這樣子的
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2:12 - 2:14而y=-x+4實際上是垂直於
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2:14 - 2:16y=x的 所以如果取對稱
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2:16 - 2:21實際上就是把它翻過來
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2:21 - 2:26是同一條曲線
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2:26 - 2:28自己是自己的映射
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2:28 - 2:30現在我們來確保這是正確的
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2:30 - 2:33當我們討論這個函數時
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2:33 - 2:34如果代入2 會由函數映射成2
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2:34 - 2:39代入4 得到0
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2:39 - 2:43如果反過來會怎樣?
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2:43 - 2:49輸入是2
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2:49 - 2:50兩種方向輸出都是2 這樣可以講得通
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2:50 - 2:54對於原函數 4被映射成0
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2:54 - 2:56對於反函數 0被映射成4
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2:56 - 2:59所以這是完全正確的
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2:59 - 3:02換種方式思考
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3:02 - 3:04對於原函數-- 我把它寫下來
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3:04 - 3:05你們可能對於這很熟悉了 不過僅僅是以防萬一
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3:05 - 3:08寫出來可能會有幫助的
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3:08 - 3:09我們選f(5)
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3:09 - 3:12f(5)=-1
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3:12 - 3:14或者說原函數把5映射成-1
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3:14 - 3:18那麽反函數呢?
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3:18 - 3:24f^(-1) (-1)是多少呢?
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3:24 - 3:27f^(-1) (-1)=5
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3:27 - 3:31或者可以說它把-1映射到5
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3:31 - 3:33如果你們想到了集合的概念
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3:33 - 3:36也就是定義域和值域
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3:36 - 3:41假設這是f的定義域
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3:41 - 3:44這是f的值域
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3:44 - 3:46f會從5得到-1
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3:46 - 3:49這就是f的作用
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3:49 - 3:51同時我們知道f^(-1)從-1回到5
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3:51 - 3:59f^(-1)把-1變回5
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3:59 - 4:01這也是我們所期望的
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4:01 - 4:05我再做一道
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4:05 - 4:10已知g(x)=-2x-1
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4:10 - 4:12就像上個問題 設y等於它
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4:12 - 4:15y=g(x)
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4:15 - 4:19也就等於-2x-1
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4:19 - 4:23現在要求x
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4:23 - 4:25y+1=-2x
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4:25 - 4:28這一步是兩邊同時加1
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4:28 - 4:30現在方程兩邊同時除以-2
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4:30 - 4:33得到(-y)/2-1/2=x
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4:33 - 4:35或者寫成x=(-y)/2-1/2
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4:35 - 4:39或者寫成
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4:39 - 4:47f^(-1) (y)=(-y)/2-1/2
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4:47 - 4:52我們直接把y命名爲x
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4:52 - 4:56也就有--
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4:56 - 5:02我要仔細點了 這不是f
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5:02 - 5:08原函數是g 我得說清楚這點
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5:08 - 5:09應該是g^(-1) (y)=(-y)/2-1/2
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5:09 - 5:11因爲是以g(x)作爲開始的
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5:11 - 5:22不是f(x)
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5:22 - 5:24要確保用對符號
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5:24 - 5:26我們可以重命名y並得到
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5:26 - 5:31g^(-1) (x)=(-x)/2-1/2
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5:31 - 5:34現在來畫一下圖
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5:34 - 5:35y截距是-1/2
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5:35 - 5:38這個點在那
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5:38 - 5:40斜率是-1/2
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5:40 - 5:43如果從-1/2開始
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5:43 - 5:49沿正方向移1
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5:49 - 5:53會下降1/2
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5:53 - 5:56如果再移動1個單位 縱坐標又會下降1/2
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5:56 - 6:00如果沿反方向移動-- 會變成這樣
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6:00 - 6:02我盡最大努力來畫
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6:02 - 6:05曲線應該是這樣子的
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6:05 - 6:08它會一直延伸 所以應該是這樣子
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6:08 - 6:11它會沿兩個方向一直延續
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6:11 - 6:13現在我們來看一下它們是否
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6:13 - 6:15關於y=x對稱 y=x是這條曲線
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6:15 - 6:22你們可以看出來 它們確實是對稱的
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6:22 - 6:23如果把這條藍色的曲線沿y=x翻轉
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6:23 - 6:25會得到這條橙色的曲線
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6:25 - 6:27按照字面來理解 反函數的中心思想是
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6:27 - 6:31函數最初被表示爲--
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6:31 - 6:34最初是用x表示y的
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6:34 - 6:36你們要通過做一些變換
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6:36 - 6:39把x用y來表示
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6:39 - 6:41得到的就是以y爲自變量的
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6:41 - 6:44反函數