Доказателство: диагоналите на успоредник взаимно се разполовяват

Доказваме, че един четириъгълник е успоредник, ако и само ако неговите диагонали взаимно се разполовяват.

Тук имаме един успоредник.

Искаме да докажем, че неговите диагонали
се разполовяват взаимно.

Първото, което трябва да проумеем, е
че това не са само диагонали,

това са и прави, които
пресичат успоредни прави.

Така че можем да гледаме на тях
и като на пресечни прави.

И ако се съсредоточим върху DB ето тук,
ще видим, че тя пресича DC и AB.

И тъй като знаем,

че това е успоредник,

знаем също и това, че
тези страни са успоредни.

Това е успоредник.

Следователно вътрешните кръстни ъгли
трябва да са равни.

Така че този ъгъл трябва
да е равен на ето този ъгъл.

Нека да обозначим това място.

Нека нарека тази пресечна точка Е.

Знаем, че ъгъл АВЕ трябва
да е равен на CDE,

тъй като са вътрешни кръстни ъгли,

образувани при пресичането на
две успоредни прави с трета.

Вътрешни кръстни ъгли.

Ако погледнем диагонал АС, или нека
да го наречем пресичаща права АС,

можем да изведем същия довод.

Той пресича ето тук и тук.

Тези две прави са успоредни.

Следователно вътрешните кръстни ъгли
трябва да са равни.

Така че ъгъл DEC трябва да е
... нека го напиша..

Ъгъл DEC трябва да е равен
на ъгъл ВАЕ

поради същата причина.

Сега вече имаме нещо интересно.

Ако погледнем горния триъгълник ето тук
и този долен триъгълник,

виждаме, че имаме два съответни ъгли,
които са равни.

Имаме и две страни, които също
ще са равни.

Всъщност, нека го изпиша подробно.

Знаем и доказахме в предния клип,

че в успоредник срещуположните страни
са не само успоредни,

а също са и равни.

Следователно знаем от предния клип,
че тази страна е равна

на тази страна.

Нека се върна там, докъдето бях стигнал.

Имаме два съответни ъгъла, които са равни,

и страни между тях, които са равни.

След това имаме още една двойка
съответни ъгли,

които са равни.

Следователно знаем, че този триъгълник
е еднакъв на този триъгълник

по втори признак за еднаквост на триъгълници
(по страна и два прилежащи ъгъла) .

Следователно знаем, че този триъгълник...
ще започна да го кръщавам от синия

към оранжевия до последния ъгъл.

Триъгълник АВЕ е еднакъв на триъгълник...
и отново от син към оранжев до последния...

CDE по втори признак за еднаквост.
(страна и два прилежащи ъгъла)

Сега – каква работа ни върши това?

Знаем, че ако два триъгълника
са еднакви, всичките им

съответни елементи и в частност
всички съответни страни са еднакви.

Следователно страна ЕС е равна на ЕА.

Или бих могъл да кажа страна АЕ,
да кажем страна АЕ

е равна на страна СЕ,

тъй като са съответни страни
от еднакви триъгълници.

Следователно техните дължини
трябва да са еднакви.

Така че АЕ трябва да е равна на СЕ.

Нека сложа две черти, тъй като вече
обозначавах с една черта ето тук.

По същата логика знаем, че
ВЕ трябва да е равна на DE.

Те също са съответни страни на
два еднакви триъгълника,

така че трябва да имат еднаква дължина.

Така че това са съответни страни
от еднакви триъгълници.

Следователно ВЕ е равна на DE.

И ето, че го доказахме.

Доказахме, че диагонал DB
разделя АС на две

части с еднаква дължина и обратно.

АС разделя DB на две части
с еднаква дължина.

Следователно те взаимно
се разполовяват.

Сега нека да започнем отзад напред.

Нека докажем, че ако имаме два диагонала

на четириъгълник, които
взаимно се разполовяват,

то това е успоредник.

Нека видя.

Така. Ще приемем, че двата диагонала

взаимно се разполовяват.

Приемаме, че това е равно на това

и това ето тук е равно на това.

Искаме да докажем, че това е успоредник.

И за да го постигнем, просто
трябва да си припомним,

че този ъгъл ще е

равен на този ъгъл.

Това е едно от първите неща, които научаваме,
тъй като те са връхни ъгли.

Така че нека го запиша.

C – нека отбележа тази точка,
ъгъл СЕD ще бъде равен на

на ъгъл ВЕА.

А какво всъщност е това? Това ни показва, че

тези два триъгълника са еднакви,
тъй като имаме две съответни равни страни

и ъгъл, заключен между тях.

Така че знаем, че този триъгълник...
ще го напиша с жълто,

триъгълник АЕВ е еднакъв на триъгълник DEC

по първи признак за еднаквост на триъгълници.
(две страни и ъгъл между тях)

Точно така.

Сега. Ако знаем, че два триъгълника са еднакви,
знаем също така, че съответните им

страни и ъгли са равни.

Така че знаем например, че
ъгъл CDE ще е равен на ъгъл ВАЕ.

Тъй като са съответни ъгли в
еднакви триъгълници.

А ето тук имаме тази права,
пресичаща тези две прави,

които биха били успоредни, ако
вътрешните им кръстни ъгли са равни.

А виждаме, че това е така.

Тези двата са потенциални
вътрешни кръстни ъгли.

Те са равни.

Следователно АВ трябва
да е успоредна на CD.

Така че АВ... нека нарисувам една стрелка,
АВ трябва да е успоредна на СD, тъй като

при пресичането на две прави с трета,
двойка кръстни ъгли са равни,

то правите са успоредни.

Изписвам го накратко, ще ме извиниш
за зашифрования му вид,

въпреки, че го казвам и на глас.

И сега можем да направим точно същото нещо
– както показахме, че

тези две страни са успоредни,
можем по същата логика

да покажем, че тези две страни
са успоредни.

Не е необходимо да го изписвам изцяло.

Доказателството е абсолютно същото.

Знаем, че този ъгъл е равен на ето

този ъгъл.

И след това знаем...
всъщност нека го изпиша.

Ъгъл АЕС е равен на ъгъл DEB.

Трябва да отбележим, че те
са връхни ъгли.

И това беше причината и по-горе.

Връхни ъгли.

След това виждаме, че триъгълник АЕС
трябва да е еднакъв

с триъгълник DEB по първи признак
за еднаквост на триъгълници.

Следователно триъгълник АЕС
трябва да е еднакъв с триъгълник DEB,

тъй като имат две съответно равни страни
и ъгъл, заключен между тях.

Знаем, че съответните ъгли трябва да са равни.

Така че знаем, че ъгъл, например ъгъл САЕ

трябва да е равен на ъгъл BDE,
тъй като те са съответни

ъгли на еднакви триъгълници.

Така че САЕ... нека използвам нов цвят,

САЕ трябва да е равен на BDE,

А тук имаме пресичаща права.

Кръстните ъгли са равни.

Така че двете прави, пресечени от трета,

трябва да са успоредни.

Така че тази трябва да е
успоредна на ето тази.

Следователно АС е успоредна на BD,

тъй като вътрешните кръстни ъгли са равни.

И вече сме готови.

Току що доказахме, че ако диагоналите
взаимно се разполовяват,

ако приемем това за вярно, стигаме до момент,
в който установяваме следното:

Срещуположните страни на този четириъгълник
трябва да са успоредни,

следователно ABCD е успоредник.