Return to Video

Similar triangles

  • 0:05 - 0:06
    Привет!
  • 0:06 - 0:08
    Сейчас мы познакомимся с понятием
  • 0:08 - 0:10
    подобных треугольников.
  • 0:10 - 0:17
    Давайте я это запишу: «подобные треугольники».
  • 0:17 - 0:20
    Что значит "подобный" в повседневной жизни?
  • 0:20 - 0:24
    Ну, если две вещи подобные, то они как бы одинаковые,
  • 0:24 - 0:26
    но всё-таки не одно и то же,
  • 0:26 - 0:29
    т.е. они не идентичны, правильно?
  • 0:29 - 0:32
    Это же верно и для подобных треугольников.
  • 0:32 - 0:37
    Итак, подобные треугольники – это треугольники,
  • 0:37 - 0:42
    у которых все углы равны.
  • 0:42 - 0:47
    Для примера я сейчас нарисую два подобных треугольника.
  • 0:47 - 0:49
    Я попытаюсь сделать их почти одинаковыми,
  • 0:49 - 0:51
    потому что они должны выглядеть почти одинаковыми,
  • 0:51 - 0:54
    только разве что разных размеров.
  • 0:54 - 1:01
    Вот один, и второй я нарисую вот здесь.
  • 1:01 - 1:04
    Я сделаю его поменьше, чтобы показать вам,
  • 1:04 - 1:07
    что они не обязательно должны быть одного размера,
  • 1:07 - 1:10
    главное – одной формы.
  • 1:10 - 1:14
    Я представляю себе подобные треугольники как просто треугольники,
  • 1:14 - 1:18
    которые можно уменьшить, увеличить или повернуть,
  • 1:18 - 1:22
    но углы в них соответственно равны.
  • 1:22 - 1:24
    Т.е. у них одинаковая форма.
  • 1:24 - 1:27
    Вот, к примеру, эти два треугольника.
  • 1:27 - 1:29
    Если бы я вам сказал, что этот угол
  • 1:29 - 1:32
    (и так это объясняется в классе),
  • 1:32 - 1:36
    что этот угол и этот угол равны,
  • 1:36 - 1:41
    и этот угол равен этому углу.
  • 1:41 - 1:43
    Вот, что выясняется:
  • 1:43 - 1:47
    что этот угол будет равен этому углу.
  • 1:47 - 1:51
    Почему это так? Ну, потому что, если два угла равны,
  • 1:51 - 1:54
    значит третий тоже будет равен, так?
  • 1:54 - 1:58
    Потому что сумма всех трёх углов – это 180.
  • 1:58 - 2:07
    К примеру, если это х, это у, тогда третий должен быть 180-х-у, правильно?
  • 2:07 - 2:08
    Наверное, вам трудно рассмотреть,
  • 2:08 - 2:10
    я мелко написал.
  • 2:10 - 2:13
    Но здесь то же самое. Этот х, этот у,
  • 2:13 - 2:19
    тогда третий угол равен 180-х-у, правильно?
  • 2:19 - 2:20
    Тогда, если мы знаем,
  • 2:20 - 2:23
    что два угла одинаковы в этих двух треугольниках,
  • 2:23 - 2:27
    значит, третьи углы также будут одинаковы.
  • 2:27 - 2:30
    Т.е. мы можем сказать, что этот угол идентичен этому углу.
  • 2:30 - 2:32
    И если все углы одинаковы, тогда мы знаем,
  • 2:32 - 2:36
    что мы имеем дело с подобными треугольниками.
  • 2:36 - 2:38
    Что же полезного мы можем извлечь,
  • 2:38 - 2:40
    зная, что треугольники подобные?
  • 2:40 - 2:42
    Мы можем использовать эту информацию,
  • 2:42 - 2:45
    чтобы выяснить длину некоторых сторон треугольника.
  • 2:45 - 2:48
    Даже если стороны треугольников не равны,
  • 2:48 - 2:52
    соотношение соответствующих сторон будет одинаковым.
  • 2:52 - 2:56
    Я знаю, что вас запутал. Давайте я приведу пример.
  • 2:56 - 3:09
    К примеру, скажем, эта сторона равна 5. А эта сторона…
  • 3:09 - 3:12
    не знаю, просто выберу какое-нибудь число - 6.
  • 3:12 - 3:17
    И, скажем, что это сторона будет равна 7, так?
  • 3:17 - 3:26
    Еще скажем, что мы знаем, что эта сторона равна 2.
  • 3:26 - 3:29
    Мы знаем, что соотношение соответствующих сторон
  • 3:29 - 3:31
    одно и то же.
  • 3:31 - 3:33
    Так, если мы посмотрим на эти два треугольника,
  • 3:33 - 3:35
    они совершенно разных размеров,
  • 3:35 - 3:38
    но у них есть соответствующие стороны.
  • 3:38 - 3:44
    Например, вот это сторона соответствует этой стороне.
  • 3:44 - 3:45
    Откуда мы это знаем? В данном случае,
  • 3:45 - 3:48
    так уж получилось, что они одинаково расположены.
  • 3:48 - 3:50
    Но мы это знаем потому, что эти стороны
  • 3:50 - 3:53
    находятся напротив одинаковых углов, правильно?
  • 3:53 - 3:56
    Эта – напротив угла у, и эта тоже – напротив угла у.
  • 3:56 - 3:58
    Этот треугольник, должно быть, слишком мал,
  • 3:58 - 4:00
    и вам не видно, но я надеюсь, что вы понимаете,
  • 4:00 - 4:04
    о чём я говорю. Вот это – соответствующие стороны.
  • 4:04 - 4:07
    Таким же образом вот эта синяя сторона
  • 4:07 - 4:12
    и эта синяя сторона – соответствующие стороны.
  • 4:12 - 4:13
    Почему? Это не потому,
  • 4:13 - 4:16
    что эти стороны расположены слева вверху,
  • 4:16 - 4:18
    ведь мы могли бы повернуть их как угодно.
  • 4:18 - 4:22
    Это так потому, что они лежат напротив одинаковых углов.
  • 4:22 - 4:25
    Я так всегда себе представляю подобные треугольники.
  • 4:25 - 4:27
    Это хороший подход, особенно,
  • 4:27 - 4:30
    если вы начинаете заниматься тригонометрией.
  • 4:30 - 4:32
    Хорошо, что это нам дает?
  • 4:32 - 4:35
    Соотношения между соответствующими сторонами всегда равны.
  • 4:35 - 4:39
    Предположим, мы хотим выяснить длину этой стороны
  • 4:39 - 4:40
    в этом маленьком треугольнике.
  • 4:40 - 4:44
    Есть множество способов сделать это.
  • 4:44 - 4:45
    Мы могли бы взять соотношение
  • 4:45 - 4:49
    между этой стороной и этой стороной:
  • 4:49 - 4:55
    х/7 будет равен соотношению между этими сторонами,
  • 4:55 - 5:00
    т.е. равен 2/5.
  • 5:00 - 5:02
    И теперь мы можем решить эту пропорцию.
  • 5:02 - 5:05
    И мы можем это осуществить только потому...
  • 5:05 - 5:08
    у вас не получится это со случайными треугольниками,
  • 5:08 - 5:10
    у вас это сработает только
  • 5:10 - 5:12
    с подобными треугольниками.
  • 5:12 - 5:13
    Найдем х.
  • 5:13 - 5:17
    Умножим обе части на 7. Получаем: х=14/5.
  • 5:17 - 5:19
    Т.е. чуть меньше 3.
  • 5:19 - 5:23
    14/5 – это где-то 2,8. И это равно х.
  • 5:23 - 5:25
    Мы можем проделать то же самое,
  • 5:25 - 5:26
    чтобы найти эту жёлтую сторону.
  • 5:26 - 5:29
    Итак, если вы знаете, что два треугольника подобны,
  • 5:29 - 5:32
    вы знаете все стороны одного треугольника,
  • 5:32 - 5:34
    вы знаете одну сторону другого треугольника,
  • 5:34 - 5:37
    значит, вы можете найти оставшиеся стороны.
  • 5:37 - 5:38
    Я думаю, я вас запутала с этим,
  • 5:38 - 5:42
    но ладно, продолжим. Вот эта сторона, назовём её у.
  • 5:42 - 5:49
    И пойдём тем же путём. Мы можем сказать, что у/6=2/5.
  • 5:49 - 5:50
    Причем, если сторона этого треугольника
  • 5:50 - 5:53
    находится в знаменателе слева,
  • 5:53 - 5:54
    тогда сторона этого же треугольника
  • 5:54 - 5:57
    должна быть в знаменателе справа.
  • 5:57 - 5:58
    Если сторона одного треугольника
  • 5:58 - 6:01
    находится в числителе слева от знака равно
  • 6:01 - 6:03
    (речь идет о маленьком треугольнике,
  • 6:03 - 6:05
    чья сторона стоит в числителе),
  • 6:05 - 6:07
    тогда его же вторая сторона
  • 6:07 - 6:10
    будет в числителе справа от знака равно.
  • 6:10 - 6:11
    Я просто хочу убедиться,
  • 6:11 - 6:13
    что вы согласовываете данные.
  • 6:13 - 6:14
    Если вы поменяете их местами,
  • 6:14 - 6:16
    то это просто всё испортит.
  • 6:16 - 6:21
    Итак у=12/5.
  • 6:21 - 6:24
    Давайте используем эту информацию о подобных треугольниках,
  • 6:24 - 6:26
    чтобы решить некоторые задачи.
  • 6:26 - 6:28
    Применим те понятия геометрии,
  • 6:28 - 6:34
    которые мы недавно выучили.
  • 6:34 - 6:40
    У меня есть две параллельные линии.
  • 6:44 - 6:51
    Потом вот такая линия и одна вот такая линия.
  • 6:51 - 6:54
    И что я сказала? Я сказала, что прямые параллельны,
  • 6:54 - 7:00
    т.е. эта прямая параллельна этой прямой.
  • 7:00 - 7:09
    И я хочу узнать, если эта сторона равна 5, чему тогда...
  • 7:09 - 7:19
    скажем, что длина этой стороны равна 5, а длина этой
  • 7:19 - 7:23
    (давайте другим цветом нарисую),
  • 7:23 - 7:28
    длина этой стороны, скажем – 8.
  • 7:28 - 7:37
    Я хочу знать, чему будет равна эта сторона.
  • 7:37 - 7:38
    Нет, не совсем так,
  • 7:38 - 7:40
    давайте-ка я вам дам ещё одну сторону,
  • 7:40 - 7:42
    чтобы вы узнали всё об этом треугольнике.
  • 7:42 - 7:47
    Скажем, что эта сторона равна 6,
  • 7:47 - 7:54
    и я хочу узнать, чему равна эта сторона здесь.
  • 7:54 - 7:55
    Фиолетовая сторона.
  • 7:55 - 7:57
    Как это сделать?
  • 7:57 - 7:59
    Перед тем, как мы создадим пропорцию,
  • 7:59 - 8:02
    мы должны доказать себе (да и вообще доказать),
  • 8:02 - 8:04
    что эти треугольники подобны.
  • 8:04 - 8:08
    Как нам это сделать?
  • 8:08 - 8:10
    Давайте посмотрим, сможем ли мы выяснить,
  • 8:10 - 8:13
    какие углы равны каким углам.
  • 8:13 - 8:16
    У нас есть этот угол. Равен ли этот угол
  • 8:16 - 8:20
    какому-нибудь из трёх углов в этом треугольнике?
  • 8:20 - 8:24
    Да, конечно. Он равен этому углу,
  • 8:24 - 8:27
    т.к. они вертикальные, правильно?
  • 8:27 - 8:29
    Мы знаем, что сторона напротив –
  • 8:29 - 8:31
    это его соответствующая сторона,
  • 8:31 - 8:33
    т.е. мы знаем, что она соответствует…
  • 8:33 - 8:35
    мы не знаем её длину, но мы знаем,
  • 8:35 - 8:36
    что она соответствует этой стороне,
  • 8:36 - 8:38
    которая равна 8, правильно?
  • 8:38 - 8:40
    Ой, я забыла вам еще кое-что сказать.
  • 8:40 - 8:42
    Я забыла сказать, что эта сторона -
  • 8:42 - 8:44
    давайте я выберу нейтральный цвет -
  • 8:44 - 8:46
    скажем, равна 4.
  • 8:46 - 8:48
    Вернёмся к решению. Мы только что выяснили,
  • 8:48 - 8:50
    что эти два угла равны и
  • 8:50 - 8:52
    что эта сторона соответствует этому углу.
  • 8:52 - 8:55
    Итак, есть ли здесь другие углы, которые равны?
  • 8:55 - 9:00
    Предположим, мы знаем, чему равен этот угол.
  • 9:00 - 9:03
    Я обозначу его двумя чёрточками.
  • 9:03 - 9:06
    Есть ли в этом треугольнике угол,
  • 9:06 - 9:08
    который равен этому углу? Конечно!
  • 9:08 - 9:10
    Мы знаем, что эти прямые параллельны,
  • 9:10 - 9:12
    поэтому мы можем использовать
  • 9:12 - 9:14
    свойство внутренних накрест лежащих углов,
  • 9:14 - 9:18
    чтобы определить, какой из этих углов равен нашему углу.
  • 9:18 - 9:19
    Но я только что посмотрел на время и понял,
  • 9:19 - 9:21
    что нужно закругляться.
  • 9:21 - 5999:59
    Поэтому я продолжу с решением в следующем видео.
Title:
Similar triangles
Video Language:
Polish
Duration:
09:34

Russian subtitles

Revisions Compare revisions