Thinking about when to use chain rule or product rule

Тук имам два различни израза,

чиито производни искам да намеря.

Сега искам да спреш видеото

и да помислиш как ще подходиш

при намиране на производната
на този израз

и как това би било същото
или по-различно,

когато търсиш производната
на този израз.

Целта тук не е да изчислим
до края производните,

а всъщност да помислим как избираме

каква стратегия да приложим.

Добре, нека първо да се справим с този.

Ключът, когато разглеждаш сложен израз като този,
е да погледнеш голямата картина,

тоест структурата на израза.

Един от начините да мислиш за това е...

нека да погледнем първо външните,
вместо вътрешните детайли.

Ако погледнем отвън ето тук,

имаме синус

от нещо.

Така че тук имаме синус от нещо,

което ще заградя в червено

или с този розов цвят.

Ето така моят мозък мисли за това.

Погледнато отвън, казвам: "Добре,

голямата картина ми показва, че

имам синус от нещо.".

Може да имам нещо, повдигнато на степен.

В дадения случай имам нещо
в тригонометричен израз.

Ако имаш ситуация като тази обаче,

е добър знак, че

е добре да се използва
верижното правило.

Нека да запиша това.

В този случай искаме да приложим

верижното правило, съкратено C.R за Верижно правило (Chain Rule).

И как ще го приложим?

Ще намерим производната
на външната функция,

спрямо тази, която е вътре,

умножена по производната
на вътрешната функция

спрямо x.

И ще го запиша по начина,
по който съзнанието ми

понякога мисли за това.

Можем да го запишем като

производната спрямо това нещо.

Ще поставя тази розова окръжност

за нещото, вместо
да го изписвам отново цялото.

От синус от това нещо.

Синус от това нещо

като дори не мисля все още,
какво е това нещо.

Умножено по производната
спрямо x от това нещо.

Това е просто приложение на
верижното правило.

Няма значение какво има тук,
в тази розова окръжност.

Може да е било нещо
с квадратни корени

и логаритми или каквото и да е друго.

Доколкото се съдържа в синуса,

ще продължа с тази стъпка.

Производната спрямо това нещо

от синус от това нещо,

умножено по производната
спрямо x от нещото.

Какво става ясно от този израз?

Тази първа част

ще я направя в оранжево.

Тази първа част ще бъде

cos(x^2 + 5)

умножено по cosx

Това е окръжността ето тук.

Нека да затворя косинуса ето тук.

След това умножаваме по
производната спрямо x,

Умножаваме по производната спрямо x

на цялото това нещо отново,

т.е. (x^2 +5),

умножено по cosx.

Ще затворя скобите.

Все още не съм приключил, разбира се.

Имам все още да намирам производни.

Сега ще погледна към
голямата картина тук,

за да разбера какво се случва.

Имам два израза, които са умножени.

Нямам само един

голям израз, който е вътрешен

за функция синус или косинус,

или един голям израз, който
е повдигнат на степен.

Имам два израза, които
са умножени.

Имам този,

който е умножен по този.

И така, ако просто умножавам
два израза,

това е доста добър знак, че
за да изчисля тази част,

ще трябва да приложа правилото
за производна на произведение (съкратено P.R от Product Rule).

И продължавам да го прилагам
и изчислявам

и те окуражавам и ти да го направиш.

Но това е повече относно стратегиите

и как да ги разпознаеш.

Сега обаче нека да обърнем внимание
на другия пример.

Това изглежда много повече
като тази стъпка

от първата задача, отколкото като началото

на първоначалната задача.

Тук нямам синус от много работи

или много работи, повдигнати на степен.

Тук имам произведението на два израза,

точно както видяхме ето тук.

Имаме този израз,

който е умножен по този израз.

Така че съзнанието ми просто казва:
"Добре, имам два израза.

Тогава ще използвам правилото
за производна на произведение".

Два израза, които са умножени,

така че ще използвам
правилото за произведение.

Ако беше един израз, разделен

на друг, тогава щях да използвам
правилото за производна на частно.

Но в този случай ще е
правилото за произведение.

Така че това ми казва,

че това ще бъде производната спрямо x

на първия израз.

Просто ще го означа
с оранжевата окръжност

и умножено по втория израз,

който ще направя със синята окръжност.

Прибавям първия израз,
не търся производната му,

т.е. първия израз, умножен
по производната спрямо x

на,

втория израз

Още веднъж ето тук,

това е просто правилото за произведение.

Може да заместиш sin(x^2 +5) там,

където виждаш тази оранжева окръжност.

И може да заместиш cosx там,

където виждаш тази синя окръжност.

Но целта тук всъщност
не е да решиш това

или да изчислиш това,

а в действителност просто да покажеш,

как разпознаваш
структурите в тези изрази.

Да помислиш: "Дали да използвам
верижното правило първо,

а след това правилото
за произведение тук?".

Или в този случай: "Дали да използвам
първо правилото за произведение?".

И дори, когато веднъж го направиш,

все още не си готов.

Тогава, за да изчислиш тази производна,

ще трябва да използваш
верижното правило,

и да продължаваш да го прилагаш,
докато няма повече

производни, които да намираш.