< Return to Video

Tích phân: Phép thế lượng giác (đổi biến loại 2) phần 1

  • 0:01 - 0:01
    Giả sử
  • 0:01 - 0:07
    mình có tích phân bất định 1 chia
  • 0:07 - 0:12
    căn bậc hai của 3 trừ 2x mũ 2.
  • 0:12 - 0:14
    Tất nhiên là mình có dx ở đây.
  • 0:14 - 0:17
    Vậy khi mình nhìn vào đây, không có cách
  • 0:17 - 0:19
    truyền thống nào để lấy nguyên hàm này.
  • 0:19 - 0:23
    Mình không có đạo hàm của cái này nằm ở vị trí nào
  • 0:23 - 0:26
    trong tích phân này, nên mình không thể biến đổi u.
  • 0:26 - 0:30
    Nhưng cái mà mình có thể làm là, cái này gần như là
  • 0:30 - 0:33
    vài công thức lượng giác mà mình biết, nên có thể mình
  • 0:33 - 0:36
    có thể thay thế với hàm lượng giác.
  • 0:36 - 0:38
    Vậy hãy xem nếu mình có thể tìm 1 hàm lượng giác mà
  • 0:38 - 0:39
    giống với cái này.
  • 0:39 - 0:42
    Công thức lượng giác cơ bản nhất của ta-- cái này
  • 0:42 - 0:45
    có từ định nghĩa đường tròn đơn vị-- là sin
  • 0:45 - 0:50
    mũ 2 của theta cộng cosin mũ 2 của
  • 0:50 - 0:53
    theta bằng 1.
  • 0:53 - 0:56
    Và rồi nếu ta trừ cosin mũ 2 của theta từ 2
  • 0:56 - 1:00
    vế, ta có-- hay nếu ta trừ sin mũ 2 của theta
  • 1:00 - 1:03
    từ 2 vế, ta có thể làm 1 trong 2, ta có thể có cosin
  • 1:03 - 1:08
    mũ 2 của theta bằng 1 trừ sin mũ 2 của theta.
  • 1:08 - 1:09
    Ta có thể chọn 1 trong 2 cách.
  • 1:09 - 1:15
    Nhưng bất ngờ là cái này ở đây, bắt đầu
  • 1:15 - 1:16
    hơi giống cái này 1 chút.
  • 1:16 - 1:19
    Có thể mình sẽ dùng vài thao tác đại số để làm
  • 1:19 - 1:21
    cái này giống cái kia hơn.
  • 1:21 - 1:23
    Vậy đầu tiên, mình sẽ có 1 ở đây
  • 1:23 - 1:25
    hãy đưa 3
  • 1:25 - 1:27
    ra khỏi phần mẫu này.
  • 1:27 - 1:34
    Cái này sẽ tương tự với tích phân của 1 chia
  • 1:34 - 1:38
    căn bậc hai của-- để mình đưa 3 ra ngoài biểu thức này.
  • 1:38 - 1:45
    3 nhân 1 trừ 2/3x mũ 2.
  • 1:45 - 1:46
    Mình không làm gì phức tạp ở đây hết.
  • 1:46 - 1:48
    Mình chỉ đưa 3 ra ngoài biểu thức này,
  • 1:48 - 1:49
    đó là những gì mình làm.
  • 1:49 - 1:53
    Nhưng cái ngắn gọn hơn là, biểu thức này giống
  • 1:53 - 1:55
    với biểu thức kia.
  • 1:55 - 1:58
    Thực ra, nếu mình thế, nếu mình nói cái này ở đây,
  • 1:58 - 2:02
    cái 2/3x mũ 2, nếu mình đặt nó bằng sin mũ 2 theta, mình
  • 2:02 - 2:04
    sẽ có thể dùng công thức này.
  • 2:04 - 2:05
    Vậy hãy làm như vậy nhé.
  • 2:05 - 2:12
    Hãy đặt 2/3x mũ 2, hãy đặt nó bằng sin
  • 2:12 - 2:16
    mũ 2 của theta.
  • 2:16 - 2:18
    Vậy nếu ta lấy căn bậc hai của 2 vế của phương trình này,
  • 2:18 - 2:25
    Mình có căn bậc hai của 2 chia căn bậc 2 của 3 nhân x
  • 2:25 - 2:29
    bằng với sin của theta.
  • 2:29 - 2:32
    Nếu mình muốn giải x, mình sẽ có gì?
  • 2:32 - 2:33
    Và, ta sẽ phải giải cả
  • 2:33 - 2:35
    x và theta, vậy hãy làm cả 2 cách.
  • 2:35 - 2:37
    Đầu tiên, hãy giải theta.
  • 2:37 - 2:42
    Nếu mình giải theta, ta có theta bằng
  • 2:42 - 2:48
    arcsin, hay là sin nghịch đảo, của căn bậc 2 chia
  • 2:48 - 2:50
    căn bậc hai của 3x.
  • 2:50 - 2:51
    Đó là nếu bạn giải theo theta.
  • 2:51 - 2:54
    Bây giờ, nếu bạn giải x, bạn chỉ nhân 2 vế của
  • 2:54 - 2:59
    phương trình này nhân nghịch đảo của cái này và bạn có x bằng
  • 2:59 - 3:02
    --chia 2 vế của phương trình cho cái này hay nhân nó
  • 3:02 - 3:05
    cho số nghịch đảo, là bằng căn bậc hai của 3 chia
  • 3:05 - 3:10
    căn bậc 2 của 2 nhân sin của theta.
  • 3:10 - 3:13
    Và ta đang thay thế cái này với sin mũ 2 của
  • 3:13 - 3:15
    theta, nhưng ta không thế bỏ dx này ngoài đây.
  • 3:15 - 3:18
    Ta phải lấy tích phân theo d theta.
  • 3:18 - 3:21
    Vậy dx theo d theta ở đây là gì?
  • 3:21 - 3:26
    Vậy đạo hàm của x theo theta bằng
  • 3:26 - 3:29
    căn bậc hai của 3 chia căn bậc hai của 2.
  • 3:29 - 3:32
    Đạo hàm của cái này theo theta là cosin của
  • 3:32 - 3:35
    theta, và nếu ta muốn viết cái này theo dx, ta có thể
  • 3:35 - 3:40
    viết là dx bằng căn bậc hai của 3 chia
  • 3:40 - 3:46
    căn bậc hai của 2 cosin của theta d theta.
  • 3:46 - 3:48
    Bây giờ mình có thể dùng phép thế
  • 3:48 - 3:53
    Vậy mình có thể viết lại biểu thức này ở trên đây-- Mình sẽ viết
  • 3:53 - 3:56
    bằng màu đỏ nhạt-- Mình đang dùng nó rồi, vậy để mình
  • 3:56 - 3:58
    viết bằng màu xanh da trời.
  • 3:58 - 4:00
    Bây giờ, ta có thể viết lại biểu thức này ở trên đây.
  • 4:00 - 4:04
    Nó là 1 tích phân bất định của--dx
  • 4:04 - 4:05
    nằm trên mẫu, đúng không nhỉ?
  • 4:05 - 4:06
    Thay vì viết số 1 này nhân dx, mình có thể viết
  • 4:06 - 4:08
    chỉ cần viết dx ở trên đây.
  • 4:08 - 4:10
    Đó chỉ là dx như vậy thôi.
  • 4:10 - 4:12
    Bạn chỉ đang nhân nó với số lần dx.
  • 4:12 - 4:13
    Vậy dx là gì?
  • 4:13 - 4:15
    dx là cái này đây.
  • 4:15 - 4:16
    Mình sẽ viết bằng màu vàng.
  • 4:16 - 4:18
    dx là cái ở ngay đây.
  • 4:18 - 4:22
    Vậy căn bậc hai của 3 chia căn bậc hai của
  • 4:22 - 4:26
    2 cosin theta d theta.
  • 4:26 - 4:28
    Đó là giá trị của dx.
  • 4:28 - 4:33
    Bây giờ, mẫu số trong phương trình của mình, mình có căn bậc hai
  • 4:33 - 4:40
    của 3 nhân-- bây giờ nó là 1 trừ.
  • 4:40 - 4:43
    Bây giờ mình nói 2/3x mũ 2 bằng sin mũ 2 của theta.
  • 4:48 - 4:50
    Làm sao mình có thể rút gọn cái này?
  • 4:50 - 4:53
    1 trừ sin mũ 2 của theta là gì?
  • 4:53 - 4:55
    Đó là cosin mũ 2 của theta.
  • 4:55 - 5:00
    Vậy cái này ở đây là cosin mũ 2 của theta.
  • 5:00 - 5:05
    Vậy tích phân bất định của mình thành căn bậc hai của 3
  • 5:05 - 5:11
    chia căn bậc hai của 2 cosin theta d theta, tất cả
  • 5:11 - 5:18
    cái đó chia căn bậc hai của 3 nhân cosin
  • 5:18 - 5:20
    mũ 2 của theta.
  • 5:20 - 5:22
    Nó trở thành cosin mũ 2 của theta.
  • 5:22 - 5:24
    Vậy hãy lấy căn bậc hai của phần dưới đây.
  • 5:24 - 5:27
    Cái này sẽ bằng- Mình sẽ thay
  • 5:27 - 5:33
    1 màu ngẫu nhiên-- căn bậc 2 của 3 chia căn bậc hai của 2
  • 5:33 - 5:38
    cosin của theta d theta, tất cả cái đó chia
  • 5:38 - 5:38
    căn bậc hai của cái này là gì?
  • 5:38 - 5:41
    Nó bằng căn bậc hai của 3 nhân căn bậc hai
  • 5:41 - 5:46
    của cosin mũ 2, nhân cosin cosin của theta.
  • 5:46 - 5:47
    Bây giờ, cái này đã đơn giản mọi thứ hơn.
  • 5:47 - 5:50
    Mình có cosin của theta được chia bởi cosin của theta,
  • 5:50 - 5:53
    những cái đó bị triệt tiêu, nên mình sẽ chỉ có 1, và rồi mình có căn
  • 5:53 - 5:56
    bậc hai của 3 trên đây chia bởi căn bậc hai của 3, vậy 2
  • 5:56 - 6:00
    cái này sẽ bị triệt tiêu, vậy tích phân của mình rút gọn
  • 6:00 - 6:06
    hoàn chỉnh là 1 chia căn bậc hai của 2 d theta.
  • 6:06 - 6:09
    Hoặc tốt hơn, mình có thể viết cái này, đây chỉ là 1 số
  • 6:09 - 6:12
    không đổi, mình có thể lấy nó ra khỏi tích phân, nó bằng 1 chia
  • 6:12 - 6:17
    căn bậc hai của 2 nhân tích phân của mình là d theta.
  • 6:17 - 6:19
    Và cái này cực kì dễ.
  • 6:19 - 6:23
    Cái này bằng 1 chia căn bậc hai của 2
  • 6:23 - 6:26
    nhân theta cộng c.
  • 6:26 - 6:27
    Cộng 1 vài hằng số.
  • 6:27 - 6:29
    Ý của mình là, bạn có thể nói tích phân của cái này là theta cộng
  • 6:29 - 6:31
    c và rồi bạn nhân hằng số nhân cái này, nhưng nó
  • 6:31 - 6:33
    vẫn sẽ là 1 vài hằng số tùy ý.
  • 6:33 - 6:35
    Mình nghĩ bạn biết cách lấy nguyên hàm của cái này.
  • 6:35 - 6:37
    Nhưng mình đã xong chưa?
  • 6:37 - 6:37
    Thực ra là chưa.
  • 6:37 - 6:40
    Ta muốn biết tích phân bất định của ta theo x.
  • 6:40 - 6:42
    Vậy giờ ta phải thay thế ngược lại.
  • 6:42 - 6:44
    Vậy theta là gì?
  • 6:44 - 6:47
    Ta đã tìm ra rằng. Theta bằng arcsin căn bậc hai
  • 6:47 - 6:49
    của 2 chia căn bậc hai của 3x.
  • 6:49 - 6:54
    Vậy tích phân bất định ban đầu của ta, là tất cả cái này
  • 6:54 - 6:58
    nằm trên đây, bây giờ mình thay thế ngược lại theo theta hay
  • 6:58 - 7:02
    đưa x vào lại đây, nó là 1 chia căn bậc hai
  • 7:02 - 7:04
    của 2 nhân theta.
  • 7:04 - 7:13
    theta chỉ là cái này, chỉ là arcsin của căn bậc hai của 2
  • 7:13 - 7:18
    chia căn bậc hai của 3x, và rồi mình có hằng số này
  • 7:18 - 7:20
    ngoài đây, cộng c.
  • 7:20 - 7:26
    Vậy cái này ngay đây là nguyên hàm của
  • 7:26 - 7:30
    1 chia căn bậc hai của 3 trừ 2x mũ 2.
  • 7:30 - 7:31
    Hi vọng các bạn thấy nó có ích.
  • 7:31 - 7:33
    Mình sẽ làm thêm 1 vài videos mà ta sẽ
  • 7:33 - 7:34
    đi qua nhiều ví dụ như vầy, để bạn
  • 7:34 - 7:36
    làm quen với chúng.
Title:
Tích phân: Phép thế lượng giác (đổi biến loại 2) phần 1
Description:

Ví dụ dùng sự thay thế lượng giác để giải một tích phân bất định
Các bài học miễn phí khác tại: http://www.khanacademy.org/video?v=n4EK92CSuBE
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:38

Vietnamese subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.