ทฤษฎีพื้นฐานของตัวเลข

ทฤษฎีพื้นฐานของตัวเลข

ลองจินตนาการว่าเราอยู่ในยุคก่อนประวัติศาสตร์

ลองคิดดูว่า

เราสามารถรู้เวลาได้อย่างไร โดยไม่มีนาฬิกา

นาฬิกาทุกเรือนมีพื้นฐานมาจากวัฎจักรที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน

ซึ่งแบ่งเวลาเป็นส่วนๆ ละเท่าๆ กัน

ในการหาวัฎจักรที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กันนั้น

เรามองไปยังท้องฟ้า

เราเห็นดวงอาทิตย์ขึ้น และตกลงในทุกวัน

แต่หากเราต้องการรู้เวลาในระยะยาวกว่านี้

เรามองหาวัฎจักรที่ยาวนานกว่านี้

อย่างเช่น เรามองไปยังดวงจันทร์แทน

ซึ่งรูปร่างหน้าตาจะเปลี่ยนในแต่ละวัน

เมื่อเรานับจำนวนวัน ระหว่างพระจันทร์เต็มดวง

เราจะได้ 29 วัน

ซึ่งนี่คือที่มาของ เดือน

แต่ถ้าเราจะแบ่งตัวเลข 29 เป็นส่วนๆ ที่เท่าๆ กัน

เราจะพบว่ามันเป็นไปไม่ได้

ทางเดียวที่จะแตกเลข 29 เป็นส่วนเท่าๆ กันได้นั้น

คือแตกออกเป็น 1 หน่วย 29 อัน

เพราะ 29 คือจำนวนเฉพาะ

ซึ่งไม่สามารถแตกออกเป็นตัวเลขย่อยๆ ได้

ถ้าตัวเลขสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ได้

เราเรียกว่า จำนวนประกอบ

ตอนนี้เราอาจจะสงสัยว่า

มีจำนวนเฉพาะจำนวนกี่ตัว

และมีขนาดใหญ่ได้ขนาดไหน

เราจะเริ่มโดยแบ่งตัวเลขเป็น 2 ประเภท

เราจะให้จำนวนเฉพาะอยู่ทางซ้าย

และจำนวนเฉพาะอยู่ทางขวา

ในตอนแรก เราอาจจะเห็นว่าตัวเลขนั้นไปๆ มาๆ ทั้งสองฝั่ง

เรายังไม่เห็นที่มาของการเรียงลำดับนี้ได้อย่างชัดเจนนัก

ทีนี้ เราจะใช้วิธีสมัยใหม่

เพื่อให้เราเห็นภาพ

ซึ่งเราจะใช้วงเกลียวของ Ulam

ซึ่งเราจะเรียงตัวเลขทุกตัวที่เป็นไปได้

เป็นก้นหอยที่เป็นวงออกไปเรื่อยๆ

แล้วเราจะระบายสีจำนวนเฉพาะเป็นสีน้ำเงิน

ทีนี้ เมื่อเราซูมออกมาจนสามารถเห็นตัวเลขได้เป็นล้านตัว

นี่คือลำดับของจำนวนเฉพาะ

ซึ่งออกไปเรื่อยๆ

ซึ่งโครงสร้างของวงเกลียวนี้

ยังไม่เคยมีใครพิสูจน์ได้

เราจะเริ่มเรื่องของเราแล้ว

ทีนี้เราจะ

ไปในช่วง 300 ก่อนคริสต์กาล ในกรีกโบราณ

นักปรัชญาที่ชื่อว่ายูคลิด

เข้าใจว่าตัวเลขทุกตัวนั้น

สามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท

เขาเข้าใจว่าตัวเลขทุกตัว

สามารถหารลงไปเรื่อยๆ

จนถึงกลุ่มตัวเลขที่เล็กที่สุด

ซึ่งกลุ่มตัวเลขที่เล็กที่สุดนี้

คือจำนวนเฉพาะ

ซึ่งเขากล่าวว่าตัวเลขทุกตัว

นั้นเกิดจากการรวมตัวกันของจำนวนเฉพาะ

เพื่อให้เข้าใจกัน ลองจินตนาการตัวเลขทุกตัว

ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

ทีนี้ ลองนำจำนวนประกอบตัวใดก็ได้มาแตกออก

แล้วเราจะเหลือไว้แค่จำนวนเฉพาะ

ซึ่งยูคลิดรู้ว่าตัวเลขทุกตัว

สามารถแสดงออกมา โดยกลุ่มจำนวนเฉพาะ

ซึ่งเราสามารถเปรียบเทียบได้ว่ามันคือ โครงสร้าง

ซึ่งตัวเลขทุกตัวที่คุณเลือก

สามารถสร้างขึ้นมาจากกลุ่มจำนวนเฉพาะที่เล็กกว่า

ซึ่งนี่คือที่มาของ

ทฤษฎีพื้นฐานของตัวเลข

แล้วนำตัวเลขอะไรก็ได้ เช่น 30

แล้วหาจำนวนเฉพาะทุกตัว

ที่มันสามารถหารได้ลงตัว

ซึ่งกระบวนการนี้เป็นการแยกตัวประกอบ

จะทำให้เรารู้จำนวนเฉพาะ

ในกรณีนี้ 2, 3 และ 5 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 30

ยูคลิดรู้ว่า คุณสามารถคูณ

ตัวเลขเหล่านี้ในจำนวนครั้งที่ถูกต้อง

เพื่อสร้างตัวเลขเดิม

ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่

คูณตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวด้วยกันเพื่อสร้างตัวเลข 30

2 คูณ 3 คูณ 5 คือตัวประกอบเฉพาะของ 30

คิดว่า มันเป็นคีย์พิเศษ

ซึ่งไม่มีวิธีอื่นในการสร้างตัวเลข 30

โดยยนำจำนวนเฉพาะกลุ่มอื่น ๆ

มาคูณเข้าด้วยกัน

ดังนั้นตัวเลขทุกตัวจะมี

วิธีการแยกตัวประกอบเพียง 1 วิธีเท่านั้น

การเปรียบเทียบที่ดีคือ ลองจินตนาการว่าตัวเลขแต่ละตัวเลข

คือล็อคที่แตกต่างกัน

กุญแจของมัน

คือการแยกตัวประกอบที่เฉพาะเจาะจง

ไม่มีล็อคสองอันที่จะใช้กุญแจเหมือนกัน

ไม่มีตัวเลข 2 ตัวที่ใช้วิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะเหมือนกัน