-
דמיינו כי אנו חיים בזמן פרה-היסטורי.
-
כעת, נסו לשער:
-
איך יכולנו לנהל את זמננו בלי שעון?
-
כל השעונים מבוססים על איזושהי תבנית החוזרת על עצמה
-
המחלקת את הזמן למקטעים שווים.
-
למצוא את התבניות החוזרות
-
אנו מתבוננים לשמים.
-
הכי ברורה היא השמש הזורחת ושוקעת בסוף כל יום
-
אולם לעקוב אחר פרקי זמן ארוכים יותר
-
אנו מחפשים מחזורים ארוכים יותר.
-
לשם כך, אנו מתבוננים בירח
-
הגדל בהדרגה ואחר כך מצטמק לאורך ימים רבים.
-
כאשר אנו סופרים את מספר הימים בין מופעי ירח מלא
-
אנו מגיעים למספר 29.
-
זהו מקורו של מושג החודש.
-
אבל, אם ננסה לחלק 29 למקטעים שווים
-
ניקלע לבעיה: הדבר בלתי אפשרי.
-
הדרך היחידה לחלק 29 למקטעים שווים
-
היא לפרקו חזרה ליחידות בודדות...
-
29 הוא מספר ראשוני.
-
חישבו עליו כעל "בלתי פָּרִיק".
-
אם מספר יכול להתפרק לחלקים שווים הגדולים מ-1,
-
אנו מכנים אותו "מספר פָּרִיק".
-
אם אנו סקרנים, נוכל לתהות:
-
כמה מספרים ראשוניים קיימים,
-
ולאיזה גודל הם יכולים להגיע?
-
הבה נתחיל על ידי חלוקה של כל המספרים לשני סוגים.
-
נרשום את כל הראשוניים בצד שמאל
-
ואת הפריקים בימין.
-
תחילה נדמה שהם קופצים לסירוגין בין הטורים.
-
אין תבנית ברורה.
-
אז הבה נשתמש בשיטה מודרנית
-
לראות את התמונה הגדולה.
-
הטריק הוא להשתמש ב"ספירלת אולם" (Ulam)
-
תחילה נרשום את כל המספרים לפי סדר עולה
-
בצורת ספירלה.
-
עכשיו נצבע את כל הראשוניים בכחול.
-
ולבסוף נעשה "זום החוצה" לראות מיליוני מספרים.
-
זוהי תבנית הראשוניים
-
הממשיכה עוד ועוד לנצח.
-
באופן מדהים, המבנה המלא של תבנית זו
-
עדיין לא מפוענח עד היום.
-
אנו בדרך למשהו...
-
הבה נתקדם בזמן
-
לשנת 300 לפני הספירה ביוון העתיקה.
-
פילוסוף בשם אוקלידס מאלכסנדריה
-
הבין שאת כל המספרים
-
אפשר לחלק לשני הסוגים הללו.
-
תחילה הוא הבין שכל מספר
-
אפשר לחלק שוב ושוב
-
עד שמגיעים לקבוצה של מספרים אותם לא ניתן לחלק יותר
-
ובהגדרה, המספרים הקטנים הללו
-
הם תמיד מספרים ראשוניים.
-
אם כן, אנו יודעים שכל המספרים
-
איכשהו בנויים מראשוניים קטנים מהם.
-
להבהרה, דמיינו עולם מלא מספרים
-
(התעלמו לרגע מהראשוניים).
-
כעת קחו מספר פָּרִיק כלשהו ופרקו אותו לגורמיו
-
ותמיד תישארו עם מספרים ראשוניים.
-
אוקלידס ידע שכל מספר
-
אפשר לבטא בעזרת מספרים ראשוניים קטנים יותר.
-
נחשוב עליהם כעל אבני בניין.
-
לא משנה באיזה מספר תבחרו
-
תמיד אפשר יהיה לבנותו בעזרת ראשוניים קטנים ממנו.
-
זהו היסוד של התגלית
-
הידועה בשם "המשפט היסודי של האריתמטיקה".
-
לדוגמא בחרו במספר כלשהו, נניח 30,
-
ומצאו את כל המספרים הראשוניים
-
אליו הוא מתפרק.
-
תהליך זה ידוע בשם "פירוק לגורמים".
-
נקבל את הגורמים הראשוניים,
-
ובמקרה שלנו 2, 3 ו-5 הם הגורמים הראשוניים של 30.
-
אוקלידס הבין שאפשר להכפיל
-
גורמים ראשוניים אלה מספר מסויים של פעמים
-
כדי לבנות את המספר המקורי.
-
במקרה שלנו, פשוט
-
מכפילים כל גורם פעם אחת כדי לבנות את 30.
-
2 כפול 3 כפול 5 הוא הפירוק הראשוני של 30.
-
חישבו על זה כעל מפתח או צירוף מיוחד.
-
אין שום דרך אחרת לבנות 30
-
באמצעות קבוצה אחרת של מספרים ראשוניים
-
אותם נכפיל אחד בשני.
-
כלומר לכל מספר בעולם יש רק
-
פירוק לגורמים ראשוניים אחד ויחיד.
-
למשל, ניתן לחשוב על כל מספר
-
כעל מנעול יחידני.
-
המפתח המיוחד למנעול זה
-
יהיה הפירוק שלו לגורמים ראשוניים.
-
לאף שני מנעולים לא יהיה אותו מפתח.
-
לאף שני מספרים אין את אותו פירוק לגורמים ראשוניים.