Den fundamentale teori om aritmetik

Den fundamentale teori om aritmetik

Lad os forestille os, at vi levede for lang, lang tid siden.

Lad os prøve at tænke over,

hvordan vi holdt styr på tiden uden et ur.

Alle ure er baseret på et gentagende mønster,

der deler hele tiden op i lige store dele.

For at finde de gentagende mønstre

kigger vi på himlen.

Det er klart, at solen står op og ned hver dag,

men når vi skal holde styr på længere tidsrum,

skal vi kigge efter længere cyklusser.

Vi kan kigge på månen,

der ser ud til gradvist at vokse og skrumpe over mange dage.

Når vi tæller antallet af dage mellem fuldmåne,

finder vi ud af, at der er 29.

Det er sådan, man opfandt en måned.

Når vi skal prøve at dele 29 op i lige store dele,

finder vi ud af, at det er umuligt.

Den eneste måde, vi kan dele 29 op i lige store dele

er ved at splitte det op i grupper af 1.

29 er nemlig et primtal.

Vi kan tænke på det som udeleligt.

Hvis et tal kan blive delt op i lige store dele, der er større end 1,

kalder vi det et sammensat tal.

Hvis vi er nysgerrige, kommer vi måske til at tænke på,

hvor mange primtal, der er,

og hvor store de bliver.

Lad os starte med at dele alle tal ind i 2 kategorier.

Vi sætter primtallene til venstre

og de sammensatte tal til højre.

Til at starte med ser de ud til at være lidt her og der.

Der ser ikke ud til at være et mønster.

Lad os bruge en moderne teknik

til at se det fulde billede.

Teknikken er at bruge Ulam-spiralen.

Først stiller vi alle tal i rækkefølge

i en voksende spiral.

Så farver vi alle primtallene blå.

Til sidst formindsker vi billedet, så vi kan se millioner af tal.

Det her er primtallenes mønster,

der bliver ved og ved for evigt.

Utroligt nok er hele det her mønsters struktur

stadig ikke løst i dag.

Vi har fundet noget.

Lad os spole tiden frem

til omkring 300 år før vor tidsregning i det gamle Grækenland.

En filosof kendt som Euclid fra Alexandria

forstod, at alle tal

kunne blive delt op i de her 2 kategorier.

Han begyndte ved at finde ud af,

at alle tal kan blive divideret igen og igen,

indtil man når en gruppe af de mindste, lige store tal.

Per definition er de her små tal

altid primtal.

Han vidste altså,

at alle tal på en måde er bygget ud af mindre primtal.

For at gøre det klart kan vi forestille os et univers

med alle tal og ignorere primtallene.

Vi kan vælge et hvilket som helst sammensat tal

og dividere det ned, og vi vil altid stå tilbage med et primtal.

Euclid vidste altså, at ethvert tal kan udtrykkes

ved at bruge en gruppe af mindre primtal.

Vi kan tænke på de her som byggeklodser.

Ligemeget hvilket tal vi vælger,

kan vi altid bygge det med nogle mindre primtal.

Det er roden til opdagelsen,

vi kalder den fundamentale teori om aritmetik.

Vi kan vælge ethvert tal. Lad os for eksempel tage 30.

Nu kan vi finde alle de primtal,

der går op i det uden rest.

Det hedder faktorisering.

Det vil give os primtallene.

I det her tilfælde er 2, 3 og 5 primfaktorerne til 30.

Euclid fandt ud af, at man kan gange

primfaktorerne et vist antal gange

og på den måde bygge det oprindelige tal.

I det her tilfælde ganger vi bare

hver faktor med hinanden 1 gange for at bygge tallet 30.

2 gange 3 gange 5 er primfaktoriseringen for 30.

Vi kan tænke på det som en særlig nøgle eller kombination.

Der er ingen anden måde at bygge tallet 30 på

ved at bruge andre tal

ganget sammen.

Ethvert tal har altså 1,

og kun 1, primfaktorisering.

Man kan altså forestille sig,

at alle tal har en forskellig lås.

Den unikke nøgle til låsen

er dens primfaktorisering.

Der er ikke 2 låse, der har den samme nøgle.

Der er ikke 2 tal, der har samme primfaktorisering.