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No último vídeo, eu
aleguei que esta fórmula
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poderia ser útil para
resolver ou para descobrir
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a antiderivada de
uma classe de funções.
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Vamos ver se é
realmente o caso.
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Digamos que eu quero pegar a
antiderivada de x
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vezes o cosseno de x dx.
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Agora se você olhar essa
fórmula bem aqui,
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você pretende atribuir parte deste
f de x e uma parte
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para g' de x.
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E a questão é, bem eu
atribuo f de x para x e g'
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de x para cosseno de x ou
o contrário?
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Eu faço f de x cosseno
de x e g' de x, x?
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E para entender
é preciso olhar para
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a outra parte da
fórmula e perceber que
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você vai ter que
resolver isso bem
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aqui.
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E aqui onde nós
temos a derivada
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de f de x vezes f de x.
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O que temos que
fazer é atribuir f de x
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assim como a derivada
de f de x é
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na verdade mais simples
que f de x.
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E atribuir g' de x que,
se você
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tivesse que pegar essa antiderivada,
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não ficaria mais complicado.
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Então nesse caso,
se atribuirmos f de x
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para ser igual a x, f' de x
é definitivamente mais simples,
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f' de x é igual a 1.
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Se atribuirmos g' de x para ser
cosseno de x, mais uma vez, se nós
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pegamos essa antiderivada,
que seno de x,
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não é mais complicado.
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Se fizermos ao contrário,
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se definimos f de x para
ser o cosseno de x, então
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pegamos essa
derivada aqui.
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Isso não é tão complicado.
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Mas se definirmos g' de
x igualando x e então
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tivermos que
pegar a antiderivada,
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pegamos x ao quadrado sobre 2,
que é mais complicado.
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Deixe-me fazer isso
claro bem aqui.
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Estamos atribuindo f de x
para ser igual a x.
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E isso significa que
a derivada de f
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vai ser igual a 1.
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Estamos atribuindo -- vou escrever
bem aqui -- g' de x
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vai será igual ao cosseno de x,
o que significa
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que g de x é igual ao seno de x,
a antiderivada do cosseno
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de x.
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Agora vamos ver,
dado esses pressupostos,
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vamos ver se podemos
aplicar essa fórmula.
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Portanto, esta fórmula
tem tudo isso.
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Vamos ver, o lado direito
diz f de x vezes g de x.
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Então f de x é x.
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g de x é seno de x.
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E depois disso, vamos subtrair
a antiderivada
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de f' de x -- bem, isso é apenas 1 -- vezes g de x,
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vezes seno de x dx.
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Agora isso foi uma grande
simplificação.
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Agora eu tentei resolver
a antiderivada de x cosseno
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de x para agora só tenho
que achar a antiderivada
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de seno de x.
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E conhecemos a antiderivada
de seno de x dx
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é apenas igual a cosseno negativo de x.
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E claro, podemos jogar
o mais C nisso agora,
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agora que estamos prontos com
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todas as antiderivadas.
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E tudo isso vai ser igual a x seno de x,
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x vezes seno de x, menos a antiderivada
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disso, que é apenas cosseno negativo de x.
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E então podemos jogar em um
mais C bem no final disso.
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E não importa se não
subtraímos um C ou somarmos C.
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Dizemos que isso é
alguma constante arbitrária
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que não pode ser negativa.
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E então tudo isso vai ser igual a
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-- que rufem os tambores --
isso é x vezes seno x
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diminui um negativo, que
se torna positivo, mais cosseno
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de x mais C.
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E estamos prontos.
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Pegamos a
antiderivada de algo
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que nós não sabíamos antes como pegar
a antiderivada.
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Isso é muito interessante.
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Legendado por [Soraia Novaes]
