Constructing an exponential equation example

Lino abriu uma conta na poupança
e depositou $ 6.250.

A cada ano,
a poupança rende 20%.

Quantos anos levará
para a conta atingir $ 12.960?

Escreva uma equação
que represente a situação.

Use "t" para representar
o número de anos

desde que Lino abriu a conta.

Pause o vídeo
e tente solucionar sozinho.

Tente escrever a equação
que representa a situação

usando a variável "t"
como descreveram.

E depois responda:

em quantos anos
a conta chegará a $ 12.960?

Vamos pensar.

"T" representa os anos
desde que Lino abriu a conta.

Digamos que faça 0 ano
que ele abriu a conta.

Quanto ele vai ter?

Vai ter $ 6.250 nela.

Ele começa com este valor.

Agora se passou um ano
desde que ele abriu a conta.

Quanto vai ter?

Ele vai ter $ 6.250 vezes...

Vamos escrever assim:
mais 20% de 6.250.

Ela rende 20% todo ano.

Ele começou o ano com isto

e ganha mais 20%
desses 6.250.

Se fatorarmos 6.250,

isto é igual a 6.250
vezes 1 mais 20%,

ou podemos escrever como 0,2.

Que é igual a
6.250 vezes 1,2.

Quanto ele vai ter
ao final de dois anos?

A mesma quantidade que tinha
ao fim de um ano vezes 1,2,

porque rendeu 20% de novo.

Ele vai ter o valor que tinha
ao final de um ano vezes 1,2,

que é igual a 6.250
vezes 1,2 vezes 1,2.

Que é igual a 6.250
vezes 1,2 ao quadrado.

Você já deve ter percebido
o que estou fazendo.

Pela ordem das operações,
calculamos o expoente primeiro.

E depois de 3 anos?

Após 3 anos, vamos multiplicar
por 1,2 de novo.

Então ele vai ter 6.250
vezes 1,2 à terceira potência.

Então, após t anos,

vamos multiplicar
por 1,2 "t" vezes.

Então, após t anos na poupança,
ele vai ter 6.250 vezes

1,2 elevado a t.

1,2 elevado à potência t.

Não vamos nos confundir.

Enfim.

Escreva uma equação
que represente a situação.

Queremos saber em quantos anos
a conta chegará a 12.960.

Então queremos saber quando
a conta atingirá $ 12.960?

Podemos escrever:
12.960. Quando isso

vai ser igual a 6.250
vezes 1,2 elevado a t?

Então esta é a equação
que representa a situação.

E agora temos que pensar
em como vamos solucioná-la.

Podemos isolar a variável t.

Vamos dividir
os dois lados por 6.250.

E, se trocarmos os dois lados,

ficamos com 1,2 elevado a t
é igual a...

Ou melhor, 12.960
dividido por 6.250.

Como ambos
são divisíveis por 10,

por que não dividimos
os dois por 10?

Portanto 1.296
dividido por 625.

E há muitas formas
de resolver este problema.

Uma delas, se tiver certeza

de que este será
um número inteiro,

é usar a calculadora

e multiplicar 1,2 várias vezes
até chegar a este número.

Podemos fazer assim.

E há uma forma
mais sistemática

de fazer isso
usando logaritmos,

mas vou deixar
para o final caso

você ainda não tenha
aprendido logaritmo.

Você pode digitar...
Deixe-me

limpar tudo isso.

Você pode digitar
1.296 dividido por 625

dá isto aqui.

Vejamos quantas vezes
termos que multiplicar por 1,2.

1,2 vezes 1,2 dá...
Ainda não chegamos perto.

Vamos tentar 3 vezes.

Pegamos o mesmo número,

pegamos 1,2
e aumentamos...

Vamos aumentar 1,2

em 3 vezes.
Vezes 1,2 vezes 1,2.

Ainda não chegamos lá.

E se multiplicarmos por 1,2
mais uma vez?

Agora chegamos lá!

E fizemos isso à força:

1,2 à quarta potência
nos dá este valor.

Esta é uma forma mais manual

de descobrir
que t é igual a 4.

Outra forma
um pouco menos intuitiva

é você perceber
que isto parece potência de 5.

Sabemos que 5 à primeira é 5,
5 ao quadrado é 25,

5 ao cubo é 125,
5 à 4ª potência é 625.

Então sabemos que isto aqui
é 5 elevado à 4ª potência.

Mas é mais difícil perceber
que isto aqui

é 6 elevado à 4ª potência.

E isto aqui é 6/5.

Então podemos reescrever
como 6/5 elevado a t

é igual a 6 à quarta
sobre 5 à quarta.

Que é a mesma coisa
que 6/5 à 4ª potência.

Bom, se 6/5 elevado a t
precisa ser igual a 6/5

à quarta potência,
t é igual a 4.

Essa forma é legal
quando você reconhece

que isto é um número
elevado à 4ª potência,

o que não é fácil.

Ou, se souber que t
é um número inteiro,

pode multiplicar por 1,2.
Se for um número inteiro baixo.

Mas a forma sistemática
de solucionar é usar logaritmos.

E temos vários vídeos
sobre o uso de logaritmos.

Mas se você só quer
descobrir a que potência 1,2

é igual a isso, basta -

e provamos isso
em outros vídeos -

é pegar o número ao qual você
quer que 1,2 seja elevado

e calcular o logaritmo dele.

E pode usar qualquer base.

As calculadoras costumam
ter base "e" e base 10.

Vamos usar a base 10.

Vamos lá.

Vamos calcular o logaritmo do número
ao qual queremos chegar, 2,0736,

e dividir isso pelo número
do qual queremos

descobrir a potência
para chegar a este número.

Ou seja, dividido
pelo logaritmo de 1,2.

Na verdade, quero dividir.

Tenho que inserir
o símbolo de divisão.

Pode parecer bem complicado,

mas provamos
em outros vídeos

que se quiser usar a calculadora
para calcular coisas assim -

porque às vezes não vai ser
um número inteiro de anos.

Podem ser 3 anos e meio,

ou 7,1234 anos,
o que quer que seja -

isto vai lhe dar
uma resposta mais precisa.

Quer chegar a quê?
A 2,0736.

O que está elevando
a alguma potência? 1,2.

Divida o logaritmo
do número ao qual quer chegar

pelo logaritmo da base

à qual quer elevar a alguma
potência e aperte "enter".

Esta é outra forma
de dizer que

1,2 à quarta potência
vai ser 2,0736.

Se nunca viu isso
e não sabe o que são logaritmos,

temos vídeos sobre isso.

Mas há várias formas
de solucionar,

principalmente este problema,
cuja solução é mais simples.