-
-
-
เราได้ทำการหมุนในแกน x มามากแล้ว ดังนั้น
-
เรามาเริ่มหมุนแกน y และดูว่าจะทำอะไรกันได้บ้าง
-
อย่างน้อยที่สุด
-
ให้ผมวาดแกนก่อนนะ
-
นี่คือแกน y
-
และนี่คือแกน x
-
-
-
ทีนี้, ลองทำตัวอย่างกันดู, เราจะเรียกมันว่า f ของ
-
x เหมือนกันเพราะมันจะได้ใช้ได้โดยทั่วไป
-
ลองวาด y เท่ากับ x กำลังสองกัน
-
-
-
ขอผมวาดเป็นบวก เพราะผมจะหมุนมัน
-
รอบแกน y และมันสมมาตรอยู่แล้ว, นั้่น
-
คือ y เท่ากับ x กำลังสอง
-
นี่คือแกน y
-
นี่คือแกน x
-
ที่จริง, ไม่, ผมจะทำกรณีทั่วไปก่อน, แล้วเราค่อย
-
แก้มันโดยเฉพาะ
-
เราจะเรียกนี่ว่า f ของ x, แน่นอน นี่
-
คือ y เท่ากับ x กำลังสอง
-
นี่คือ f ของ x
-
และเรารู้วิธีหาปริมาตรหากผมหมุน
-
รอบแกน x นี่แล้ว
-
แต่ถ้าเกิดผมอยากบอกว่า -- ผมเดาว่า คุณเรียกนี่ว่าปริมาตร
-
ระหว่าง 0 กับ -- คุณพยายามจะทำให้มันทั่วไปที่สุด
-
สมมุติว่าระหว่าง 0 กับ 1
-
ผมว่าขอบนี้คุณคงเข้าใจนะ
-
ประมาณนี้ พื้นที่นี้, ผมจะหมุนมัน
-
รอบแกน y ตรงนี้
-
แล้วรูปสุดท้ายจะเป็นอย่างไร?
-
ฐานของมัน -- ขอผมดูหน่อยว่าผมจะวาดมันได้ไหม
-
ไม่ นั่นไม่ใช่ที่ผมอยากทำ
-
ฐานจะเป็นรูปแบบ
-
ทรงกระบอกอย่างนั้น
-
แล้วด้านบน มันจะเป็น -- ไม่, นั่นไม่ใช่
-
สิ่งที่ผมอยากทำ
-
ขอผมวาดเส้นข้างหน่อยนะ
-
มันจะได้อะไรแบบนั้น
-
-
-
แล้วด้านบนของมันจะเป็นอะไรแบบนั้น
-
แต่มันไม่ใช่แค่ทรงกระบอก, จริงไหม?
-
ถ้าผมทำทั้งก้อน มันจะเป็นทรงกระบอก
-
แต่ข้างในมันจะแบบว่ากลวง
-
ขอผมหาวิธีวาดดีๆ หน่อย
-
ผมจะใช้อีกสีหนึ่งนะ
-
ด้านในจะกลวง
-
-
-
ผมไม่รู้ว่าคุณเข้าใจหรือเปล่า
-
มันเหมือนกับข้างใน มันเป็นเหมือนถ้วย
-
ข้างหน้ามันจะดูเหมือนทรงกระบอกหรือกระป๋อง
-
หวังว่าคุณคงเข้าใจนะ
-
คุณเอาเจ้านี่มาแล้วหมุนมัน
-
แล้วเส้นโค้งที่ระบุผิวข้างในคือ y
-
เท่ากับ x กำลังสอง
-
มันจะหมุนไปรอบๆ
-
ผมว่ามันเข้าท่าแล้ว
-
การวาดเป็นส่วนที่ยากที่สุด
-
แล้วเราจะทำอย่างไรต่อ?
-
แม้แต่รูปนี้ก็ทำให้คุณคิดคิดได้
-
เราใช้หลักแบบจานไม่ได้แล้ว, สิ่งที่เราทำมาก่อน คือ
-
เราหมุนรอบแกน x, นั่นคือหลักแบบจาน,
-
เพราะเราจินตนาการว่าพวกมันเป็นจาน
-
แยกกัน แล้วนำมารวมกัน
-
ตอนนี้เราจะทำสิ่งที่เรียกว่า หลักแบบเปลือก
-
แล้วหลักแบบเปลือกคืออะไร?
-
แทนที่จะเอาจานมา แล้วหาปริมาตร
-
รวมกัน, เราจะรวมเปลือกหลายอันเข้าด้วยกัน
-
แล้วเปลือกคืออะไร?
-
ลองนึกถึงสี่เหลี่ยมตรงนี้
-
หวังว่าคุณจะเห็นตรงนี้นะ
-
สมมุติว่ามันอยู่ที่จุด x1
-
แล้วความสูงจะเป็นเท่าไหร่?
-
ความสูงจะเป็น f ของ x1
-
-
-
นั่นคือความสูง
-
ทีนี้ลองเอาส่วนนั้นมา
-
หมุนรอบแกน y
-
มันจะเป็นอย่างไร?
-
ทีนี้, มันจะออกมาเป็นเปลือก, มันจะออกมาเป็น
-
ทรงกระบอก, เป็นข้างนอกทรงกระบอก
-
มันดูไม่ต่างเท่าไหร่ แต่ผมอยากวาด
-
มันให้ดีเพราะสัญชาตญาณคือสิ่งสำคัญ
-
ที่สุด, ไม่ใช่การทำโจทย์ให้ถูก
-
ขอผมดูหน่อยว่าผมจะวาดมันได้ตรงใหม่
-
แล้วเราก็มีด้านล่างของเปลือ, มันจะ
-
ออกมาเป็นแบบนั้น
-
ขอผมลากเส้นพวกนี้ให้เรียบร้อยนะ
-
ผมว่าคุณคงเข้าใจนะ
-
โอเค
-
มันจะออกมาเป็นแบบนั้น
-
-
-
เปลือกข้างนอกจะเป็นทรงทึบ
-
-
-
มันมีความกว้าง แต่ข้่างในกลวง
-
ขอผมใช้อีกสีนะ
-
บางทีสีเข้มหน่อย เพื่อให้เห็นว่ามีอะไรข้างใน
-
-
-
คุณก็รู้ มันเหมือนกับวงแหวน
-
แล้วความสูงของวงแหวนนี้เป็นเท่าไหร่?
-
ความสูงจะเป็น f ของ x1
-
ขอผมเลือกสีสว่างหน่อย คุณก็รู้ว่าผมหมายถึงอะไร
-
ความสูงของวงแหวนนี้ คือ f ของ x1
-
f ของ x แทนค่าที่จุดใดๆ ตามที่เราเลือก
-
พื้นที่ผิวของวงแหวนนี้จะเป็นเท่าไหร่?
-
คุณก็รู้, อันข้างนอกนี่
-
ลองคิดกันดู
-
มันจะเท่ากับเส้นรอบวงของวงแหวะนนี้ คูณความสูง
-
เส้นรอบวงของวงแหวนนี้เป็นเท่าไหร่?
-
-
-
ลองกลับไปที่เรขาคณิตกัน
-
เส้นรอบวงเท่ากับ 2 ไพ คูณรัศมี
-
ดังนั้นถ้าเรารู้รัศมีของมัน, เราจะรู้เส้นรอบวง
-
แล้วรัศมีเป็นเท่าไหร่?
-
แล้วรัศมีคือระยะที่เราห่างจากแกน
-
การหมุนยังจุดนั้น
-
นั่นก็คือรัศมี
-
-
-
ในตัวอย่างนี้ รัศมีคือ x1
-
-
-
นั่นก็คือจุด x ที่เรากำลังหาค่าอยู่
-
เส้นรอบวงจะเท่ากับ 2 ไพ คูณจุดนั้น
-
ที่เราหาค่าอยู่
-
ดังนั้นพื้นที่ผิว -- สีบานเย็นนี่ที่ผม
-
ระบายสี -- นั่นจะเท่ากับเส้นรอบวง คูณ
-
ความสูง, ซึ่งเราบอกไปแล้วว่าคือ f ของ x1
-
-
-
เรียกมันว่าพื้นที่ผิวแล้วกัน
-
พื้นที่ผิว เท่ากับเส้นรอบวงคูณความสูง,
-
ซึ่งเท่ากับ 2 ไพ x1 คูณ f ของ x1
-
เราหาพื้นที่ของเจ้านี่ไปแล้ว
-
ทีนี้เราจะหาปริมาตรได้อย่างไร?
-
-
-
แล้วความกว้างมันเป็นเท่าไหร่?
-
วงแหวนนี้หนาเท่าไหร่?
-
ความหนาตรงนี้เป็นเท่าไหร่?
-
มันหนาน้อยมาก
-
แต่คุณเอาชิ้นนี้มา, แล้วเจ้านี่อย่างที่เราเรียนใน
-
แคลคูลัสมาแล้ว, ความกว้างของสี่เหลี่ยมเล็กๆ คือ dx
-
และคุณก็รู้, เมื่อเราหาอินทิกรัล, มันจะ
-
เล็กลง เล็กลงสุดๆ และเรามีจำนวน
-
ของมันมากขึ้น มากขึ้น
-
ความของอันนี้ก็คือ dx
-
ขอผมวาดมันใหญ่ๆ หน่อย, ไม่น่ากลัวเกินไป
-
ถ้านี่คือแผ่น, ความกว้างเป็น dx
-
ความสูงเป็น f ของ x1
-
x1 จะอยู่ตรงกลาง
-
แล้วระยะทางศูนย์กลางเท่ากับ x1 ด้วย
-
หวังว่าคงเข้าใจนะ
-
แล้วปริมาตรของเปลือกนี้เป็นเท่าไหร่?
-
ปริมาตรของเปลือก -- เปลือกนี้, ไม่ใช่อันนี้นะ -- ปริมาตร
-
ของเปลือกจะเท่ากับพื้นที่ผิว
-
ของเปลือกคูณกับความหนาของเปลือกนี้
-
แล้วความหนานั่นคือ dx, มันจะเท่ากับเจ้านี่คูณ dx
-
ดังนั้นปริมาตรของเปลือกนั่นเท่ากับ 2 ไพ x1 คูณ
-
f ของ x1 คูณ dx
-
ผมว่าคุณคงรู้แล้วว่าผมจะทำอะไรต่อ
-
ปริมาตของรูปหมุนทั้งหมด
-
เจ้านี่ตรงนี้เป็นเท่าไหร่?
-
ผมก็แค่รวมเปลือกพวกนี้แต่ละอันเข้าด้วยกัน
-
ผมมีเปลือกหนึ่งตรงนี้, แล้วก็ผมมีเปลือกที่สูง
-
น้อยกว่าหน่อย, และบนนี้ผมมีเปลือกที่สูงกว่ามาก
-
และผมรวมพวกมันทั้งหมดเข้า
-
ตรงนี้คือเปลือกที่ไปรอบๆ
-
แล้วมันมีเปลือกอีกอันตรงนี้, ผมก็บวกมันเข้าไปด้วย
-
และนั่นก็คือการหาอินทิกรัล
-
ปริมาตรรวมของรูปเมื่อผมหมุนมันไป
-
รอบแกน y จะเท่ากับ -- ขอบเขตผมคือจาก 0 ไป 1 -- 2
-
ไพ -- เจ้านี่ผมบอกค่าเฉพาะไปคือ x1 แต่เราจะบวก
-
มันไปทุกค่าของ x
-
มันจึงเท่ากับ 2 ไพ x f ของ x dx
-
นี่ก็แค่ค่าคงที่, แล้วคุณก็เรียกมันว่า
-
2 ไพ คูณ x f ของ x
-
งั้นลองดูตัวอย่างเฉพาะกัน
-
ลองทำ x กำลังสองดู
-
สมมุติว่าฟังก์ชันคือ x กำลังสอง
-
ในกรณีนี้ ปริมาตรจะเท่ากับ -- ลองเอา
-
2 ไพ ออกมา -- 2 ไพ อินทิกรัล 0 ถึง 1 x คูณ f ของ x -- f ของ x
-
ในตัวอย่างเราคือ x กำลังสอง, ซึ่งผมวาดไปก่อนหน้านี้แล้ว -- dx เท่ากับ 2 ไพ
-
นี่ก็แค่ x กำลังสาม, จริงไหม?
-
x กำลังสอง
-
มันจึงได้ 2 ไพ คูณแอนติเดริเวทีฟของ
-
x กำลังสาม
-
แล้วนั่นก็คือ x กำลังสี่ ส่วน 4
-
-
-
แทนค่ามันที่ 1 ลบแทนค่ามันที่ 0
-
ทีนี้ นั่นเท่ากับ 2 ไพ คูณ 1 กำลังสี่ ได้ 1, เป็น
-
1/4 แล้วก็ลบ 0
-
มันก็คือ 2 ไพ คูณ 1/4
-
นั่นคือ ไพ ส่วน 2
-
-
-
นั่นคือปริมาตร, และเราหมุนมันรอบแกน y
-
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
-
-
