Introduction to i and Imaginary Numbers

Hôm nay chúng ta sẽ học về số i

thường được gọi là đơn vị ảo

Bài học về i sẽ hơi khó hiểu vì đối với

chúng ta, i là một khái niệm lạ hơn những

khái niệm khác trong toán học như pi hay e

Và i không có giá trị hữu hình theo nghĩa

chúng ta thường hay xác định các con số

i được định nghĩa là số có bình phương bằng âm 1

Định nghĩa này cũng dẫn đến nhiều điều thú vị

Bạn có thể thấy vài định nghĩa khác như

i bằng căn bậc hai dương của âm 1

Điều này không hề sai

nếu một cái gì đó bình phương là một số âm

thì có thể nó là căn bậc hai dương của âm 1

Hai định nghĩa này gần như hoàn toàn giống nhau

Tuy nhiên chúng ta nên hiểu tường tận vì

một vài người thường hay

hiểu sai ý nghĩa của chúng

Bạn cần phải hiểu rõ ý nghĩa của số ảo

là căn bậc hai dương của một số âm

Đây cũng là định nghĩa về số phức ở bài sau

Nhưng giờ bạn không cần phải phân biệt

giữa số ảo và số phức

Vậy các lũy thừa của i sẽ như thế nào?

Vì nếu bình phương của một cái gì đó bằng âm 1

lũy thừa của chúng sẽ rất kỳ lạ

Lũy thừa của i khá gọn gàng vì chúng có chu kỳ

chúng thực hiện chu kỳ thông qua một tập hợp đầy đủ các giá trị

Chúng ta bắt đầu bằng i mũ 0

Chúng ta đều biết mọi số mũ 0 đều bằng 1

nên i mũ 0 bằng 1.

chúng ta có thể suy ra từ định nghĩa này

bất cứ thứ gì mũ 0, kể cả i đều bằng 1

Vậy i mũ 1 bằng mấy?

Vì bất cứ số nào mũ 1 đều bằng chính nó

nên i mũ 1 bằng i

Điều này đúng hoàn toàn theo

định nghĩa của số mũ

Sau đó chúng ta tìm i mũ 2

theo định nghĩa đơn vị ảo ban đầu

i mũ 2 bằng âm 1

Chúng ta có i mũ 3

bằng i bình phương nhân i

với i bình phương bằng âm 1

nên i mũ 3 bằng âm 1 nhân i

Theo cách nói khác,

i mũ 3

bằng âm i

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm i mũ 4

I mũ 4 sẽ bằng

i nhân i mũ 3

Chúng ta đã tìm ra trước đó

i mũ 3 bằng âm i

Chúng ta viết ở đây là âm i

với i nhân i bằng một số âm

vậy âm nhân âm bằng dương

Chúng ta viết ở đây

i nhân âm i

bằng âm 1, và vì phép nhân có tính chất

giao hoán, nên ta có thể viết

thành âm 1 nhân i nhân i

theo định nghĩa, i nhân i bằng âm 1

Âm 1 nhân âm 1 bằng dương 1

Từ đó suy ra i mũ 4 bằng i mũ 0

Ta tìm thử giá trị của i mũ 5

I mũ 5 bằng i mũ 4 nhân i

với i mũ 4 bằng 1

nên i mũ 5 bằng 1 nhân i

bằng i. Từ kết quả

ta thấy i mũ 5 bằng i mũ 1

Chúng ta tiếp tục với

i mũ 7

Chúng ta thử với i mũ 6 trước

i mũ 6 bằng i nhân i mũ 5

với i mũ 5 bằng i

i mũ 6 bằng i nhân i và bằng âm 1

Nếu cứ tiếp tục lũy thừa như vậy

với số mũ tăng dần của i

Ta sẽ thấy vòng lặp của các giá trị

Ở video tiếp theo chúng ta sẽ học cách sử dụng lũy ​​thừa cao tùy ý của i

để hiểu được ý nghĩa của vòng lặp

Hiện tại chúng ta chỉ cần hiểu đây là vòng lặp

i mũ 7 bằng i nhân i mũ 6

i mũ 6 bằng âm 1 nên i nhân âm 1 bằng âm i

i mũ 8 tiếp tục bằng 1

i mũ 9 bằng i, tương tự với số mũ cao hơn