Einführung in i und imaginäre Zahlen

Einführung in i und imaginäre Zahlen

In diesem Video möchte ich euch in die Zahl i einführen,

die manchmal auch die imaginäre, imaginäre Einheit genannt wird.

Was ihr hier sehen werdet, und es könnte ein bisschen schwierig werden

es voll und ganz zu verstehen, ist, das das eine weitaus komischere Zahl ist als

einige der anderen verrückten Zahlen, die wir in der Mathematik kennen lernen,

wie z.B. Pi oder e. Und es wird noch komischer, weil sie keinen konkreten Wert hat,

so wie wie wir normalerweise, oder es gewöhnt sind Zahlen zu definieren.

"i" is definiert als die Zahl, dessen Quadrat gleich minus Eins ist.

Das ist die Definition von "i" und es führt uns zu einer ganzen Reihe von interessanten Dingen.

Manchnal sieht man "i" auch wie folgt definiert;

"i" ist gleich die Quadratwurzel aus minus Eins.

I möchte nur hervorheben, dass das nicht falsch ist, es könnte euch genau so logisch erscheinen.

Es ist klar; etwas quadriert wird minus Eins, also

ist es die Wurzel aus minus Eins.

Und so scheint es der gleiche Ausdruck zu sein,

aber ich muss dich warnen, wenn du das tust,

einige gehen so weit, dass sie sagen das es falsch ist.

und es zeigt sich, dass sie falsch sind, wenn sie sagen das es falsch ist.

Aber, wenn du das tust, musst du ein bisschen vorsichtig sein, wenn es darum geht

die Wurzel aus einer negativen Zahl zu nehmen, und sie als

imaginär und, wie wir später lernen, komplex zu definieren.

Aber nur für dein Verständnis, ist es nicht wichtig sie zu unterscheiden.

Das unterscheiden dieser Definitionen ist Haarspalterei.

Jetzt, mit dieser Definition, lasst uns darüber nachdenken, was die Potenzen von "i" sind.

Weil ihr euch vorstellen könnt, wenn etwas quadriert minus Eins wird,

kann man es auch zu anderen Potenzen nehmen, vielleicht gibt uns das verrückte Dinge.

Und wir werden sehen, dass die Potenzen von "i" schön sind,

weil sie rotieren. Sie rotieren durch eine Reihe von Werten.

Ich könnte anfangen mit, lasst uns anfangen mit "i" zur nullten Potenz.

Ihr könntet sagen, irgendwas zur nulten Potenz ist Eins,

also "i" zur nullten Potenz ist Eins, und das ist wahr.

Und das kann man von der Definition ableiten,

aber das ist noch Zukunftsmusik; irgendwas zur nullten Potenz, inklusive "i" ist Eins.

Dann fragst du, ok, was ist "i" zur ersten Potenz?

Alles zur ersten Potenz is genau diese Zahl mal Eins.

Und das ist schlussendlich "i",

Wirklich, das kommt von der Definition einer Potenz,

dass ergibt also einen Sinn.

Dann nimmt man "i" zur zweiten Potenz.

"i" zur zweiten Potenz, nun per Definition,

"i" hoch zwei is gleich minus Eins.

Also lasst uns "i" zur dritten Potenz ausprobieren, ich mach das in einer Farbe, die "i" noch nicht hatte.

"i" zur dritten Potenz, nun, das ist "i" hoch zwei mal "i"

Und wir wissen "i" zur zweiten Potenz minus Eins ist.

Also ist es minus Eins mal "i", lasst mich das klarstellen.

Das ist das gleiche wie das, was das gleiche wie das ist.

"i" zum Quadrat ist minus Eins.

Wenn man es ausmultipliziert, minus Eins mal "i" ist minus "i".

Was passiert wenn man "i" zur vierten Potenz nimmt?

Ich mach es hier oben. "i" zur vierten Potenz.

Zum einen wird es "i" mal "i" zur dritten Potenz.

Das wird "i" mal "i" zur dritten Potenz. "i" mal "i" hoch drei.

Was war also "i" hoch drei? "i" hoch drei war minus "i".

Das hier drüben ist minus "i". Und "i" mal "i" ergiebt minus Eins.

Aber man hat was negatives heraus, also ist es "i" mal "i" minus eins

und du hast ein Minuszeichen, das macht plus Eins

Lass mich es ausschreiben. Das ist das gleiche

wie das, also ist das "i" mal minnus "i", was das gleiche ist,

wie minus Eins, beachte Multiplikation is kommutativ.

Wenn du eine Rehe von Zahlen multiplizierst, kann man die Reihenfolge vertauschen.

Das ist das gleiche wie minus Eins mal "i" mal "i".

"i" mal "i" ist, per Definition, minus Eins.

Minus Eins mal minus Eins ist plus Eins.

So "i" hoch vier ist das gleiche wie "i" hoch Null.

Lasst uns nun "i" zur fünften Potenz versuchen.

"i" hoch fünf. Nun das ist das gleiche wie "i" hoch vier

mal "i". Und wir wissen was "i" hoch vier ist. Es ist Eins!

Also ist es Eins mal "i", oder wieder "i".

Also ist es wieder einmal genau das gleiche

wie "i" zur ersten Potenz.

Lasst uns schauen, ob sich das Muster fortsetzt.

Lasst uns "i" zur siebenten Potenz ausprobieren.

Sorry, "i" zur sechsten Potenz.

Also, das ist "i" mal "i" zur fünften Potenz, das ist "i" mal "i" hoch fünf.

"i" zur fünften Potenz haben wir bereits entwickelt, das ist "i",

sodass es "i" mal "i" wird. Das wird, wieder per Definition, "i" mal "i" gleich minus Eins.

Und um das abzuschließen, können wir das so fortsetzen.

Wir können hier hohe und höhere Potenzen von "i" probieren.

Und wir werden sehen, dass es darauf zurückfällt.

Im nächsten Video, lehre Ich euch, wie man eine beliebige Potenz von "i" nimmt,

wie man herausfindet, was das wird.

Aber lasst uns erst bestätigen, dass sich der Kreislauf fortsetzt.

"i" zur siebenten Potenz ist gleich "i" mal "i" hoch Sechs.

"i" hoch Sechs ist geich minus Eins. "i" mal minus Eins ist minus "i".

Und wenn man "i" zur achten nimmt, wird es wieder Eins.

"i" hoch Neun wird wieder "i" und so weiter und so fort.