Por que não se pode dividir por zero?

Veja a lição completa: https://ed.ted.com/lessons/why-can-t-you-divide-by-zero

No mundo da matemática, muitos resultados estranhos são possíveis quando quebramos as regras. Mas existe uma regra que muitos de nós fomos avisados a não quebrá-la: não divida por zero. Como a simples combinação de um número comum e uma operação básica pode causar problemas?

Animação por Nick Hilditch.

No mundo da matemática,

muitos resultados estranhos são possíveis
quando mudamos as regras.

Mas existe uma regra inquebrável:

não divida por zero.

Como uma simples combinação
de um número comum

e uma operação básica
pode causar problemas?

A divisão por números cada vez menores

resulta em números cada vez maiores.

Dez dividido por dois é cinco,

por um é dez,

por um milionésimo é 10 milhões,

e assim por diante.

Então a divisão por números

que se aproximam do zero,

vai resultar no maior número possível.

Então a resposta de dez dividido
por zero seria o infinito?

Isso pode ser provável.

Mas tudo o que sabemos
é que se dividirmos dez

por um número que tende a zero,

a resposta vai tender ao infinito.

E isso não é a mesma coisa
que dizer dez dividido por zero

é igual a infinito.

Por que não?

Bem, vamos olhar mais de perto
para o que significa dividir.

Dez dividido por dois pode significar:

"Quantas vezes precisamos
somar 'dois' para resultar em dez?"

ou "duas vezes o que resulta em dez?"

Dividir por um número é
o inverso de multiplicar por ele,

na seguinte maneira:

se multiplicarmos qualquer número por x,

podemos perguntar se existe um novo
número que podemos multiplicar depois

para retornar aonde começamos.

Se ele existe, o novo número é chamado
de o inverso multiplicativo de x.

Por exemplo, se você multiplicar
três por dois para chegar em seis,

você pode então multiplicar
por meio para retornar a três.

O inverso multiplicativo de dois é meio,

e o inverso multiplicativo
de dez é um décimo.

Como você pode notar, o produto
de um número pelo inverso multiplicativo

é sempre um.

Se queremos dividir por zero,

precisamos encontrar
o seu inverso multiplicativo,

que é um sobre zero.

O número multiplicado por zero
precisa resultar em um.

Mas porque qualquer coisa
multiplicada por zero é zero,

esse número não existe,

então zero não tem inverso multiplicativo.

Isso melhora a situação, não?

Afinal, os matemáticos
já quebraram regras.

Por exemplo, há muito tempo,

não se podia tirar a raiz
quadrada de números negativos.

Mas então os matemáticos definiram
que a raiz quadrada de um número negativo

é chamado de número "i",

abrindo o campo dos números complexos.

Se eles podem fazer isso,

por que não podemos fazer uma nova regra,

tipo, que o símbolo do infinito
signifique um sobre zero,

e ver o que acontece?

Vamos tentar

imaginar que ainda não saibamos
nada sobre o infinito.

Com base na definição
do inverso multiplicativo,

zero vezes infinito deve ser igual a um.

Isso significa que zero vezes infinito
mais zero vezes infinito é dois.

Agora, pela distributividade,

o lado esquerdo da equação
pode ser arrumado

para zero mais zero vezes infinito.

E uma vez que zero mais zero é zero,

isso reduz a equação
à zero vezes infinito.

Mas nós já definimos isso como igual a um,

enquanto o outro lado da equação
ainda nos diz que é igual a dois.

Então, um igual a dois.

Apesar de estranho, não está errado;

apenas não é verdade
no mundo normal dos números.

Ainda há um meio disso
funcionar matematicamente,

se um, dois, e qualquer outro
número for igual a zero.

Mas infinito igual a zero

não é muito útil aos matemáticos,
ou para qualquer outra pessoa.

Na verdade, existe algo
chamado esfera de Riemann,

que pode dividir algo por zero
de uma maneira diferente,

mas essa é uma história para outro dia.

Por enquanto, a divisão por zero
na maneira mais óbvia

não funciona muito bem.

Mas isso não deveria nos impedir
de viver perigosamente

e tentar quebrar as regras matemáticas

para ver se inventamos mundos
novos e divertidos para explorar.