Warum kann man nicht durch Null teilen?

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In der Welt der Mathematik sind viele seltsame Ergebnisse möglich, wenn wir die Regeln ändern. Aber es gibt da eine Regel, die wir nicht brechen sollen: Teile nicht durch Null. Wie kann so eine einfache Kombination aus einer alltäglichen Zahl und einer Grundrechenart so viele Probleme verursachen?

Animation von Nick Hilditch.

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["Bei den schwarzen Löchern hat Gott
durch Null geteilt." - Steven Wright]

In der Welt der Mathematik

sind viele seltsame Ergebnisse möglich,
wenn wir die Regeln ändern.

Aber es gibt eine Regel,
die wir nicht brechen sollen:

Teile nicht durch Null.

Wie kann so eine einfache Kombination
aus einer alltäglichen Zahl

und einer Grundrechenart
so viele Probleme verursachen?

Normalerweise erhält man beim Teilen
immer kleiner werdenden Zahlen

immer größer werdende Zahlen.

10 geteilt durch 2 ist 5,

durch 1 ist 10,

durch ein Millionstel ergibt 10 Millionen

und so weiter.

Es scheint, wenn man durch Zahlen teilt,

die immer kleiner werden, bis zu Null,

ist das Ergebnis die größtmögliche Zahl.

Müsste das Ergebnis von 10 geteilt durch 0
nicht eigentlich undendlich sein?

Das mag logisch klingen,

aber wir wissen nur eins:

Teilen wir 10 durch eine Zahl,
die gegen 0 tendiert,

tendiert das Ergebnis gegen undendlich.

Das ist nicht dasselbe
wie 10 geteilt durch 0

ist gleich unendlich.

Warum nicht?

Schauen wir uns mal an,
was Division eigentlich ist.

10 geteilt durch 2 könnte bedeuten:

"Wie viele Male müssen wir
2 addieren, um 10 zu bekommen?"

oder "Zweimal wieviel ergibt 10?"

Durch eine Zahl zu teilen, ist im Grunde
die Umkehrung der Multiplikation,

auf folgende Art und Weise:

Multiplizieren wir irgendeine Zahl
mit einer gegebenen Zahl x,

können wir fragen:
Gibt es eine andere Zahl,

mit der wir danach multiplizieren können,
um zur Ausgangszahl zurückzukehren.

Gibt es diese Zahl,
ist sie der Kehrwert von x.

Multiplizieren wir etwa
3 mit 2, ergibt das 6.

Multiplizieren wir das mit 0,5
und kommen wieder auf 3.

Der Kehrwert von 2 ist also 0,5

und der Kehrwert von 10 ist ein Zehntel.

Wie du merkst, ist das Produkt
jeder Zahl und ihr Kehrwert

immer 1.

Wollen wir nun durch Null teilen,

müssen wir ihren Kehrwert finden,

der 1 durch 0 sein sollte.

Dies muss eine Zahl sein,
die mit Null multipliziert, eins ergibt.

Da aber jede Zahl
geteilt durch 0 gleich 0 ist,

ist solch eine Zahl nicht möglich.

Null hat also keinen Kehrwert.

Ist diese Antwort zufriedenstellend?

Mathematiker haben doch zuvor
auch schon Regeln gebrochen.

So konnte man lange Zeit

nicht die Quadratwurzel
aus negativen Zahlen ziehen.

Doch dann legten die Mathematiker
die Quadratwurzel von -1

als die neue Zahl i fest

und eröffneten somit eine ganz neue
mathematische Welt von komplexen Zahlen.

Wenn sie dies tun können,

könnten sie dann nicht auch
eine neue Regel festlegen,

die besagt: Das Symbol für unendlich
bedeutet eins durch Null,

und dann sehen wir weiter.

Versuchen wir es.

Stellen wir uns vor, wir wissen
nichts über Unendlichkeit.

Laut Definition des Kehrwerts

muss 0 mal unendlich gleich 1 ergeben.

Das heißt 0 x unendlich
plus 0 x unendlich ergibt 2.

Gemäß der Distributivgesetze

kann die linke Seite der Gleichung

auf 0 + 0 x unendlich gekürzt werden.

Da 0 +0 auf jeden Fall 0 ergibt,

können wir das zu
0 x unendlich zusammenfassen.

Leider hatten wir schon gesagt,
dass dies gleich 1 ist,

und auf der anderen Seite
der Gleichung steht noch die 2.

Also ist 1 gleich 2.

Seltsamerweise ist das
nicht unbedingt falsch;

nur in unserer normalen Welt
der Mathematik stimmt es nicht.

Es gibt noch eine Möglichkeit,
dass dies mathematisch stimmt,

wenn nämlich 1, 2 und alle
anderen Zahlen gleich 0 sind.

Aber da unendlich gleich 0 ist,

nützt es den Mathematikern
und auch keinem anderen was.

Da gibt es noch die Riemann-Sphäre,

mit der man mit einer anderen
Methode durch Null teilen kann,

aber das heben wir uns
für einen anderen Tag auf.

Auf normale Weise durch Null zu teilen,

funktioniert also nicht so gut.

Aber dies sollte uns nicht davon
abhalten, gefährlich zu leben

und mit mathematischen Regeln
zu experimentieren und sie zu brechen,

um herauszufinden, ob wir etwas Lustiges
erfinden, neue Welten erforschen können.