Descartes ve Kartezyen Koordinatlar

Cebir ile geometri arasında köprü kurmak. Doğrusal denklemleri doğrusal yapan nedir?

Buradaki Rene Descartes'ın resmi.

Hem matematik hem de felsefenin en büyük üstatlarından biridir.

Büyük filozofların aynı zamanda büyük matematikçi ve büyük matematikçilerin de aynı zamanda büyük filozof olması gözlemlenen bir trenddir.

Galile'yle yaklaşık aynı zamanda yaşamıştır, 32 yaş daha gençtir.

Ama Galile'den az sonra vefat etmiştir.

Genç yaşta vefat etmiştir.

Galile 70'li yaşlarındaydı, Descartes 54 yaşında öldü.

Popüler kültürde en çok şu, çok felsefi, sözleriyle tanınır.

"Düşünüyorum, öyleyse varım."

Cebirle ilgisi olmasa da güzel bir söz olduğu için, şu sözünü de videoya eklemek istedim.

Herhalde şuradaki en az bilinen sözüdür

Bu sözü beğenmemin nedeni, bu felsefe ve matematiğin temel taşı olan kişilerin de aslında sadece birer insan olduğunu göstermesidir.

Descartes şöyle demiş. "Denemeye devam edersiniz.

Yapılabilecek her türlü hatayı yaptım. Ama denemeye devam ettim."

Bunun çok iyi bir hayat tavsiyesi olduğunu düşünüyorum.

Felsefe ve matematikte çok önemli şeyler başardı.

Ama burada, cebirin temellerini atarken Descartes'tan söz etmemin sebebi, cebirle geometri arasında çok önemli bir bağlantıyı kuran kişi olmasıdır.

Sol tarafta cebir dünyası var.

Bu dünyayı biraz inceledik.

Simgeler içeren denklemler var ve bu simgeler değer alabiliyor.

Yani x ve y'nin bağıntısını belirten y eşittir 2 x eksi 1 gibi denklemler.

Burada bir tablo oluşturabiliriz.

x için değerler seçeriz ve y'nin alabileceği değerleri buluruz.

x için rastgele değerler seçerim ve y'nin değerlerini bulurum.

Kolay değerler seçeceğim ki, işlemler zorlaşmasın.

Örneğin x eksi 2 ise, y 2 çarpı eksi 2 eksi 1 olacak.

2 çarpı eksi 2 eksi 1 eşittir eksi 4 eksi 1, yani eksi 5.

x eksi 1 ise, y eşittir 2 çarpı eksi 1 eksi 1, eksi 2 eksi 1, yani eksi 3.

Eğer x 0 ise, y eşittir 2 çarpı 0 eksi 1.

2 çarpı 0 eşittir 0, eksi 1 eşittir eksi 1.

Birkaç tane daha bulayım.

x 1 ise, buraya herhangi bir değer koyabilirim.

x eksi karekök 2 olursa, y'nin ne olacağını sorabilirim.

Veya x eksi 5 bölü 2 olursa veya artı 6 bölü 7 olursa.

Ama bu sayıları seçtim ki, y'yi bulurken yapacağımız işlemler nispeten kolay olsun.

x 1 olduğunda, y eşittir 2 çarpı 1 eksi 1.

2 çarpı 1 eşittir 2, eksi 1 eşittir 1.

Bir tane daha bulalım.

x 2 ise, y eşittir 2 çarpı 2 eksi 1.

4 eksi 1 eşittir 3.

Evet, bu bağıntıya örnekler vermiş oldum.

Bunun, y değişkeni ve x değişkeni arasında genel bir ilişki tanımladığını anladım ve bu ilişkiyi daha somut bir şekilde göstermiş oldum.

x bu değişkenlerden biri olduğuna göre, bu x değerlerinden her biri için y değerinin ne olduğunu sordum,

Descartes ise bunun görsellenebileceğini fark etmiştir.

Noktalar olarak görsellenebileceğini ve bu gösterimin bu bağıntının anlaşılmasında faydalı olacağını fark etmiştir.

Yani yaptığı şey, soyut sembolik cebir dünyası ile şekiller, boyutlar ve açıları içeren geometri arasında köprü kurmaktır.

Burada geometri dünyası var.

Tarih boyunca adı hatırlanamayacak kadar çok insan geometriye katkıda bulunmuştur.

Ama Descartes öncesi geometri, sekizinci, dokuzuncu, onuncu sınıfta okuduğunuz Öklid geometrisi idi.

Öklid geometrisinde üçgenleri, açılarını,çemberlerin arasındaki ilişkileri öğrenirsiniz.

Yarıçaplar, çember içine çizilmiş üçgenler vesaire görürsünüz.

Bunları geometri videolarında inceleyeceğiz.

Ama Descartes şunu söylemiştir. "Öklid'in üçgenler ve çemberler için yaptığı gibi ben de bu bağıntıları görsel olarak gösterebilirim"

İki boyutlu bir düzlemi gözümüzde canlandıralım.

Örneğin, bir kağıt parçası iki boyutlu düzlemin bir bölümüdür.

İki boyut diyoruz, çünkü iki yönde hareket edebilirsiniz.

Yukarı aşağı yönü, bu yönlerden biri.

Bunu maviyle çiziyorum.

Yukarı aşağı yönü var, bir de sol sağ yönü.

Bu nedenle iki boyutlu düzlem diyoruz.

Üç boyuta çıktığımızda, bir de dışarı içeri boyutu eklenir.

Ekranda iki boyutu göstermek çok kolaydır, çünkü ekran iki boyutludur.

Ve Descartes şöyle der. "Burada iki değişken var ve aralarında bu bağıntı bulunuyor. O zaman değişkenlerin her birini buradaki bir boyutla ilişkilendirebilirim."

Kurala göre, y değişkenini, bağımlı değişkeni -bunu x'in değerine bağımlı yaptık- düşey eksene koyalım.

Bağımsız değişkeni de, rastgele değerler verdiğim değişkeni, yatay eksene koyalım.

Aslında cebirde kullandığımız x, y ve z değişkenlerini ortaya koyan da Descartes'tır.

Ve şöyle devam eder. "Bu boyutları sayılarla ifade edebiliriz."

x yönünde bunu eksi 3 yapalım, şunu eksi 2 yapalım.

Bu, eksi 1.

Bu, 0.

x yönünü, sol sağ yönünü sayılandırıyorum.

Bu, artı 1.

Burası, artı 2.

Bu da artı 3.

Aynı şeyi y yönünde de yapabiliriz.

Burası eksi 5, eksi 4, eksi 3.

Bunu temiz yazabilirim.

Sileyim ve uzatayım.

Eksi 5'e kadar gitsin.

Aşağı kadar gitsin ki numaralandıralım.

Bu, 1. Bu, 2. Bu da 3.

Burası da eksi 1, eksi 2.

Bunlar geleneksel olarak süregelen kurallar.

Diğer şekilde de tanımlanabilirdi.

x'i buraya y'yi şuraya koyabilirdik.

Bunu pozitif yön, şunu negatif yön yapabilirdik.

Ama Descartes ile birlikte bu şekilde gösterilmeye başlanmış.

Eksi 2, eksi 3, eksi 4, eksi 5.

Ve Descartes şöyle demiş. "Bu ikili değerlerin her birini iki boyutta bir nokta ile gösterebilirim."

Buradaki x değerini alırım, bu eksi 2, yani sol sağ yönünde burada olur, derim.

Negatif olduğu için sola gidiyorum.

Ve bu, düşey yönde eksi 5 ile ilişkilendirilmiş.

y değeri eksi 5'tir.

Yani 2 sola 5 aşağı gidersem bu noktaya ulaşırım.

"Buna göre, bu iki değeri, eksi 2 ve eksi 5'i şu noktayla ilişkilendirilmiş" der.

Bu iki boyutlu düzlemde bu noktanın koordinatları eksi 2, eksi 5'tir derim.

Bu koordinatlara, Rene Descartes'ın adından esinlenilerek, kartezyen koordinatlar denir. Çünkü bu koordinatları o bulmuştur.

Bu bağıntıları koordinat düzleminde noktalarla bağdaştıran odur.

Yeni bir örnek yapalım.

Başka bir ikili.

x eşittir eksi 1 ise, y eşittir eksi 3.

Yani x eksi 1 ise, y eksi 3.

Bu da buradaki noktadır.

Kurala göre, koordinatları sıralarken, önce x koordinatı, sonra y koordinatı yazılır.

Bu şekilde yazılması süregelmiş.

Eksi 1, eksi 3 şuradaki nokta olur.

Ve sonra x'in 0, y'nin 1 olduğu nokta.

x'in 0 olması, sağa veya sola gitmiyorum demektir.

y eşittir eksi 1 de 1 aşağı gidiyorum demektir.

Yani bu nokta, 0, eksi 1, şuradaki nokta.

Bu şekilde devam edebilirim.

x 1 ise, y 1.

x 2 olduğunda, y 3.

Aynı morla göstereyim.

x 2 olduğunda, y 3.

2, 3 ve şu turuncu da 1, 1 idi.

Ortaya çıkan sonuç çok güzel.

Olası x'lerden örnekler seçtim.

Ama Descartes şunu da gördü.

Bu x'lerin yanında bunların aralarındaki x'leri de alırsak, bir doğru çizmiş oluruz.

Tüm x değerlerini aldığımızda bir doğru çizmiş oluruz.

Şöyle bir doğru.

Herhangi bir x değerini seçip bu x'in y değerini bulduğunda, bu ikili bu doğru üzerinde bir nokta verir.

Veya şöyle de düşünebiliriz.

Bu doğru üzerindeki her nokta şu denklemin bir çözümüdür.

Yani şuradaki nokta, x değeri 1 buçuk, y değeri 2 gibi görünen nokta.

Bunu yazayım.

1,5 , 2.

Bu ikili bu denklemin bir çözümüdür.

x 1,5 olduğunda, 2 çarpı 1,5 eşittir 3, eksi 1 eşittir 2.

Buradaki nokta.

Descartes cebir ile geometri arasındaki bu ayrımı ortadan kaldırmıştır.

Artık bu denklemi sağlayan tüm x y ikililerini görsellemek mümkündür.

Bu köprüyü kuran odur, bu nedenle de bu noktaları belirten koordinatlara kartezyen koordinatlar denir.

İlk olarak bu tip denklemleri inceleyeceğiz.

Cebirde bu denklemlere doğrusal denklemler denir.

Şöyle düşünebilirsiniz. Bu şuna eşit olduğu için, bunun denklem olduğunu anlıyorum.

Ama bunları doğrusal yapan nedir?

Neden doğrusal olduklarını anlamak için Rene Descartes gibi düşünmeniz gerekir.

Çünkü kartezyen koordinatları kullanarak bunu çizerseniz, bir doğru elde edersiniz.

İleride doğru yerine eğri veya daha çılgın şekiller elde ettiğiniz denklemler de göreceksiniz.