Descartes a karteziánske súradnice

Spájanie algebry a geometrie. Odkiaľ majú lineárne rovnice svoj názov.

Tu máme na fotografii Reného Descarta

skvelého mysliteľa

v oblasti matematiky a filozofie.

Myslím, že si všimnete určitý trend,

že skvelí filozofi boli taktiež skvelí matematici

a naopak

Descartes bol skoro súčastníkom Galilea

bol od neho mladší o 32 rokov

a zomrel krátko po jeho smrti.

Tento muž zomrel omnoho mladší.

Galileo mal cez 70,

zatiaľčo Descartes zomrel už v 54 rokoch.

A pravdepodobne najviac je známy

pre tento výrok

veľmi filozofický výrok.

Myslím, teda som.

Ale chcel som uviesť ešte jeden.

A nejak sa neviaže k algebre.

Ale myslím, že je to skutočne pekný citát.

Pravdepodobne jeho najmenej známy.

Tento priamo tu.

Páči sa mi preto, že je veľmi praktický

a vy si uvedomíte, že tieto skvelé mozgy,

tieto piliere filozofie a matematiky

boli koniec-koncov

úplne normálni ľudia.

Descartes povedal: „Snažte sa ďalej!“

„Snažte sa ďalej, …

… urobil som všetky možné chyby …

… ale pokračujem vo svojej snahe.“

Myslím si, že toto je veľmi dobrá rada do života.

Descartes dokázal mnohé

vo filozofii aj matematike,

ale dôvod, prečo ho tu spomínam

keď sme prešli základy algebry,

je, že on je ten kto je

najviac zodpovedný za veľmi silné prepojenie

medzi algebrou a geometriou.

Tu na ľavej strane

máte svet algebry.

Ten sme už trochu prebrali.

Sú to rovnice, ktoré sa skladajú zo symbolov.

A tieto symboly sú podstatné.

Môžu získať rôzne hodnoty,

takže máte niečo ako

y = 2x - 1

toto definuje vzťaj

medzi ľubovoľnou hodnotou x

a ľubovoľným y.

Môžeme si urobiť tabuľku,

vybrať hodnoty x

a uvidíme, aké budú hodnoty y.

Môžem vybrať ľubovoľnú hodnotu x

a potom určiť hodnotu y,

ale ja zvolím pomerne jednoduché hodnoty

tak, aby to nebolo príliš komplikované.

Tak napríklad

pokiaľ je x rovné -2,

potom y bude 2 krát -2 mínus 1

2 krát -2 mínus 1

to je -4 mínus 1

to je -5.

Pokiaľ je x rovné -1,

tak y bude 2 krát -1 mínus 1

to sa rovná

-2 mínus 1, čo je -3

pokiaľ x je rovno 0,

tak y bude 2 krát 0 mínus 1.

2 krát 0 je 0, mínus 1 je len -1.

Urobím pár ďalších.

Pokiaľ sa x rovná 1,

mohol by som tu vybrať ľubovoľnú hodnotu,

mohol by som povedať, čo sa stane,

pokiaľ x je mínus druhá odmocnina z 2,

alebo pokiaľ je x rovná polovici z -5

alebo plus šesť sedmín,

ale ja som si vybral tieto čísla len preto,

že to významne zjednodušuje výpočty.

Keď sa pokúšam určiť koľko bude y,

ale keď je x 1,

y bude 2 krát 1 mínus 1,

2 krát 1 mínus 1 je 1.

Ešte jeden.

Farbou, ktorú som ešte nepoužil.

Skúsme túto fialovú.

Pokiaľ je x 2,

tak y bude

2 krát 2 mínus 1 (x je 2)

takže to je 4 mínus 1, to sa rovná 3.

Dobre.

Len som trochu vyskúšal tento vzťah.

Ale hovoril som si, že toto popisuje všeobecný vzťah.

Medzi premennou y a premennou x.

A potom som to urobil trochu konkrétnejšie.

Dobre, takže,

pokiaľ je x jedna z premenných,

potom aká bude odpovedajúce hodnota y,

pre každú z týchto hodnôt x?

A Descartes si uvedomil,

že je možné to zobraziť.

Môžete zobraziť jednotlivé body.

A to vám môže pomôcť zobraziť

tento vzťah úplne všeobecne.

Takže, čo on v podstate urobil, bolo, že preklenul priepasť

medzi veľmi abstraktnou symbolickou algebrou

a geometriou, ktorá sa zaoberala

tvarmi, veľkosťami a uhlami.

Takže tu máte svet geometrie.

Samozrejme sú ľudia v histórii,

možno mnoho ľudí na ktorých história zabudla

a ktorí možno robili to isté,

ale pred Descartom sa na geometriu pozeralo

ako na euklidovskú geometriu.

A to je v podstate geometria,

ktorú ste preberali na hodinách geometrie

na druhom stupni

základnej školy.

A táto geometria študuje

vzťahy medzi trojuholníkmi a ich uhlami,

vzťahy medzi kružnicami

a máte polomery a trojuholníky

vpísané do kružníc a tak ďalej

viac do hĺbky pôjdeme

v našej sérii o geometrii.

Ale Descartes povedal, „myslím, že to dokážem nakresliť…

rovnako ako keď Euklides skúmal trojuholníky a kružnice.

Prečo nie ja?“

Keď sa pozrieme na list papieru,

pokiaľ si predstavíme dvojrozmernú plochu,

uvidíme list papieru,

ako výrez z dvojrozmernej plochy.

Nazývame ju dvojrozmerná,

pretože má dva smery, ktorými sa môžeme pohybovať.

Hore a dole,

to je jeden smer.

Makreslím to modrou.

Keď sa už pokúšame veci vizualizovať

urobím to farebne.

Takže smer hore a dole,

a potom ešte zľava doprava.

Preto tomu hovoríme dvojrozmerná rovina.

Pokiaľ sa zabývame tromi rozmermi,

máme ešte smer dnu a von.

Na obrazovke sa dobre pracuje s dvomi rozmermi,

pretože obrazovka je dvojrozmerná.

No a Descartes vraví: „Viete…

…máme dve premenné a ich vzájomný vzťah…

…ale prečo nepriradiť každej z týchto premenných…

…jeden z rozmerov tu?“

A dohodnime sa, že premenná y

ktorá je závislou premennou,

hovorili sme, že

závisí na hodnote premennej x.

Dajme ju teda na zvislú os.

A našu nezávislú premennú,

tú, ktorej hodnoty volíme úplne náhodne,

aby sme zistili, čo sa stane s y,

tak tú dajme na vodorovnú os.

A bol to práve Descartes,

ktorý prišiel s konvenciou používať x a y

neskôr v algebre uvidíme ešte z,

ako neznáme premenné s ktorými manipulujeme.

A Descartes hovorí, „Keď sa na to dívame takto…

…keď tie osi očíslujeme“

Povedzme, že v smere x

sem dajme -3

sem -2

toto je -1

sem 0.

Číslujem smer x,

zľava doprava.

Tu je plus 1,

tu je plus 2,

a tu je plus 3.

A to isté môžeme urobiť aj v smere y.

Takže ideme na to, toto by mohlo byť

povedzme -5, -4, -3.

Urobím to o niečo lepšie, než takto.

Trochu to upravím,

toto zmažem, tuto to predĺžim,

takže môžem pokračovať až do -5.

Bez toho, aby to bolo chaotické.

Takže pôjdeme zospodu.

A očíslujeme to.

Tu je 1, tu je 2 a tu 3.

Tu môže byť -1,

-2. Toto všetko je len konvencia,

mohli by sme to značiť aj inak,

mohli by sme sa rozhodnúť dať x sem.

A y sem.

A toto by bol kladný smer.

A tu by sme urobili záporný smer.

Ale toto je proste konvencia, ktorú sme prijali.

Počnúc Descartom.

-2, -3, -4 a -5.

A Descartes vraví: „Môžem čokoľvek priradiť“.

Každý z týchto párov hodnôt môžem priradiť

k bodu v dvoch rozmeroch.

Môžem vziať súradnicu x, hodnotu x,

tu a povedať, okej, to je -2.

To bude presne tu v pravo-ľavom smere.

Idem doľava, lebo je to záporné číslo.

A toto je priradené k -5 vo zvislom smere.

Takže povieme, že hodnota y je -5.

Takže keď idem o 2 doľava a o 5 dole,

dostanem sa tu do tohoto bodu.

Descartes vraví: „Tieto dve hodnoty -2 a -5,…

…môžem priradiť tomuto bodu,…

…v tejto rovine tu v tejto dvojrozmernej ploche.“

Takže, tento bod má súradnice,

ktoré mi určujú kde ten bod nájdem (-2; -5)

Inak, týmto súradniciam hovoríme ‚Karteziánske‘.

Pomenované po Reném Descartovi,

ktorý ich vymyslel.

On totiž priradil tieto vzťahy

k bodom v rovine súradníc

a na to hovorí: „OK, poďme na ďalší.“

Tu je ďalší vzťah.

Keď x sa rovná -1, y = -3

takže x je -1, y je -3,

to je bod tu na tomto mieste,

a ďalšia konvencia je, že,

keď zapisujeme súradnice,

najprv napíšeme súradnicu x a potom súradnicu y.

Tak sa proste ľudia dohodli.

[-1; -3] to bude bod tu.

A potom máte bod keď x je 0 a y je -1.

Keď x je 0 tu,

to znamená ani vľavo ani vpravo,

y je -1, to znamená o 1 dole,

takže to je bod priamo tu. [0; -1]

Tu.

A takto by som mohol pokračovať.

Keď x je 1, y je 1.

Keď x je 2, y je 3.

Urobím to rovnakou farbou.

Keď x je 2, y je 3.

2, 3 a potom tento vpravo v oranžovej farbe je [1; 1].

Toto samo o sebe je pekné,

v zásade som len vybral pár hodnôt x.

Ale Descartes si uvedomil,

že môžete zaznačiť nielen tieto hodnoty x,

ale keď pokračujete s ďalšími hodnotami x,

medzi tými, čo už máte,

nakoniec narysujete čiaru.

Takže pokiaľ to urobíte so všetkými možnými x,

dostanete priamku.

Ktorá vyzerá nejak takto.

A ľubovoľné x

a jemu odpovedajúce y reprezentuje jeden bod na tejto priamke.

Iný spôsob ako to chápať je,

že ľubovoľný bod na tejto priamke,

je jedno riešenie tejto rovnice.

Takže keď vezmete tento bod tu.

To vyzerá ako, ze x je 1 a pol,

a y je 2. Takže to zapíšem.

1,5 a 2,

to je riešenie tejto rovnice.

Keď x je 1,5, 2 krát 1,5 je 3 mínus 1 je 2.

To je tu.

Takže zrazu som dokázal vybudovať most.

Alebo vzťah medzi algebrou a geometriou.

Teraz môžeme zobraziť všetky dvojice x a y,

ktoré spĺňajú túto rovnicu.

Takže Descartes je zodpovedný za vybudovanie tohoto mostu,

a preto sa súradnice,

ktoré používame k určeniu týchto bodov nazývajú ‚karteziánske‘.

A ako uvidíme, prvý princíp rovníc,

ktorý budeme skúmať v tejto forme tu

a v tradičných osnovách algebry

sa nazýva lineárna rovnica.

Lineárna rovnica.

Mohli bys te povedať: „viete, toto je rovnica…

…vidíme, že toto sa rovná tomu…

…ale, čo je na nich lineárneho?…

…Čo majú spoločného s líniou, alebo priamkou?“

Aby sme si uvedomili, prečo sú lineárne,

musíme urobiť rovnaký skok ako René Descartes.

Pretože pokiaľ by sme toto narysovali

pomocou karteziánskych súradnic

v euklidovskej rovine, dostaneme priamku.

A v budúcnosti uvidíte,

že existujú ďalšie typy rovníc, kde nedostanete priamku,

ale niečo bláznivejšie a zábavnejšie.