Descartes e as Coordenadas Cartesianas

Unindo a álgebra e a geometria. O que faz as equações lineares tão lineares.

Isso bem aqui é uma pintura de René Descarte

Mais uma vez uma das grandes mentes,

em ambas as áreas: matemática e filosofia.

E eu acho que você pode ver uma tendência de que

os grandes filósofos foram também grandes matemáticos

e vice-versa

e ele era, de certa forma, uma versão contemporânea de Galileo

ele era 32 anos mais jovem

embora ele tenha falecido um pouco depois que Galileo.

Esse cara morreu muito jovem,

Galileo estava bem nos seus setenta anos

e Descartes morre com apenas 54 anos de idade.

E ele é provavelmente mais reconhecido na cultura popular

pela sua frase aqui.

uma frase bem filosófica.

"Penso, logo existo"

mas eu também quis colocar,

embora não tenha relação direta com a algebra,

o que eu acho que é uma frase bem interessante.

Provavelmente sua frase menos conhecida.

Essa daqui.

E eu gosto dela porque ela é muito prática

e te faz perceber que esses grandes gênios,

esses pilares da filosofia e da matemática,

no final do dia

eram apenas humanos.

e ele disse:

Você apenas continua se esforçando.

Eu fiz todo erro que pode ser feito.

Mas eu continuei me esforçando."

Que eu acho que é um bom conselho de vida.

Ele fez várias coisas

na filosofia e na matemática

mas a razão para estar incluindo ele

enquanto entendemos o básico da algebra

é que ele é um individuo

responsável por uma forte conexão

entre a algebra e a geometria.

Então na esquerda aqui

você tem a palavra "algebra"

Nos já discutimos isso um pouco

Você tem as equações que lidam com símbolos

e esses símbolos são essencialmente

variáveis que podem obter valores

então você tem algo como

y = 2x - 1

e isso da as nós uma relação

entre seja lá o que x for

e seja lá o que y será.

E nós podemos até criar uma tabela aqui

e pegar os valores para x

e conferir quais valores y teria.

E eu posso pegar valores randômicos para x

e depois descobrir o valor de y.

mas eu vou pegar valores próximos e simples

para que a matemática

então por exemplo,

se x é igual a -2

logo y vai ser 2 x -2 -1

2 x -2 -1

que fica -4 -1

que resulta em -5

se x é -1

então y vai ser 2 x -1 -1

que fica igual a

isso é -2 -1 que é -3

se x = 0

então y vai ser

2 x 0 -1 é apenas -1

eu vou fazer mais alguns

se x é igual a 1

e eu poderia ter pego qualquer valor aqui

eu poderia dizer

é negativo da raiz quadrada de 2

ou o que acontece se x é -5 partes

ou positivo seis sétimos

mas eu só estou pegando esses números

porque a matemática fica bem mais fácil

quando eu for descobrir que valor y ganha.

Mas quando x é igual a 1

y vai ser

2 x 1 é 2 - 1 que é 1

e eu vou fazer mais um.

Em uma cor que eu ainda não usei

vamos ver isso roxo

se x é igual a 2

então y vai ser

2(2) - 1 que é 2 - 1

então isso é 4 - 1 igual a 3

isso basta,

eu só dei alguns exemplos dessa relação.

Mas eu disse que isso descreve uma relação geral

entre a variável y e a variável x

e então eu só fiz a ideia um pouco mais concreta

então

se X é um desses valores

para cada um desses valores de x,

qual seria o valor correspondente de y?

e o que Descartes concluiu é

que você pode visualizar essa relação

o que você pode visualizar são pontos individuais

mas que podem ajudá-lo no geral

para visualizar essa relação

então o que ele essencialmente fez foi

unir os mundos dessa tão abstrata álgebra simbólica

com formas, tamanhos e ângulos

então bem aqui você tem o mundo da geometria

e obviamente há muitas pessoas na história

talvez muitas pessoas das quais a história pode ter esquecido

que devem ter se aprofundado nisso

Mas antes de Descartes, geralmente é visto

que a geometria é euclidiana

e isso é essencialmente a geometria

que você estuda em sala de aula

no 1º, 2º, 3º ano do ensino médio

em um currículo tradicional de uma escola

e esse é objeto de estudo da geometria

a relação entre triângulos e seus ângulos

e a relação entre circunferências

e você tem o raio, e então você tem triângulos

inscritos na circunferência e todo o resto

e podemos ir mais afundo

na lista de conteúdos da geometria

Mas Descartes disse, "bom, eu posso representar isso visualmente

do mesmo modo que Euclides estava representando estes triângulo e cícrculos

ele disse 'Por quê não?"

se nós vermos um pedaço de papel

se nós pensarmos sobre um plano bidimensional

você pode ver um pedaço de papel

como uma seção de um plano bidimensional

nós chamamos bidimensional

porque há duas direções onde você pode seguir

há a direção vertical,

que é uma direção

deixe-me desenha-la, vou desenhar em azul

porque nós estamos tentando visualizar coisas

então eu vou fazer do azul a cor da geometria

então você tem a direção vertical

e você tem a direção horizonal

é por isso que se chama plano bidimensional

se estivéssemos lidando com três dimensões

haveria a dimensão da profundidade

é muito fácil fazer duas dimensões na tela

porque a própria tela é bidimensional

e Descartes disse "bem, sabe-se

que há duas variáveis aqui e elas tem essa relação

mas por que não associar cada uma dessas variáveis

com uma dessas dimensões bem aqui?"

e por convenção vamos fazer a variável y

que é realmente a variável dependente

o modo que fazemos isso

depende de onde está o x

então colocaremos no eixo vertical

e vamos colocar nossa variável independente

aquela em que antes adotei valores aleatórios para ela

para ver o que y se tornará

vamos colocar no eixo horizontal

e isso na verdade foi Descartes

quem começou com a convenção do uso de x's e y's