Descartes and Cartesian Coordinates

Bridging algebra and geometry. What makes linear equations so linear.

Tutaj jest portret Kartezjusza

jednego z wielkich umysłów,

zarówno w matematyce i filozofii.

I myślę, że będziesz wiedzieć trochę mało o zależności,

że wielcy filozofowie to także wielcy matematycy

i odwrotnie.

Był nieco współcześniejszy niż Galileusz,

było o 32 lata młodszy od niego,

chociaż zmarł wkrótce po Galileuszu.

Ten mężczyzna zmarł w młodym wieku

Galileusz był w dobrej kondycji do 70. roku życia

Kartezjusz zmarł w wieku zaledwie 54 lat.

Jest prawdopodobnie obecnie znany

z cytowanego prawa,

bardzo filozoficznego prawa.

"Myślę, więc jestem"

Chciałem też dorzucić

mimo, że nie jest to związane z algebrą,

ale i tak uważam, że był to naprawdę fajny cytat.

Prawdopodobnie jego najbardziej znany cytat.

Ten cytat poniżej

podoba mi się to po prostu dlatego, że jest bardzo praktyczny

a to sprawia, że zdajesz sobie sprawę, że te wielkie umysły

te filary filozofii i matematyki

które na koniec dnia,

byli po prostu ludźmi.

i on powiedział "Nie poddawaj się.

Nie poddawaj się.

Zrobiłem każdy możliwy błąd.

A ja dalej napieram.

Myślę, że to jest bardzo dobra rada życiowa.

Tak wiele zrobił

dla filozofii i matematyki.

Ale tutaj mamy zająć się tym,

jak zbudowane są podstawy algebry.

To jest osoba,

odpowiedzialna za trwały związek

pomiędzy algebrą a geometrią.

Tak więc tutaj po lewej

mamy świat algebry.

Podystkutujemy trochę o nim.

Mamy tutaj równania z symbolami

i te symbole są esencją,

mogą przyj mować różne wartości.

Dzięki temu mamy coś takiego jak

y=2x-1.

Daje nam to związek

pomiędzy dowolnym x

oraz dowolnym y.

Możemy zrobić tutaj tabelę.

wybrać wartości dla x

i zobaczyć, jaką wartość przyjmie y.

Można wybrać losowe wartości dla x

i dowiedzieć się, czym jest y,

ale wybiorę stosunkowo proste wartości.

Matematyka nie jest aż tak skomplikowana.

Na przykład,

jeśli x to -2

wtedy y równa się 2*(-2) - 1

2 razy -2 odjąc 1

równa się -4 -1

co daje -5.

Jeśli x równa się -1

wtedy y równa się 2*(-1) -1

które jest równe

-2-1, a to jest równe -3.

Jeśli x równa się 0,

wtedy y równa się 2*0 -1

2 razy 0 równa się 0, 0-1=-1,

Zrobię jeszcze kilka przykładów.

Jeśli x równa się 1,

mimo, że nie wybrałem żadnych wartości tutaj

mogę przewidzieć, co się stanie.

Jeśli x ma dwa ujemne pierwiastki kwadratowe

lub jeśli x równa się -5/2

lub 6/7.

ale wybierajac te liczby

ponieważ to sprawia, że matematyka staje się dużo łatwiejsza

kiedy próbujemy się dowiedzieć jaki będzie y

ale gdy x wynosi 1

y będzie 2(1)-1

2x 1 jest 2-1 równa się

a ja zrobie jeszcze jeden przykład

W kolorze Nie używałam jeszcze

zobaczymy ten fiolet

jeżeli x jest 2

to y będzie

2(2)-1 (teraz z jest 2)

i tak 4-1 jest równe 3

więc w porządku

Takiego rodzaju są te relacje

Jak powiedziałem dobrze to opisuje ogólne relacje

między zmienną y oraz zmienną x

a potem to stanie się bardziej konkretne.

Powiedziałem ok, więc

jeżeli x jest jedną z tych zmiennych

to dla każdej wartości x

czy będzie odpowiednia wartość y?

Kartrezjusz to zrealizował

co można sobie wyobrazić

i zobaczyć na poszczególnych punktach.

Ale to może również pomóc w ogólnej

wizualizacji tego związku.

W zasadzie to nie jest

połączenie symboli z bardzo abstarkcyjnym światem algebry.

i geometrii, w której chodziło

o kształty i rozmiar kątów.

Więc to jest również świat geometrii.

I oczywiście są ludzie w historii,

może wielu już zapomnianych ludzi w historii,

którzy zajmowali się tym.

Zanim Kartezjusz się tym zajął,

mieliśmy tylko geometrię Euklidesową.

i to jest w zasadzie geometria,

którą zajmujemy się

w 8., 9, lub 10. klasie

w tradycyjnym programie nauczania w szkole średniej.

I to jest geometria, której uczymy się na studiach:

związki między trójkątami i okręgami,

związki między elementami okręgu ( środek i promień)

i jeżeli mamy promień, mozemy skonstruować trójkąt

wpisany w okrąg i cała reszta

zagłębiając się w to.

Geometria jest odtwarzaniem.

Ale Kartezjusz powiedział: " Dobrze, że mogę pokazać to

samo, co Eulides mówił o trójkątch i kołach.

Powiedział: "Czemu nie?"

Jeśli widzisz kartkę papieru,

myślisz o dwuwymiarowej płaszczyznie

można zobaczyć kawałek papieru

jako kawałek płaszyczny dwuwymiarowej.

Nazywamy to dwoma wymiarami,

ponieważ mamy dwa rożne kierunki.

Góra- dół

to jeden kierunek.

to narysuję to w niebieskim kolorze

ponieważ staramy się to sobie wyobrazić.

Uważam, że w geomertii ważne są kolory.

Mamy więc jedną oś układu współrzędnych ( oś rzędnych)

oraz mamy kierunek lewo-prawo ( druga oś układu współrzędnych - oś odciętych)

Nazywamy to dwuwymiarową płaszczyną.

Mamy do czynienia z przestrzenią trójwymiarową codziennie,

bo to jest nasz wymiar.

Bardzo łatwo jest zobrazować przestrzeń dwuwyniarową na ekranie,

ponieważ ekran jest dwuwymiarowy.

On powiedział: Wiesz,

tutaj mamy dwie zmienne i to obrazuje relacje między nimi.

Ale dlaczego nie można utożsamiać

każdej zmiennej z jej wymiarem?

W tej konwencji oznaczmy zmienną y tutaj.

Jest ona zależna od zmiennej

To, co teraz zrobiliśmy,

będzie zależne od x.

Więc na osi pionowej

Podstawmy naszą niezależną zmienną

pod jedną losowo wybraną dla niej wartość

aby zobaczyć, co się stanie z zmiennąy

i zaznaczmy to na osi rzędnych.

I właśnie Kartezjusz

pokazał konwencję używania x i y

i zobaczymy później w algebrze, jak szeroko

na niezależnych zmiennych możemy możemy manipulować ( zazanaczać różne punkty w układzie współrzędnych).

Ale Kartezjusz powiedział: " Jeżeli myślimy o tym w ten sposób,

to liczby sa wymiarami".

więc jeżeli mówimy o osi x

to w tym miejscu mamy -3

tutaj -2

tu -1

tutaj 0

numeruję oś x w tym kierunku

od lewej storny osi

tutaj mamy (+) 1

tutaj (+) 2

i tutaj (+) 3

To samo możemy zrobić na osi y

więc zobaczmy, będziemy mieli

kolejno -5, -4, -3.

Pozwól, zrobię to w bardziej estetyczny sposób

wyczyszczę tochę tablicę,

usunę to i przedłużę trochę linię w dół

i zaznaczymy wszystkie punkty do -5,

żeby nie wyglądało to zbyt chaotycznie.

Więc idziemy w dół odtąd

Możemy to ponumerować.

Tutaj jest 1, tu 2, tutaj 3,

i tutaj będzie -1,

-2 i to wszystko jest konwencyjne,

ponieważ możemy je oznaczyć również w inny sposób.

X możemy oznaczyć tutaj,

a y tutaj,

i liczby dodatniue zaznaczyć tutaj

i zmienić kierunek na ujemny.

Jednak ludzie przyjęli tę konwencję,

ktorą zapoczątkował Kartezjusz.

-2, -3, -4 i -5

Powiedział: "Skoro nic nie wychodzi,

mogę skojarzyć kazdą parę tych wartości

z punktem w przestrzeni dwuwymiarowej.

Mogę wziąć x jako punkt główny, odczytać jego wartość

z prawej strony. Weźmy punkt -2

i bedzie on na osi odciętych( osi x)

i idę w lewo, ponieważ jest on ujemny".

i to wiąże się z -5 na osi pionowej ( rzędnych).

Tak mówimy o wartości -5.

Więc jeśli pójdę o 2 w lewo i 5 w dół,

W ten sposób dostanę ten punkt.

Powiedział " Te dwie wartości -2 i -5

to dostanę ten punkt.

Punkt ten będzie znajdował się na płaszczyźnie dwuwymiarowej.

Czyli ten punkt ma współrzędne,

które znajdę w punkcie (-2,-5)

Te współrzędne nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi.

od nazwiska Kartezjusza,

ponieważ on był człowiekiem, który pokazał je ludzkości.

On zespolił tą relację

między punktem a jego współrzęnymi na płaszczyźnie.

I powiedział: "Dobrze, zróbmy inny przykład".

Weżmy inną relację,

na przykład x jest równe -1, y= -3

więc x to -2, y to -3

i to daje nam punkt w tym miejscu.

i ta sama konwencja jest w tym przypadku.

"Kiedy tworzymy tabelę współrzędnych,

wymieniasz współrzędną x wtedy wpółrzędna y

i to tylko to, co ludzie postanowili zrobić

-1, -3 to byłyby wpółrzędne punktu

i wtedy masz punkt, gdy x wynosi 0, y = -1

kiedy x jest 0 to jest w środku układu współrzędnych

co oznacza, że nie zaznaczasz ani w lewo ani w prawo

y jest -1 co oznacza, że zaznaczasz 1 w dół

więc ten punkt ma współrzędne (0,-1)

właśnie tam

i kontynuuj to.

kiedy x jest 1,y jest 1

kiedy x jest 2, y wynosi 3

I zaznaczaj je tym samym purpurowym kolorem

kiedy x jest 2, y wynosi 3

2,3 i następnie zazanacz pomarańczowym kolorem

i to jest to samo

Ja wybrałem możliwy x dla przykładu

ale zrozumiałem,że

nie jest to ten sam możliwy x

ale jeżeli wybierzesz przykładowego x

jeżeli należy on do przedziłu

to daje ci możliwość narysowania prostej

więc jeśli wybierzesz sobie możliwy x

będziesz mógł go zaznaczyć na prostej

i to wygląda mniej więcej tak...

i każda relacja... każda relacja jeżeli wybierzesz x

i znajdziesz y i to będzie punkt na twojej prostej,

i nie można myśleć o tym inaczej

każdy punkt na tej prostej reprezentowany

jest przez punkt co stanowi rozwiązanie równania

więc jeśli weźmiesz punkt z tej prostej to będzie to rozwiązanie równaia

co wygląda tak jak x=1.5

y=2. więc zapiszmy to

1.5,2

co stanowi rozwiązanie tego równania

kiedy x=1.5.2 x 1.5 jest 3-1=2

co zaznaczamy.

co stanowi pomost

pomiędzy algebrą a geometrią

co ułatwia zobrazowanie tego dla pary liczb x,y

w tym równaniu

co ułatwia zrozumienie

czym są współrzędne

dlatego nazywamy je współrzędnymi kartezjańskimi

pokonaliśmy pierwszy stopień trudności

będziemy uczyć się rozwiązywać równania

oraz tradycyjnej algebry

nazywanej równaniami liniowymi...

równaniami liniowymi.

I będziemy mogli powiedzieć, że wiemy czym są równania

i zobaczymy czym są równania

czym zajmuje się liniowa algebra?

jak wyglądają krzywe?

i zrozumiemy je

pokonamy te trudności razem z Kartezjuszem

ponieważ będziemy zaznaczać

wsółrzędne kartezjańskie

w Euklidesowej geometrii. My będziemy umieli narysować linie

I w przyszłości zobaczymy

różne typy krzywych których nie będziemy mogli nazwać prostą

i dostaniemy krzywe różnych kształtów