Descartes és a kartéziánus koordináták

Algebra és geometria összekapcsolása. Lineáris egyenletek.

Ez itt egy kép René Descartes-ról,

még egyszer, egyike a legnagyobb gondolkodóknak,

mind matematikában és filozófiában

És úgy gondolom, látni fogunk egy tendenciát, hogy

a nagy filozófusok egyben nagy matematikusok is voltak,

és oda-vissza.

És ő Galileo kortársa volt,

habár, 32 évvel fiatalabb volt nála.

Nem sokkal Galileo halála után ő is meghalt.

Ez a fickó korán meghalt,

hogy Galileo már jócskán a 70-es éveiben volt.

Descartes 54 éves korában halt meg.

És minden bizonnyal az alábbi idézet miatt ő

a leghíresebb a pop kultúrában,

nagyon filozófikus idézet.

"Gondolkodom, tehát vagyok."

De meg akartam osztani,

és ez nem is kapcsolódik az algebrához,

de szerintem ez egy elég jó idézet.

A legkevésbé ismert idézet tőle,

ez itt:

és én azért szeretem ezt, mert nagyon gyakorlatias

és rádöbbent arra, hogy ezek a nagy gondolkodók

a filozófia és a matematika pillérei

a nap végén,

csak emberek voltak.

És ő azt mondta: "Te csak toljad tovább."

"Te csak toljad tovább.

Elkövettem minden hibát, amit tudtam.

Deén csak toltam tovább."

Azt gondolom, hogy ez egy nagyon nagyon jó tanács az életben.

Sok mindent csinált

filozófiában és matematikában,

de az ok, amiért beszélek róla,

ahogyan építjük az algebra alapjait,

az az, hogy ő az egyedülálló,

egy nagyon erős kapocs

az algebra és a geometria között.

Szóval itt a bal oldalon

van az algebra világa.

Beszéltünk már róla egy kicsit.

Egyenleteink vannak, amelyek szimbólumokat tartalmaznak,

és ezek a szimbólumok lényegében

értékeket képviselhetnek,

szóval lehet nekünk olyan, hogy

y egyenlő 2x mínusz 1-gyel,

ez megadja nekünk a kapcsolatot

aközött, ami az x lehet és

ami az y.

És itt fel is állíthatunk egy asztalt.

És kiválaszthatunk értékeket az x helyére.

És megnézhetjük, hogy milyen értékei lesznek az y-nak.

Véletlenszerűen kiválaszthatok értékeket az x-nek,

aztán kiszámolhatom, mi lesz az y.

De én viszonylag egyszerű értékeket fogok kiválasztani,

így nem lesz olyan bonyolult a számítás.

Tehát például,

ha x egyenlő mínusz 2-vel,

akkor az y egyenlő lesz 2 x -2 -1-gyel,

2 szorozva mínusz 2-vel, mínusz 1,

ami -4 mínusz 1,

ami mínusz 5.

Ha x egyenlő mínusz 1-gyel,

akkor az y 2 szorozva mínusz 1 mínusz 1 lesz.

Ami egyenlő

ez mínusz 2 mínusz 1 az mínusz 3,

ha x egyenlő 0-val,

akkor y 2 szorozva 0 mínusz 1 lesz.

2 szorozva 0-val az 0, mínusz 1, az csak mínusz 1.

Csinálok még párat.

Ha x egyenlő 1-gyel,

és bármilyen értéket választhattam volna ide,

mondhattam volna, hogy mi történik, ha

x egyenlő mínusz négyzetgyök 2-vel,

vagy mi történik, ha x egyenlő mínusz 5 ketteddel,

vagy pozitív hat heteddel.

De próbálok ilyen számokat választani,

mert ez megkönnyíti a számítást,

amikor azt számoljuk ki, mennyi lesz az y.

De ha x az 1,

akkor az y 2 szorozva 1-gyel, mínusz 1 lesz,

2 szorozva 1-gyel az 2, mínusz 1 az 1.

Még csinálok egyet.

Olyan színnel, amilyet még nem használtam.

Nézzük a lilát.

Ha x egyenlő 2-vel,

akkor y

2 szorozva 2-vel, mínusz 1 (most az x egyenlő 2-vel),

szóval az 4 mínusz 1, ami egyenlő 3-mal.

szóval ennyi elég is lesz.

Csak meg akartam mutatni a kapcsolatot.

De azt mondtam, hogy ez leírja az általános kapcsolatot

az y és az x változó között,

és aztán ezt egy konkrétabbá tettem.

Azt mondtam, oké akkor,

ha x egyike ezeknek a változóknak.

Ha ezek mindegyike az x értéke,

akkor mi lenne az ehhez tartozó y érték?

És amire Descartes rájött, az az, hogy

ezt el tudjuk képzelni.

Amit el tudunk képzelni, azok az egyes pontok.

De ez általánosságban is segíthet

elképzelni ezt a kapcsolatot.

Amit lényegében ő csinált, az az,

hogy hidat emelt, ami ehhez a nagyon absztrakt, szimbolikus algebrahoz vezet.

És ez és a geometria, ami

alakzatokból, méretekből és szögekből áll.

Tehát itt van a geometria világa.

És nyilvánvalóan vannak emberek a történelemben,

lehet, sok ember, akiket a történelem elfelejtett,

megolajozta ezt.

De Descartes előtt általánosságban úgy tekintették, hogy

a geometria euklidészi geometria volt.

És ez lényegében a geometria,

amit a geometria órán tanultál,

8. vagy 9. vagy 10. osztályban.

a tradícionális középiskolai tananyagban.

És ez az a geometria, ami tanulmányozza

a háromszögek és a szögek közötti kapcsolatokat,

és a körök közötti kapcsolatokat.

Vannak sugaraink és háromszögeink,

bevésve körökbe és a többi,

és bele fogunk ebbe kicsit mélyebben is menni

a geometria lejátszási listában.

De Descartes azt mondta, "Tudom vizuálisan ábrázolni ezt

ugyanúgy, ahogyan Euklidész tanulmányozta ezeket a háromszögeket és köröket"

azt mondta, "Miért ne?"

Ha látunk egy papírlapot.

Ha egy kétdimenziós síkra gondolunk.

Tekinthetjük úgy a papírlapot, hogy az

egy része egy kétdimenziós síknak.

Kétdimenziósnak hívjuk,

mert két irány van, amiben tudunk haladni rajta.

Van a felfelé és lefelé,

ez egy irány.

Hadd rajzoljam ezt le, kékkel fogom.

Mert mi próbáljuk a dolgokat vizualizálni,

ezért ezt a geometria színének választom.

Szóval van nekünk a fel és le irány,

és aztán van a bal és a jobb irány.

Ezért hívják ezt kétdimenziós síkfelületnek.

Ha három dimenzióval foglalkozunk,

akkor van egy ki és be dimenziónk.

És nagyon egyszerű két dimenziót ábrázolni a képernyőn,

mert a képernyő kétdimenziós.

És ő azt mondja, "Hát, tudod,

két változó van itt, és ezeknek ez a kapcsolatuk.

De miért nem kapcsolom minden egyes változót

össze ezekkel a dimenziókkal?"

És legyen az y változó,

ami igazán egy alárendelt változó,

Ahogyan csináltuk,

ez attól függ, hogy mi az x.

Tegyük fel ezt a függőleges tengelyre.

És tegyük rá a független változónkat,

aminek az értékét véletlenszerűen választottam ki,

hogy meglássuk, mi lenne az y,

helyezzük el azt a vízszintes tengelyen.

És igazából Descrates volt az,

aki kitalálta ezt a szabályt, az x és az y használatára,

aztán látni fogunk z-t az algebrában, annyira alaposan

mint ismeretlen változókat, azokkal a változókkal, amikkel éppen dolgozunk.

De ő azt mondja, "Hát, ha úgy gondolkozunk ezen,

ha ezeket a dimenziókat beszámozzuk,

mondjuk azt, hogy ez az x dimenzióban

tegyük ezt mínusz 3-ra,

ez legyen mínusz 2,

ez mínusz 1,

ez 0.

Csak beszámozom az x irányt,

a jobb és bal irányt.

Ez pozitív 1.

Ez pozitív 2.

És ez pozitív 3.

És megcsinálhatjuk ugyanezt az y dimenzióbanm

menjünk akkor, ez lesz akkor,

mondjuk, hogy mínusz 5, mínusz 4, mínusz 3,

hadd írjam egy kicsit szebben,

hadd töröljem le ezt itt.

Hadd töröljem le ezt és hosszabbítsam meg lefelé kicsit,

hogy le tudjak menni egészen mínusz 5-ig,

úgy, hogy közben jól is nézzen ki.

Menjünk le teljesen.

És beszámozhatjuk,

ez az 1, ez a 2, ez a 3,

és akkor ez lesz a mínusz 1.

Mínusz 2, ez egyezményes,

de a másik módon is lehetett volna jelölni.

Dönthettünk volna úgy, hogy az x van itt,

az y ott,

és ezt megtehettük volna a pozitívnak,

ezt pedig a negatív iránynak.

Ez a szabály, amit az emberek használnak

Descartes óta.

Mínusz 2, mínusz 3, mínusz 4, mínusz 5.

És azt mondja, "bármi, amit összekapcsolhatok,

összekapcsolhatom ezeket az értékpárokat egy ponttal

kétdimenzióban.

Vehetem az x koordinátát, vehetem az x értéket,

és azt mondom, rendben, ez mínusz 2,

ez pontosan itt lesz a bal irányban,

balra megyek, mert ez negatív.

És ez össze van kapcsolva a mínusz 5-tel a függőleges irányban.

Szóval azt mondom, az y értéke mínusz 5.

És akkor kettőt megyek balra, és 5-öt le.

Erre a pontra fogok jutni.

Azt mondja, ez a két érték mínusz 2 és mínusz 5,

ezzel a ponttal kapcsolhatom össze,

ezen a síkon itt, ezen a kétdimenziós síkon.

Én azt mondom, ez a koordinátája ennek a pontnak,

elmondja, hogy hol találom ezt a pontot (mínusz 2 és mínusz 5).

És ezek a koordináták kartéziánus koordináták,

René Descartes után.

Mert ez a fickó találta ki ezeket.

Társítja ezeket a kapcsolatokat

ezekkel a pontokkal a koordinátasíkon.

Aztán azt mondja, rendben van, csináljunk még egyet,

és itt van egy másik kapcsolat,

ha x egyenlő mínusz 1, y egyenlő mínusz 3-mal,

szóval x egyenlő mínusz 1, y egyenlő mínusz 3.

Ez a pont itt lesz.

és az szabály még egyszer.

Ha összeírod a koordinátákat,

akkor összeírod az x koordinátát, aztán az y koordinátát,

ez az, amit az emberek eldöntöttek.

Mínusz 1, mínusz 3, ez ez a pont lesz itt,

aztán van ez a pontunk, ha x az 0, y mínusz 1,

ha x az 0 itt,

ami azt jelenti, hogy nem megyek se balra, se jobbra.

Y az mínusz 1, ami azt jelenti, hogy 1-et kell lefelé menni.

Szóval ez ez a pont lesz itt. (0, mínusz 1)

Pontosan itt.

És ezt folytathatnám.

Ha x az 1, y is 1,

ha x egyenlő 2-vel, az y 3-mal,

igazából hadd írjam ezt ugyanazzal a lila színnel,

ha x az 2, y pedig 3,

2, 3 és aztén ez itt narancssárgával 1, 1.

Ez jól néz ki így.

Lényegében mintát adok a lehetséges x-ekről.

De amire ő jött rá, az az,

nemcsak mintázom a lehetséges x-eket,

de ha folytatom ezt,

ha megpróbálom az összes lehetséges x-et bejelölni,

akkor igazából a végén egy vonalat kapnék.

Szóval ha az összes lehetséges x-et kellene bejelölni,

akkor egy vonalat kapnánk,

ez valami olyasminek néz ki, itt.

És bármilyen, bármilyen kapcsolat, ha kiválasztunk egy x-et,

és megkeressük az y-t, ami egy pontot képvisel a vonalon,

vagy másféleképpen gondolva,

bármilyen pont, ami ezen a vonalon található,

az egy megoldás az itt található egyenletre.

Szóval ha van ez a pont nekünk itt.

Ami úgy néz ki, hogy az x 1 és egy fél.

Y az 2. Szóval hadd írjam ezt le,

1,5 és 2.

Ez az egyenlet megoldása.

Ha az x egyenlő 1,5. 2 szorozva 1,5-tel az 3, mínusz 1 az 2.

És az pedig itt van.

Szóval egyszercsak ő át tudta hidalni

ezt a szakadékot, vagy a kapcsolatot az algebra és a geometria között.

Mostmár el tudjuk képzelni az x és az y párokat,

amik megfelelnek ennek az egyenletnek itt.

Szóval ő felelős ezért a hídért

és ezért ezek a koordináták,

amiket használunk ezen pontok jelölésére, kartéziánus koordinátáknak nevezzük,

látni fogjuk ezeket, és az első típusú egyenleteket,

amikkel foglalkozni fogunk, ezek az egyenleteket itt,

és a hagyományos algebra tananyaggal is fogunk foglalkozni.

Lineáris egyenleteknek nevezzük őket...

lineáris egyenletek.

És azt fogod mondani, hát, tudod, ez egy egyenlet,

megnézem, hogy ez egyenlő-e azzal.

De miért lineárisak ezek?

Miért néznek ki úgy, mint egy vonal?

Hogy rájöjjünk erre,

meg kell tennünk ezt az ugrást, amit René Descartes is megtett,

mert ha ezt ábrázolnod kell,

kartéziánus koordinátákkal

euklidészi síkon, akkor egy vonalat fogsz kapni.

És a közeljövőben látni fogod,

hogy vannak olyan egyenletek, ahol nem kapsz egyenest.

Egy görbét ffogsz kapni, vagy valami őrültséget, vagy funky-t.