Descartes and Cartesian Coordinates

Bridging algebra and geometry. What makes linear equations so linear.

Αυτή είναι η φωτογραφία του Ρενιέ Ντισκάρτες

άλλο ένα από τα μεγάλα μυαλά

στην επιστήμη των Μαθηματικών και της Φιλοσοφίας

Και νομίζω ότι θα πρέπει να δούμε λίγο λίγο εδώ την τάση

ότι οι μεγάλοι Φιλόσοφοι ήταν επίσης μεγάλοι μαθηματικοί

και αντίστροφα

και έμοιαζε ενός σύγχρονου Γαλιλαίου

αυτός ήταν 32 χρόνια νεότερος από τον Γαλιλαίο.

παρά το γεγονός αυτό, πέθανε λίγο μετά τον Γαλιλαίο.

Αυτός ο τύπος,δηλαδή ο Ρενιέ Ντισκάρτες πέθανε σε πολύ μικρότερη ηλικία από τον Γαλιλαίο,

Ο Γαλιλαίος ήταν ηδη στα 70 του

Ο Ντισκάρτε πέθανε όταν ήταν μόνο 54 ετών.

Και είναι ίσως πιο γνωστός στη λαϊκή κουλτούρα,

για αυτό το απόσπασμα εδώ περα,

ένα λιγακι φιλοσοφικό απόσπασμα.

"Σκέφτομαι άρα είμαι"

αλλά θάθελα επίσης να δούμε,

αν και δεν συνδέεται τοσο με την άλγεβρα,

αλλά εγώ απλά σκέφτηκα ότι ήταν ένα πραγματικά κομψό απόσπασμα.

Πιθανώς το λιγότερο διάσημο απόσπασμα του.

Αυτό εδώ περα.

Και μου αρέσει αυτό μόνο και μόνο επειδή είναι πολύ πρακτικό

και θα μας κάνει να συνειδητοποιήσουμε ότι αυτά τα μεγάλα μυαλά

αυτοί οι πυλώνες της φιλοσοφίας και των μαθηματικών

στην τέλικη αναλυση,

ήταν απλες ανθρωπινες υπαρξεις.

και είπε, "Απλως συνεχίζεις να επιμενεις."

Απλως συνεχίζεις να πιεζεις.

έκανα κάθε λάθος που θα μπορούσα να κάνω

Αλλά απλά συνέχιζα να επιμενω"

Το οποίο πιστεύω ότι είναι μια πάρα πολύ καλή συμβουλή για την ζωή.

Τώρα, αυτός έκανε πολλά πράγματα

στη φιλοσοφία και τα μαθηματικά,

αλλά ο λόγος για τον οποίον τον συμπεριέλαβα εδώ,

επειδη χτίζουμε τα θεμέλια της άλγεβρας,

είναι γιατι αυτός ο άνθρωπός

συνέβαλε παρα πολυ για τη σύνδεση

μεταξύ της άλγεβρας και της γεωμετρίας.

Λοιπον στα αριστερά εδώ περα

έχετε τον κόσμο της άλγεβρας.

Έχουμε συζητήσει για αυτό λίγακι.

Έχετε εξισώσεις που ασχολούνται με τα σύμβολα

και αυτά τα σύμβολα είναι ουσιαστικά

αυτά μπορούν να λάβουν κάποιες τιμές

έτσι μπορείτε να έχετε κάτι σαν

y = 2x - 1

αυτό μας δίνει μια σχέση

μεταξύ του ό, τι δίποτε είναι το χ

και ό, τι δίποτε είναι το y.

και μπορούμε ακόμη και να δημιουργήσει έναν πίνακα εδώ

και να βάλουμε τις τιμές για το χ

για να δουμε ποιες θα είναι είναι οι τιμές του y.

Μπορώ να επιλέξω τυχαίες τιμές για το χ

και στη συνέχεια να υπολογίσω ποία είναι η τιμή του y.

αλλά θα επιλέξω σχετικά απλές τιμές για το χ

έτσι ώστε οι υπολογισμοί να μην είναιπάρα πολύ περίπλοκοι.

έτσι για παράδειγμα,

αν το x είναι ίσον με -2

τότε y πρόκειται να είναι ίσο με 2 * -2 - 1

(2 * -2) - 1

η οποία είναι -4 - 1

δηλαδή ίση με -5

αν το x είναι -1

τότε η τιμή του y να είναι ίση με (2 * -1) - 1

δηλαδή ίση προς

αυτή θα είναι (-2)+ (-1)δηλαδή ίση με -3

αν χ=0

τότε η τιμή του y θα είναι (2 * 0)-1

δηλαδή το y θα είναι2 * 0 ίσο με 0 - 1, y= -1

Θα γράψω δύο ακόμη παραδείγματα.

αν το x είναι 1

και θα μπορούσα να έχω πάρει οποιεσδήποτε τιμές εδώ

Θα μπορούσα να έχω πει τι συμβαίνει

αν το x είναι η αρνητική τετραγωνική ρίζα του 2

ή τι θα συμβεί αν το x είναι -5/2

ή θετική ίση με 6/7.

αλλά επιλέγω ακριβώς αυτούς τους αριθμούς

γιατί οι υπολογισμού είναι πολύ πιο εύκολοι

όταν θα προσπαθήσω να υπολογίσω ποία είναι η τιμή του y.

αλλά όταν το χ είναι ίσο με 1

το y θα είναι 2 *(1) - 1

2 * 1 είναι η 2 - 1 είναι 1

και θα κάνω ένα ακόμη παράδειγμα.

με ένα χρώμα που δεν έχω χρησιμοποιήσει ακόμα.

Ας δούμε αυτό το μωβ.

αν το x είναι 2

τότε το y θα είναι

2 (2) - 1 (τώρα που το χ είναι 2)

έτσι ώστε είναι 4 - 1, είναι ίσο με 3

έτσι αρκετά δίκαιο,

Έχω ακριβώς το είδος του δείγματος αυτής της σχέσης

Αλλά αυτό εντάξει περιγράφει μια γενική σχέση

μεταξύ μιας μεταβλητής y και μίας μεταβλητής χ

και στη συνέχεια έκανα λίγο πιο συγκεκριμένο.

και τότε είπα εντάξει

εάν το χ είναι μία από αυτές τις μεταβλητές.

για κάθε μια από αυτές τις τιμές του χ,

ποια θα ήταν η αντίστοιχη τιμή του y;

και αυτό που συνειδητοποίησε ο Κατρέσιος είναι ότι

ότι αυτό θα μπορούσε να το απεικονίσει.

αυτό που θα μπορούσε να απεικονίσει είναι μεμονωμένα σημεία.

Αλλά αυτό θα μπορούσε να μας βοηθήσει, επίσης, σε γενικές γραμμές

να απεικονίσουμε αυτή τη σχέση .

έτσι αυτό που έκανε ουσιαστικά είναι

Αυτός γεφύρωσε το κόσμο αυτού του είδους, δηλαδη των αφηρημένων συμβολων της άλγεβρας.

και ότι αφορά τη γεωμετρία

με τα σχήματα και τα μεγέθη και τις γωνίες.

τσι εδώ έχουμε τον κόσμο της γεωμετρίας.

και προφανώς υπάρχουν άνθρωποι στην ιστορία

πιθανώς πολλοί άνθρωποι που η ιστορία μπορεί να τους έχει ξεχάσει

ποιός μπορεί να φταίει για αυτό.

Αλλά πριν Καρτίε θεωρείται γενικά

γεωμετρία ήταν η Ευλκείδεια γεωμετρία.

και αυτό είναι ουσιαστικά η γεωμετρία

που θα μάθετε στο μάθημα της γεωμετρίας

στην 8η ή 9η ή 10η τάξη.

ή σε ένα παραδοσιακό πρόγραμμα στο γυμνάσιο.

που θα αφορά τη μελέτη της γεωμετρίας

οι σχέσεις των τριγώνων, με τις γωνίες τους.

και οι σχέσεις μεταξύ των κύκλων.

εκεί θα έχουμε ακτίνες και στη συνέχεια τρίγωνα

εγγράφονται σε κύκλους και όλα τα υπόλοιπα

και θα πάμε σε κάποιο βάθος

από το ότι αναφέρεται στη γεωμετρία.

Αλλά ο Καρτιέ λέει, «και νομίζω ότι μπορεί να αντιπροσωπεύει αυτό οπτικά

με τον ίδιο τρόπο που ο Ευκλείδης μελετούσε αυτά τα τρίγωνα και τους κύκλους »

αυτός είπε «γιατί δεν μπορώ να το κάνω;"

αν δούμε ένα κομμάτι του χαρτί.

αν σκεφτούμε ένα δισδιάστατο επίπεδο.

θα μπορούσατε να δείτε ένα κομμάτι του χαρτί

ως είδος ενός τμήματος ενός δισδιάστατο επίπεδο.

και ονομάζουμε αυτό δύο διαστάσεις

επειδή υπάρχουν δύο κατευθύνσεις που μπορείτε να κινηθούμε

υπάρχει μια κατεύθυνση πρός τα πάνω και μια κατεύθυνση πρός τα κάτωη,.

αυτό είναι η μια κατεύθυνση.

επιτρέψτε μου να το ζωγραφίσω με μπλε χρώμα.

επειδή προσπαθούμε να απεικονίσουμε τα πράγματα

έτσι θα το κάνω έγχρωμη γεωμετρία.

έτσι ώστε να απεικονίζουμε την πάνω και την κάτω κατεύθυνση

και έχετε το αριστερό σωστή κατεύθυνση.

γι 'αυτό λέγεται ένα δισδιάστατο επίπεδο.

αν έχουμε να κάνουμε με τρεις διαστάσεις.

έχουμε μια σε διάσταση από μέσα πρός τα έξω

και είναι πολύ εύκολο να κάνει δύο διαστάσεις στην οθόνη

επειδή η οθόνη είναι δισδιάστατη.

και αυτός λέει: «Λοιπόν, ξέρεις

υπάρχουν δύο μεταβλητές εδώ και έχουν αυτή τη σχέση.

Αλλά γιατί δεν μπορώ να συνδέσω κάθε μία από αυτές τις μεταβλητές

με μία από αυτές τις διαστάσεις εδώ;

και κατά συνθήκη ας κάνουμε την μεταβλητή y

η οποία είναι πραγματικά η εξαρτημένη μεταβλητή,

με τον τρόπο που το κάναμε,

αρτάται από το τι είναι το χ .

Οπότε ας βάλουμε ότι στον κάθετο άξονα.

και ας βάλουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή μας,

όπου η μία που μόλις διάλεξε τυχαία τιμές για το

για να δούμε τι θα γίνει το y,

ας βάλουμε ότι στον οριζόντιο άξονα.

και στην πραγματικότητα ήταν ο Καρτέσιος

ο οποίος ήρθε με μια σύμβαση από τη χρήση του x και του y

και θα δούμε αργότερα το z στην άλγεβρα, εκτενώς

ως άγνωστες μεταβλητές με τις μεταβλητές που μεταχειριζόμαστε.

Αλλά αυτός λέει «Λοιπόν, αν σκεφτούμε ότι με αυτό τον τρόπο

αν αριθμήσουμε αυτές τις διαστάσεις »

ας πούμε ότι στην κατεύθυνση x

ας πούμε ότι αυτό εδώ είναι ίσο με -3

ας κάνουμε αυτό το -2

αυτό είναι -1

αυτό είναι μηδέν

Είμαι αρίθμηση μόνο την κατεύθυνση x

το αριστερό σωστή κατεύθυνση.

τώρα αυτό είναι θετικό 1

αυτό είναι θετικό 2

και αυτό είναι θετικό 3.

και θα μπορούσαμε να κάνουμε το ίδιο και στην κατεύθυνση y

Ας δούμε λοιπόν, έτσι αυτό θα μπορούσε να είναι

λένε ότι αυτό είναι -5, -4, -3

πραγματικά επιτρέψτε μου να κάνω μια πιο τακτοποιημένη από λίγο ότι

πραγματικά επιτρέψτε μου να το κάνω λίγο καλύτερη από ότι είναι

επιτρέψτε μου να διαγράψετε αυτό και να επεκτείνει το κάτω λίγο

έτσι μπορώ να πάω σε όλη τη διαδρομή έως -5

χωρίς να φανεί πολύ βρώμικο.

οπότε ας πάει όλος ο τρόπος κάτω εδώ.

και έτσι μπορούμε να αριθμήσουμε

αυτό είναι 1, αυτό είναι 2, αυτό είναι 3,

και τότε αυτό θα μπορούσε να είναι -1

-2 Και όλα αυτά είναι απλώς συμβάσεις

θα μπορούσα να έχω την ετικέτα τον άλλο τρόπο.

θα μπορούσαμε να έχουμε αποφασίσει να θέσει το x εκεί

και το y εκεί

και να κάνουμε αυτό τη θετική κατεύθυνση,

κάνουν αυτή την αρνητική κατεύθυνση.

κάνουν αυτή την αρνητική κατεύθυνση.

αρχίζοντας με αύτό ο Καρτιέ.

-2, -3, -4 and -5

και λέει «Καλά κάτι μπορώ να συνδέσω

Μπορώ να συνδέσω κάθε ένα από αυτά τα ζεύγη των τιμών με

κάθε σημείο με δύο διαστάσεις.

Μπορώ να πάρω τη συντεταγμένη x, δηλαδή μπορώ να πάρω την τιμή x

και εδώ λέω "που είναι -2

αυτό θα ήταν σωστό εκεί κατά μήκος της αριστερής κατεύθυνσης,

Πάω προς τα αριστερά γιατί είναι αρνητική. "

και αυτό είναι που σχετίζονται με -5 στην κάθετη κατεύθυνση.

ι 'αυτό λέμε ότι η τιμή y είναι -5

και έτσι εάν πάω 2 προς τα αριστερά και 5 προς τα κάτω.

Έχω φτάσει σε αυτό το σημείο εκεί πέρα ..

έτσι λέει «Αυτές οι δύο τιμές -2 και -5

Μπορώ να τις συνδέσω με αυτό το σημείο

σε αυτό το επίπεδο πάνω δεξιά εδώ, σε αυτό το δισδιάστατο επίπεδο.

γι 'αυτό θα πω: Αυτό το σημείο έχει τις συντεταγμένες,

μου λέει όπου μπορώ να βρω αυτό το σημείο (-2, -5).

και αυτές οι συντεταγμένες ονομάζονται «καρτεσιανές συντεταγμένες '

και αυτές οι συντεταγμένες ονομάζονται «καρτεσιανές συντεταγμένες '

επειδή αυτός είναι ο επιστήμονας που όσισε αυτά.

Αυτός έχει συμμετοχή σε αυτές τις σχέσεις

με τα σημεία σε ένα επίπεδο συντεταγμένων.

και στη συνέχεια λέει «καλά εντάξει, ας κάνουμε ένα άλλο»

υπάρχει αυτή η άλλη σχέση,

όταν το χ είναι ίσο με -1, y = -3

οπότε χ είναι -1, y είναι -3.

Αυτό είναι το σημείο εκεί πέρα.

και η σύμβαση είναι για άλλη μια φορά.

«Όταν καταγράψεις την λίστα των συντεταγμένων,

θα συμπεριλάβει την συντεταγμένη x, τότε η συντεταγμένη y

και αυτό είναι ακριβώς αυτό που οι άνθρωποι αποφάσισαν να κάνουν.

-1, -3 Αυτό θα ήταν ότι το σημείο εκεί πέρα

και στη συνέχεια να έχετε το σημείο, όταν το x είναι 0, y είναι -1

ταν το x είναι 0 σημειώνω εδώ,

πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορώ να πάω ούτε αριστερό ούτε δεξιά.

y είναι -1, πράγμα που σημαίνει πάω 1 κάτω.

έτσι αυτό το σημείο πάνω δεξιά εκεί είναι. (0, -1)

πάνω ακριβώς

και θα μπορούσα να συνεχίσω να το κάνω αυτό.

όταν το χ είναι 1, το y είναι 1

όταν το χ είναι 2, y είναι 3

πραγματικά επιτρέψτε μου να κάνω αυτό με το ίδιο μοβ χρώμα

όταν το χ είναι 2, y είναι 3

2,3 και στη συνέχεια, αυτό το δικαίωμα εδώ στο πορτοκαλί ήταν 1,1

και αυτό είναι τακτοποιημένο από μόνο του,

Εγώ ουσιαστικά μόλις επέλεξα ένα δείγμα τιμών του x.

αλλά αυτό που συνειδητοποίησα είναι

όχι μόνο δεν θα δοκιμάσετε αυτά είναι δυνατόν x,

αλλά θα διατηρηθεί δειγματοληψία του x,

αν έχετε δοκιμάσει δειγματοληψία όλων των x στο μεταξύ,

θέλετε πραγματικά να καταλήξουν σχεδίαζε μια γραμμή.

Έτσι, αν ήταν να κάνει κάθε δυνατή x

θα καταλήξετε να πάρει μια γραμμή

που φαίνεται κάτι τέτοιο ... εκεί πέρα.

και κάθε ... οποιαδήποτε σχέση, αν επιλέξετε οποιαδήποτε x

και να βρει οποιαδήποτε y αντιπροσωπεύει πραγματικά ένα σημείο σε αυτή τη γραμμή

ή ένας άλλος τρόπος για να το σκεφτώ

οποιοδήποτε σημείο σε αυτή τη γραμμή αντιπροσωπεύει

μια λύση σε αυτήν την εξίσωση αντιπροσωπεύει εδώ.

οπότε αν έχετε αυτό το σημείο ακριβώς πάνω εδώ.

το οποίο μοιάζει με το x είναι περίπου 1 και μισή.

γ είναι 2. Έτσι, επιτρέψτε μου να γράψω ότι

1.5,2

δηλαδή είναι μια λύση για αυτή την εξίσωση.

όταν το χ είναι 1.5. 2 χ 1,5 είναι 3 - 1 είναι 2

που είναι εκεί πέρα.

έτσι ξαφνικά ήταν σε θέση να γεφυρώσει

αυτό το κενό της σχέση μεταξύ της άλγεβρας και της γεωμετρίας

και τώρα μπορούμε να απεικονίσουμε όλα τα ζεύγη x και y

αυτό ικανοποιεί αυτή εδώ την εξίσωση.

και γι 'αυτό είναι υπεύθυνος για την πραγματοποίηση αυτής της γέφυρας

και γι 'αυτό οι συντεταγμένες

που χρησιμοποιούμε για να καθορίσετε τα σημεία αυτά ονομάζονται «καρτεσιανές συντεταγμένες»

και όπως θα δούμε και το πρώτο είδος των εξισώσεων

και εδώ θα μελετήσουμε τις εξισώσεις αυτής της μορφής

και σε ένα παραδοσιακό πρόγραμμα σπουδών άλγεβρα.

από όπου και αν ονομάζονται γραμμικές εξισώσεις ...

γραμμικών εξισώσεων.

και ίσως να λέει: καλά γνωρίζετε, αυτή είναι μια εξίσωση,

Θα δείτε ότι αυτό είναι ίσο με το ότι από μόνη της.

αλλά τι είναι τόσο γραμμική γι 'αυτούς;

τι τους κάνει να μοιάζουν με μια γραμμή;

να συνειδητοποιήσουμε γιατί είναι γραμμική,

θα πρέπει να κάνει αυτό το άλμα Καρτέσιος έκανε.

γιατί αν ήταν να σχεδιάσετε αυτό,

χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες.

σε ένα Ευκλείδειο επίπεδο. Θα πάρετε μια γραμμή.

και στο μέλλον θα δούμε ότι

υπάρχει άλλου είδους εξισώσεις, όπου δεν θα μας δίδουν μια ευθεία γραμμή.

μπορείτε να πάρετε μια καμπύλη, ή το είδος κάτι τρελό ή funky.