Descartes og Kartesiske Koordinater

Forklaring på, hvordan Descartes forbandt algebra og geometri med sit koordinatsystem. Få også svar på, hvad der er så lineært ved lineære ligninger.

Det her er et portræt af René Descartes,

en af de store tænkere inden for både matematik og filosofi.

De store filosoffer

var ofte også store matematikere, og vice versa.

Descartes levede nogenlunde samtidig med Galileo.

Han var 32 år yngre, men han døde dog kort efter Galileo.

Descartes døde i en ret ung alder, kun 54 år gammel, mens Galileo var godt oppe i 70'erne.

Descartes er nok mest almen kendt for det citat lige her.

Et meget filosofisk citat:

"Jeg tænker, altså er jeg."

Vi har også valgt et andet citat.

Det har faktisk ikke har så meget med algebra at gøre,

men det er et virkeligt godt citat.

Det er et mindre berømt citat, måske det mindst kendte.

Det står herovre.

Det er anvendeligt

og får os til at indse, at de her store tænkere,

de her grundlæggere af filosofi og matematik,

når alt kommer til alt, så var de bare mennesker.

Det han sagde var: "Man bliver ved med at skubbe på.

Man bliver ved med at skubbe på.

Jeg lavede alle de fejl, som kunne laves.

Men jeg blev ved med at skubbe på."

Det er et rigtig godt råd her i livet.

Han lavede mange ting i filosofi og matematik,

men grunden til, at vi har taget ham med her,

hvor vi lægger fundamentet til algebra,

er, at han er det individ,

som er hovedansvarlig for den stærke forbindelse mellem algebra og geometri.

På venstre side har vi algebraens verden.

Det har vi diskuteret en smule tidligere.

Vi har ligninger med symboler,

og symbolerne kan have forskellige værdier.

Vi kan f.eks. have sådan noget som
y er lig med 2x minus 1.

Det udtrykker en relation mellem et tal x og et tal y.

Vi kan skrive det op i en tabel her,

hvor vi vælger værdier af x

og udregner, hvad værdierne af y er.

Vi kan vælge tilfældige værdier af x

og så finde y ud fra dem.

Vi vælger nogle ret enkle værdier,

så udregningerne ikke bliver for svære.

Hvis x er minus 2,

så bliver y lig med 2 gange minus 2 minus 1.

2 gange minus 2 minus 1.

Det er minus 4 minus 1.

Det er minus 5.

Hvis x er minus 1,

er y lig med 2 gange minus 1 minus 1.

Det er lig med

minus 2 minus 1. Det er minus 3.

Hvis x er lig med 0,

er y lig med 2 gange 0 minus 1.

2 gange 0 er 0, minus 1, det giver minus 1.

Vi tager et par stykker mere.

Vi kan vælge hvilken som helst værdi.

Vi kunne have sagt,

at x er minus kvadratrod 2

eller, hvad sker der, hvis x er minus 5 halve

eller plus 6/7.

Vi vælger bare de her tal,

fordi det gør udregningerne meget lettere,

når vi skal finde ud af, hvad y er.

Når x er 1, er y lig med 2 gange 1 minus 1.

2 gange 1 er 2, og så minus 1. Det giver 1.

Vi tager lige en mere

med en farve, som vi ikke har brugt endnu.

Lad os skrive det med lilla.

Hvis x er 2, så er y lig med

2 gange 2 minus 1,

så det er 4 minus 1, det er lig med 3.

Godt, det er vist nok.

Vi har udvalgt nogle eksempler på relationen.

Ligningen beskriver en generel relation mellem en variabel y og en variabel x.

Vi har bare vist nogle konkrete eksempler på det.

Det vi gjorde var at sige,

at hvis x er en variabel,

hvad er så den tilhørende værdi af y

for hver af de her x-værdier?

Det som Descartes indså er, at det kan visualiseres.

Vi kan vise det som punkter,

men det kan også udnyttes til at vise den generelle relation.

Han byggede en bro mellem de to verdener:

Fra meget abstrakt symbolsk algebra til geometri

som handler om former, dimensioner og vinkler.

Herovre er geometriens verden.

Der er sikkert andre folk gennem historien,

som måske også legede med de her ting, men som er blevet glemt,

men i tiden før Descartes var den generelle opfattelse,

at geometri var det vi kender som euklidisk geometri,

og det er basalt set geometrien,

som du nok har lært om i 6. eller 7. klasse

i det almindelige pensum i folkeskolen.

Det er geometri, hvor man beskriver

relationerne mellem trekanter og deres vinkler

og relationerne mellem cirkler

med deres radier, og så har vi trekanter

indskrevet i en cirkel og alt det der.

Vi vil gå lidt mere i dybden med den slags i videoerne om geometri.

Descartes siger nu:

"Jeg tror, jeg kan vise det her visuelt på samme måde som Euklid studerede trekanter og cirkler."

Lad os prøve det.

Hvis vi har et stykke papir,

kan vi tænke på det som et todimensionelt plan.

Vi kan betragte papiret som et udsnit af et todimensionelt plan.

Vi kalder det to dimensioner,

fordi der er to retninger, som vi kan bevæge os i.

Der er op-nedretningen. Det er én retning.

Det tegner vi lige her med blåt,

fordi vi prøver at visualisere det her,

så vi gør det i farven for geometri.

Vi har op-nedretningen, og vi har højre-venstreretningen.

Det er derfor, det kaldes et todimensionelt plan.

Hvis vi har gang i 3 dimensioner,

har vi også en ind-uddimension af papirets plan.

Det er meget let at lave 2 dimensioner på skærmen,

fordi skærmen er todimensionel.

Nu siger Descartes så:

"Vi ved, at der 2 variable, og de har den her relation.

Hvad nu, hvis jeg betragter den ene af de her variable som en af de her dimensioner herovre?"

Lad os altid lave den y-variable,

som er den afhængige variabel,

der afhænger af, hvad x er.

Lad os skrive det på den lodrette akse.

Lad os sætte vores uafhængige variabel,

den, hvor hvor bare valgte en tilfældig værdi for at se, hvad y blev.

Lad os sætte x på den vandrette akse.

Det var faktisk Descartes, som fandt på at benytte den enighed om altid at bruge x og y,

og som vi skal se senere også z, i algebra som de ukendte variable, vi flytter rundt med.

Descartes sagde:

"Hvis vi tænker på det på den her måde, så kan jeg inddele og nummere de to dimensioner."

Lad os gøre det lige herovre. Minus 3.

Her er minus 2.

Her er minus 1.

Det er 0.

Vi nummererer bare x-retningen, venstre-højreretningen.

Her er plus 1,

plus 2,

og her plus 3,

og vi kan gøre det samme i y-retningen.

Lad os gøre det.

Det er minus 5, minus 4, minus 3.

Lad os prøve at gøre det lidt pænere.

Det blev lidt rodet.

Vi sletter lige det her og forlænger den her lidt nedad,

så vi kan gå helt ned til minus 5, uden det bliver for rodet.

Vi starter helt hernede.

Vi nummererer.

Her er 1, her er 2, her er 3.

Det er minus 1,

minus 2. Alt det her er bare konventioner,

der kunne gøres på en anden måde.

Vi kunne have sat x der og y der

og gøre det her til den positive retning

og det her den negative retning,

men det her er bare den konvention, som alle bruger,

og den går helt tilbage til Descartes.

Minus 2, minus 3, minus 4, minus 5.

Så sagde han:

"Jeg kan forbinde hvert af de her talpar med et punkt i 2 dimensioner."

Vi kan tage x-koordinaten som x-værdien herovre og sige, at det er minus 2.

Det er så lige derovre langs venstre-højreretningen.

Det er til venstre, fordi det er negativt.

Det er forbundet med minus 5 i den lodrette retning.

Det vil sige, at y-værdien er minus 5.

Hvis vi går 2 til venstre og 5 ned,

kommer vi til det punkt der.

Så siger Descartes: "De 2 værdier, minus 2 og minus 5,

kan beskrives som det punkt i det todimensionelle plan."

Så siger han: "Dét punkt har koordinaterne,

som fortæller mig, hvor jeg finder dét punkt: minus 2 komma minus 5."

De her koordinater kaldes kartesiske koordinater,

og de er opkaldt efter René Descartes,

for det var ham, som fandt på det.

Han forbinder lige pludselig alle de her relationer

med punkter i et koordinatsystem.

Lad os tage en mere.

Her er en anden relation:

Når x er lig med minus 1, er y lig med minus 3.

x er minus 1 og y er minus 3.

Det er det punkt derovre.

Det er den samme konvention igen.

Når vi skriver en liste med koordinater,

skriver vi x-koordinatet og så y-koordinatet.

Det var smart, og alle begyndte at gøre det på den måde.

Minus 1 minus 3. Det er så det punkt der.

Næste punkt: Når x er 0, er y minus 1.

Når x er 0 lige her.

Det betyder, at vi hverken går til venstre eller højre.

y er minus 1. Det betyder 1 ned. Det er punktet der.

Lige der.

Vi kan blive ved:

Når x er 1, er y 1.

Når x er 2, er y 3.

Lad os gøre det i den samme lilla farve.

Når x er 2, er y 3.

2 komma 3 i lilla, og den orange var 1 komma 1,

og det er jo meget pænt i sig selv.

Vi udvalgte bare nogle x'er,

men det som Descartes indså er,

at ikke bare vælger man nogle x'er,

men hvis man blev ved med at udvælge x'er,

altså hvis man prøvede at vælge alle x'er ind i mellem,

ville man faktisk ende med at tegne en linje.

Hvis man indtegnede alle de mulige punkter,

så ville man ende med en linje,

og linjen ville se nogenlunde sådan her ud.

For en hvilken som helst relation gælder det, at hvis man vælger et x

og finder y, er det altid et punkt på den her linje.

En anden måde at se på det er,

at alle punkter på den her linje er en løsning til den her ligning.

Det her punkt er omtrent x lig med 1 en halv, og y er 2.

Lad os skrive det.

1,5 komma 2.

Det er en løsning til den ligning.

Når x er 1,5, har vi, at 2 gange 1,5 er 3 minus 1 er 2.

Det er lige her.

Pludselig kunne Descartes bygge en bro over en kløft

eller lave en forbindelse mellem algebra og geometri.

Vi kan nu visualisere alle par af x og y,

som opfylder ligningen derovre,

og derfor har han fået æren for den bro,

og det er derfor, at koordinater,

som er det, vi kalder de her punkter, bliver kaldt for kartesiske koordinater.

Som vi vil se, er den første type af ligninger,

som vi skal studere, ligninger af den type, som er der,

og de kaldes for lineære ligninger.

Lineære ligninger.

Man tænker måske, at det her en ligning,

og vi kan se, at det der er lig med det i sig selv,

men hvad er det egentlig, som er lineært ved dem?

Hvad gør, at det bliver til en linje?

For at indse det skal vi have den indsigt, som René Descartes fik ved

at plotte relationerne i sit kartesiske koordinatsystem i 2 dimensioner, i et euklidisk plan.

Man får en ret linje, og, som vi skal se i en senere video,

er der andre typer af ligninger, hvor man ikke får en ret linje.

Man kan få noget kurvet, eller et eller andet helt vildt!