Os segredos matemáticos do Triângulo de Pascal - Wajdi Mohamed Ratemi

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O Triângulo de Pascal, que a primeira vista pode parecer só uma pilha ordenada de números, é na verdade, um valioso tesouro matemático. Mas o que tem nisso que intrigou tanto os matemáticos no mundo inteiro? Wajdi Mohamed Ratemi mostra como o Triângulo de Pascal é cheio de padrões e segredos.

Licão de Wajdi Mohamed Ratemi, animação de Henrik Malmgren.

Esta pode parecer
uma pilha ordenada de números,

mas, na verdade,
é um valioso tesouro matemático.

Os matemáticos indianos o chamavam
de Escadaria do Monte Meru.

No Irã, é o Triângulo Khayyam.

E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

Em grande parte do mundo ocidental,
é conhecido como Triângulo de Pascal

devido ao matemático francês
Blaise Pascal,

o que parece um pouco injusto
visto que cuidou deste assunto bem depois,

mas ele ainda tinha muito
no que contribuir.

Então o que tem nisso que intrigou tanto
os matemáticos no mundo inteiro?

Em resumo, é cheio de padrões e segredos.

Antes de mais nada,
há o padrão que o gera.

Comecem com um e imaginem
zeros invisíveis de cada lado.

Somem os números aos pares,
e gere a próxima fileira.

Então façam isso repetidas vezes.

Continuem e acabarão com algo assim,

embora o verdadeiro Triângulo de Pascal
continue infinitamente.

Cada fileira corresponde ao que é chamado
de coeficientes de uma equação binomial

da forma de (x+y) elevado a n,

onde n é o número da linha,

começando a contar a partir do zero.

Se fizermos n=2 e a desenvolvermos,

temos (x^2) + 2xy + (y^2).

Os coeficientes, ou números
que antecedem as variáveis,

são os mesmos números
daquela linha do triângulo.

A mesma coisa vai acontecer para n=3,
que se desenvolve assim.

O triângulo é uma forma rápida e fácil
para checar todos esses coeficientes.

Porém há muito mais.

Por exemplo, somem
os números em cada fileira,

e serão formadas
potências de dois consecutivas.

Ou em uma dada fileira,

considere cada número como parte
de uma expansão decimal.

Em outras palavras, a linha dois é
(1x1) + (2x10) + (1x100).

Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

E veja o que acontece quando
fazemos a mesma coisa com a linha seis.

Obtemos 1.771.561, que é 11 elevado a 6,

e assim por diante.

Também há aplicações geométricas.

Olhem para as diagonais.

As duas primeiras
não são muito interessantes:

todos uns, e depois inteiros positivos,
também conhecidos como números naturais.

Mas os números da diagonal seguinte
são chamados de números triangulares

porque se pegarmos
todos esses números,

podemos agrupá-los
em triângulos equiláteros.

A próxima diagonal
é formada por números tetraédricos

pois, analogamente,
podemos agrupá-los em tetraedros.

E o que acham disto?
Ocultem todos os números ímpares.

Não é grande coisa
já que o triângulo é pequeno,

mas se acrescentarmos milhares de linhas,

obtemos um fractal,
conhecido por Triângulo de Sierpinski.

Esse triângulo não é apenas
uma obra de arte matemática.

Também é bastante útil,

especialmente quando se trata
de probabilidade e cálculos

no domínio da análise combinatória.

Digamos que queremos ter cinco filhos,

e desejamos saber a probabilidade

de ter a família dos sonhos
com três meninas e dois meninos.

Na expressão binomial,

isso corresponde a (menina + menino)
elevado a quinta potência.

Portando, olhemos para a fileira cinco,

onde o primeiro número
corresponde a cinco meninas,

e o último a cinco meninos.

O terceiro número
é o que estamos procurando.

Dez do total da soma de todas
as possibilidades na linha.

Portanto 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

Se, ao acaso, estivermos escolhendo
times de basquete de cinco jogadores

de um grupo de 20 amigos,

quantos times de cinco é possível formar?

Em análise combinatória,
esse problema seria descrito

como cinco escolhidos em doze,

e poderia ser calculado com esta fórmula,

ou poderíamos simplesmente olhar
para o sexto elemento

da linha 12 do triângulo,
e obter a resposta.

Os padrões no Triângulo de Pascal

constituem uma evidência elegante
do intrincado tecido da matemática.

Até hoje ainda revela novos segredos.

Por exemplo, os matemáticos recentemente
descobriram uma forma de os expandirem

para estes tipos de polinômios.

O que podemos encontrar em seguida?

Bem, isso é com vocês.