Les secrets mathématiques du triangle de Pascal - Wajdi Mohamed Ratemi

Leçon complète: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Le triangle de Pascal, qui de prime abord pourrait être perçu comme un empilement de nombres bien rangés, en en fait un trésor mathématique. Mais qu'est-ce qui a bien pu intriguer à ce point les mathématiciens du monde entier ? Wajdi Mohamed Ratemi nous montre que le triangle de Pascal regorge de motifs et de secrets.

Leçon par Wajdi Mohamed Ratemi, animation par Henrik Malmgren.

Cela peut ressembler à un empilement
de nombres bien rangés,

mais c'est en fait
un trésor mathématique.

Les mathématiciens indiens l'appelaient
« l'escalier du mont Meru ».

En Iran, il est appelé
« Triangle de Khayyam ».

Et en Chine, il s'appelle
« Triangle de Yang Hui ».

Pour une grande partie
du monde occidental,

il est connu sous le nom
de « Triangle de Pascal »,

d'après le mathématicien français
Blaise Pascal,

ce qui semble un peu injuste car il est
clairement arrivé après la bataille,

même s'il avait encore
beaucoup à apporter.

Alors, qu'est-ce qui a tant intrigué

les mathématiciens du monde entier ?

En bref, il regorge
de motifs et de secrets.

Tout d'abord, il y a le modèle
qui le génère.

Commencez avec un un
et imaginez-le encadré de zéros.

Additionnez les chiffres par paires
et vous obtenez la ligne suivante.

Maintenant, recommencez
encore et encore.

Continuez ainsi et vous aboutirez
à quelque chose comme ça,

bien que le triangle de Pascal
se poursuive à l'infini.

Chaque ligne correspond à ce qu'on appelle
les coefficients du développement binomial

de la forme (x+y)^n

où n représente le rang de la ligne,

en commençant par 0
pour la première ligne.

Et donc, pour n= 2,
en développant on obtient :

(x^2) + 2xy + (y^2)

Les coefficients, ou nombres
devant les variables,

sont les mêmes que les nombres de la ligne
correspondante du triangle de Pascal.

Vous pouvez voir la même chose pour n=3
qui se développe ainsi.

Ainsi ce triangle est un moyen simple et
rapide de retrouver tous ces coefficients.

Mais il y a beaucoup plus.

Par exemple, en additionnant
les nombres de chaque ligne

vous obtenez
les puissances successives de 2.

Ou, pour une ligne donnée, traitez chaque
nombre comme une décomposition décimale,

en d'autres termes, la deuxième ligne
égale (1x1) + (2x10) + (1x100).

Vous obtenez 121, soit 11^2.

De la même manière, voyez ce qui se passe
avec la sixième ligne.

La décomposition donne 1 771 561,
soit 11^6 et ainsi de suite.

Il y a aussi
des applications géométriques.

Prenez les diagonales.

Les deux premières ne sont pas
très intéressantes : une suite de uns,

puis les nombres entiers positifs
appelés entiers naturels.

Mais dans la diagonale suivante, les
nombres sont appelés nombres triangulaires

parce qu’en prenant ce nombre de points,

vous pouvez les empiler
en formant des triangles équilatéraux.

La diagonale suivante contient
les nombres tétraédriques

parce que vous pouvez également empiler ce
même nombre de billes dans un tétraèdre.

Ou encore ceci :
grisez tous les nombres impairs.

Ça ne ressemble à rien
quand le triangle est petit,

mais en considérant des milliers de lignes

vous obtenez une fractale connue sous
le nom de « Triangle de Sierpinski ».

Ce triangle n'est pas seulement
une œuvre d'art mathématique.

Il est aussi très utile

dans les calculs et les probabilités

dans le domaine de la combinatoire.

Disons que vous voulez avoir 5 enfants,

et que vous voulez connaître
la probabilité

d'avoir votre famille rêvée
de 3 filles et 2 garçons.

Dans le développement du binôme,

cela correspond à fille plus garçon
le tout à la puissance 5.

Regardons la cinquième ligne,

ou le premier nombre
correspond à 5 filles,

et le dernier à 5 garçons.

Le troisième correspond
à ce que nous cherchons.

10 sur la totalité
des possibilités de la ligne.

Donc 10 sur 32, soit 31,5 %.

Ou, si vous tirez au sort 5 joueurs
de basket pour former une équipe

parmi un groupe de 12 amis,

combien d'équipes différentes
pouvez-vous former ?

En combinatoire, ce problème s’énonce
comme un tirage de 5 parmi 12,

et pourrait être calculé
avec cette formule,

ou vous pouvez simplement regarder le
6eme élément de la 12eme ligne du triangle

pour avoir votre réponse.

Les motifs contenus
dans le triangle de Pascal

témoignent de l'élégance
du tissu des mathématiques.

Des secrets sont encore révélés
de nos jours.

Par exemple, des mathématiciens
ont découvert récemment

comment l'étendre à ce genre de polynômes.

Qu'est-ce qui viendra ensuite ?

Eh bien, ça dépend de vous !