Már csináltam jó pár olyan videót arról a témáról, amit most fogunk átvenni,
azaz a trigonometrikus azonosságokról.
Azért csinálok még egyet, mert szükségem volt az ismétlésre,
ugyanis éppen olyan analízis feladatokon dolgoztam, amelyekhez jól kellett ezt tudnom,
és most már van jobb felvevő szoftverem is,
úgyhogy gondoltam, „két legyet egy csapásra” alapon,
felveszem még egyszer a videót, és így felelevenítem az anyagot a saját fejemben is.
Szóval azt fogom feltételezni, hogy a következő azonosságokat már ismerjük,
mert már korábban csináltam róluk videókat,
és elég összetettek ahhoz, hogy itt most ismét bizonyítsuk őket.
sin(a+b)= sin a・cos b + sin b・cos a
Ez lesz az első a videóban, amit feltételezek, hogy már ismerünk.
Ha pedig a... hadd írjam át ezt egy kicsit!
Mi van akkor, ha azt akarom tudni,
hogy mi a sin(a+ (-c))?
Ez ugyanaz, mint a sin(a-c), ugye?
Hát, használhatjuk ezt a fenti képletet,
és mondhatjuk, hogy ez nem más, mint sin a・cos(-c) + sin(-c)・cos a.
És azt már tudjuk, vagy legalábbis feltételezem ebben a videóban, hogy ezt is tudjuk,
hogy a cos(-c) = cos(c) -vel.
A koszinusz páros függvény,
ami felismerhető a függvény grafikonját vagy akár az egységkört megfigyelve.
A szinusz pedig páratlan függvény,
ezért sin(-c) = -sin c.
Ezt a két dolgot felhasználhatjuk ahhoz, hogy átírjuk a második sort itt fent,
és az lesz belőle, hogy sin(a-c) = sin a・cos c – mivel a cos(-c) ugyanaz, mint a cos(c) –,
majd jön a -sin(c), amit a sin(-c) helyett írtam,
tehát a második fele a -sin c・cos a.
Ezt úgy-ahogy bebizonyítottuk úgy, hogy már tudtuk ezt és ezt korábbról.
Elfogadható.
Ezeket fogom használni, hogy bebizonyítsak több más trigonometrikus azonosságot is,
amelyekre szükségem lesz.
Egy másik ilyen trigonometrikus azonosság a cos(a+b) = cos a...
Ne keverjük össze itt a szinuszokat a koszinuszokkal!
cos a・sin b...bocsánat.
Most mondtam, hogy ne keverjük össze őket, erre összekevertem őket.
Tehát az lesz, hogy cos a・cos b - sin a・sin b.
És ha azt akarod tudni, hogy mi a cos(a-b),
akkor ugyanezeket a szabályokat fogod használni,
a cos(-b) az csak cos b lesz,
és mivel a cos(-b) ugyanaz, mint cos b, így ebből cos a・cos b lesz,
aztán itt jobbra ugye sin(-b) lesz, ami ugyanaz, mint a -sin b,
és mínusszor mínusz az plusz, így végül az lesz, hogy + sin a・sin b.
Kicsit becsapós, hogy amikor plusz van itt, akkor mínusz lesz ott,
és amikor mínusz van itt, akkor plusz lesz ott.
De azért érthető. Nem akarok sok időt ezekkel tölteni,
mert még sok-sok azonosságot kell megmutatnunk.
Mi lenne, ha arra keresnék azonosságot, hogy mi a cos(2a)?
cos(2a) az ugyanaz, mint a cos(a+a)!
Ehhez pedig használhatjuk ezt a fenti azonosságot.
A második „a” az nem más mint a „b”,
így ez az lesz, hogy cos a・cos a - sin a・sin a.
A „b” is „a” ebben a képletben,
és ezt átírhatom úgy is, hogy cos²a,
mivel cos a-t szoroztuk önmagával,
aztán pedig -sin²a.
Ez pedig itt már egy azonosság.
cos(2a) = cos²a - sin²a.
Hadd keretezzem be az azonosságokat, amiket megmutatunk ebben a videóban!
Ez az, amit most mutattam meg.
De mi van akkor, ha nem vagyok megelégedve,
és csak koszinuszokkal akarnám kifejezni ezt?
Felidézhetnénk az egységkörös definícióját ezeknek a szögfüggvényeknek.
Valójában a legalapvetőbb azonosság
az az, hogy sin²a + cos²a = 1.
Vagy, írhatnád úgy is,
– hadd gondoljam végig, hogy lenne a legjobb ezt leírni,–
írhatnád azt, hogy sin²a = 1-cos²a,
aztán pedig ezt behelyettesíthetjük a másikba.
Így átírhatjuk az azonosságot, ami egyenlő volt cos²a-sin²a-val,
de tudjuk, hogy a sin²a ugyanaz, mint ez itt,
így az jön, hogy mínusz,
– váltok is színt –,
tehát - (1-cos²a),
Ezt helyettesítettem be a sin²a helyére.
Így ez egyenlő azzal, hogy cos²a - 1 + cos²a.
Ami pedig összevonva nem más...
itt folytatom jobbra.
Itt van egy cos²a plusz még egy cos²a,
azaz 2cos²a - 1.
Ez az egész egyenlő a cos(2a)-val.
Mi lenne akkor, ha azt az azonosságot keresném,
amelyik a cos²a-t fejezi ki ebből?
Rendezhetjük akár úgy is.
Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz egyet ebben az egyenletben...
Először hadd keretezzem be, mert ez is egy azonosság...
Ha hozzáadunk egyet az egyenlet mindkét oldalához,
azt kapjuk, hogy 2・cos²a = cos(2a) + 1.
És ha elosztjuk mindkét oldalt kettővel,
azt kapjuk, hogy cos²a =,
átrendezhetjük a sorrendet, ha akarjuk,
tehát cos²a = ½ (1+cos(2a)).
És kész vagyunk!
Ez pedig még egy azonosság:
cos²a. Úgy is hívják ezt néha, hogy „hatványcsökkentő azonosság”.
Mi lenne, ha a sin²a-val akarnánk kifejezni valamit?
Visszaugorhatunk ide, és azt az azonosságot már ismerjük,
hogy a sin²a= 1-cos²a,
vagy elindulhattunk volna a másik irányba,
és kivonhattunk volna sin²a-t mindkét oldalból,
és akkor azt kaptuk volna – ide lentre írom –,
ha a sin²a-t vontam volna ki mindkét oldalból,
azt kaptuk volna, hogy cos²a = 1-sin²a.
Ezután visszanézhetnénk erre az azonosságra itt,
és írhatnánk azt – kékkel fogom írni –, hogy cos(2a) =
és a cos²a helyére pedig írhatom ezt itt,
azaz, hogy ez egyenlő (1- sin²a) - sin²a.
Tehát a cos(2a) mivel egyenlő?
Itt van egy -sin²a és még egy -sin²a,
így ebből az lesz, hogy 1-2sin²a.
Megvan még egy azonosság:
egy másik mód a cos(2a) kifejezésére.
Sok képletet felfedeztünk már a cos(2a) kifejezésére.
Ha pedig sin²a-t akarjuk kifejezni,
akkor az egyenlet mindkét oldalához hozzáadnánk,
és ide fogom írni, csak hogy helyet spóroljak...
lejjebb görgetek egy kicsit... és azt kapjuk,
ha mindkét oldalhoz hozzáadok 2sin²a-t,
azt kapjuk, hogy 2sin²a + cos(2a) = 1.
Aztán kivonunk mindkét oldalból cos(2a)-t,
és azt kapjuk, hogy 2sin²a = 1 - cos(2a).
Aztán elosztjuk mindkét oldalt 2-vel,
és azt kapjuk, hogy sin²a = ½・(1-cos(2a)).
Meg is van a következő felfedezésünk, ha hívhatjuk annak.
Mindig érdekes megnézni a szimmetriát is.
Ez például megegyezik a cos²a azonossággal,
kivéve, hogy +cos(2a) van a koszinusz négyzetesben,
itt pedig -cos(2a) van a szinusz négyzetesben.
Szóval már felfedeztünk sok érdekes dolgot.
Nézzük meg, hátha találunk valamit a sin(2a)-ra!
Választok egy másik színt, amit még nem használtam.
Már majdnem mindet használtam.
Tehát, ha a sin(2a)-t keresem, akkor tudom,
hogy ez ugyanaz, mint sin(a+a),
ami nem más, mint sin a・cos a +
és az „a” itt a cos(„a”)-ban a „második a”-ra vonatkozott.
Egyszerűen a sin(a+b) azonosságot használom.
Így jön még +sin(„második a”)・cos(„első a”).
Gyakorlatilag ugyanazt írtam le kétszer,
úgyhogy ebből 2・sin a・cos a lesz.
Ez kicsit egyszerűbb volt.
sin(2a) egyenlő ezzel.
Ez tehát még egy azonosság.
Már én is kezdek kicsit fáradni ettől a sok szinusztól és koszinusztól,
de felelevenítettem mindent, ami az analízis feladataimhoz kellett.
Remélem, hogy ez egy jó ismétlés volt neked is, mert nekem az volt.
Leírthatod vagy megjegyezheted ezeket, ha akarod,
de ami igazán fontos, az az, hogy észrevedd,
hogy el tudsz jutni az összes képlethez
ezekből az első azonosságokból itt fent.
Akár azokat is be tudnám bizonyítani
a szögfüggvények alapvető definíciói segítségével.