WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.790
Már csináltam jó pár olyan videót arról a témáról, 
amit most fogunk átvenni,

00:00:03.790 --> 00:00:06.400
azaz a trigonometrikus azonosságokról.

00:00:06.400 --> 00:00:09.830
Azért csinálok még egyet, 
mert szükségem volt az ismétlésre,

00:00:09.830 --> 00:00:13.077
ugyanis éppen olyan analízis feladatokon dolgoztam, 
amelyekhez jól kellett ezt tudnom,

00:00:13.077 --> 00:00:15.150
és most már van jobb felvevő szoftverem is,

00:00:15.150 --> 00:00:17.620
úgyhogy gondoltam, „két legyet egy csapásra” alapon,

00:00:17.620 --> 00:00:22.290
felveszem még egyszer a videót,
és így felelevenítem az anyagot a saját fejemben is.

00:00:22.290 --> 00:00:25.080
Szóval azt fogom feltételezni, 
hogy a következő azonosságokat már ismerjük,

00:00:25.080 --> 00:00:26.850
mert már korábban csináltam róluk videókat,

00:00:26.850 --> 00:00:30.120
és elég összetettek ahhoz, 
hogy itt most ismét bizonyítsuk őket.

00:00:30.120 --> 00:00:47.640
sin(a+b)= sin a・cos b + sin b・cos a

00:00:47.640 --> 00:00:50.581
Ez lesz az első a videóban, 
amit feltételezek, hogy már ismerünk.

00:00:50.581 --> 00:00:54.120
Ha pedig a... hadd írjam át ezt egy kicsit!

00:00:54.120 --> 00:00:56.670
Mi van akkor, ha azt akarom tudni,

00:00:56.670 --> 00:01:01.890
hogy mi a sin(a+ (-c))?

00:01:01.890 --> 00:01:04.910
Ez ugyanaz, mint a sin(a-c), ugye?

00:01:04.910 --> 00:01:07.310
Hát, használhatjuk ezt a fenti képletet,

00:01:07.310 --> 00:01:24.020
és mondhatjuk, hogy ez nem más, mint 
sin a・cos(-c) + sin(-c)・cos a.

00:01:24.020 --> 00:01:28.301
És azt már tudjuk, vagy legalábbis 
feltételezem ebben a videóban, hogy ezt is tudjuk,

00:01:28.301 --> 00:01:35.410
hogy a cos(-c) = cos(c) -vel.

00:01:35.410 --> 00:01:37.690
A koszinusz páros függvény,

00:01:37.690 --> 00:01:43.420
ami felismerhető a függvény grafikonját 
vagy akár az egységkört megfigyelve.

00:01:43.420 --> 00:01:45.240
A szinusz pedig páratlan függvény,

00:01:45.240 --> 00:01:53.010
ezért sin(-c) = -sin c.

00:01:53.010 --> 00:01:57.630
Ezt a két dolgot felhasználhatjuk ahhoz, 
hogy átírjuk a második sort itt fent,

00:01:57.630 --> 00:02:11.210
és az lesz belőle, hogy sin(a-c) = sin a・cos c 
– mivel a cos(-c) ugyanaz, mint a cos(c) –,

00:02:11.210 --> 00:02:16.740
majd jön a -sin(c), amit a sin(-c) helyett írtam,

00:02:16.740 --> 00:02:23.220
tehát a második fele a -sin c・cos a.

00:02:23.220 --> 00:02:27.590
Ezt úgy-ahogy bebizonyítottuk úgy, 
hogy már tudtuk ezt és ezt korábbról.

NOTE Paragraph

00:02:27.590 --> 00:02:28.190
Elfogadható.

00:02:28.190 --> 00:02:32.480
Ezeket fogom használni, hogy bebizonyítsak 
több más trigonometrikus azonosságot is,

00:02:32.480 --> 00:02:34.110
amelyekre szükségem lesz.

00:02:34.110 --> 00:02:42.100
Egy másik ilyen trigonometrikus azonosság 
a cos(a+b) = cos a...

00:02:42.100 --> 00:02:45.390
Ne keverjük össze itt a szinuszokat a koszinuszokkal!

00:02:45.390 --> 00:02:51.120
cos a・sin b...bocsánat.

00:02:51.120 --> 00:02:53.720
Most mondtam, hogy ne keverjük össze őket, 
erre összekevertem őket.

00:02:53.720 --> 00:03:03.010
Tehát az lesz, hogy cos a・cos b - sin a・sin b.

00:03:03.010 --> 00:03:08.140
És ha azt akarod tudni, hogy mi a cos(a-b),

00:03:08.140 --> 00:03:09.890
akkor ugyanezeket a szabályokat 
fogod használni,

00:03:09.890 --> 00:03:12.760
a cos(-b) az csak cos b lesz,

00:03:12.760 --> 00:03:20.010
és mivel a cos(-b) ugyanaz, mint cos b, 
így ebből cos a・cos b lesz,

00:03:20.010 --> 00:03:26.600
aztán itt jobbra ugye sin(-b) lesz, 
ami ugyanaz, mint a -sin b,

00:03:26.600 --> 00:03:34.070
és mínusszor mínusz az plusz, 
így végül az lesz, hogy + sin a・sin b.

00:03:34.070 --> 00:03:37.370
Kicsit becsapós, hogy amikor plusz van itt, 
akkor mínusz lesz ott,

00:03:37.370 --> 00:03:40.570
és amikor mínusz van itt, 
akkor plusz lesz ott.

00:03:40.570 --> 00:03:43.470
De azért érthető. 
Nem akarok sok időt ezekkel tölteni,

00:03:43.470 --> 00:03:46.750
mert még sok-sok azonosságot 
kell megmutatnunk.

00:03:46.750 --> 00:03:53.440
Mi lenne, ha arra keresnék azonosságot, 
hogy mi a cos(2a)?

00:03:53.440 --> 00:04:01.500
cos(2a) az ugyanaz, mint a cos(a+a)!

00:04:01.500 --> 00:04:03.480
Ehhez pedig használhatjuk ezt a fenti azonosságot.

00:04:03.480 --> 00:04:05.750
A második „a” az nem más mint a „b”,

00:04:05.750 --> 00:04:18.010
így ez az lesz, hogy cos a・cos a - sin a・sin a.

00:04:18.010 --> 00:04:21.560
A „b” is „a” ebben a képletben,

00:04:21.560 --> 00:04:26.570
és ezt átírhatom úgy is, hogy cos²a,

00:04:26.570 --> 00:04:30.960
mivel cos a-t szoroztuk önmagával,

00:04:30.960 --> 00:04:34.740
aztán pedig -sin²a.

00:04:34.740 --> 00:04:37.910
Ez pedig itt már egy azonosság.

00:04:37.910 --> 00:04:42.240
cos(2a) = cos²a - sin²a.

00:04:42.240 --> 00:04:47.410
Hadd keretezzem be az azonosságokat, 
amiket megmutatunk ebben a videóban!

00:04:47.410 --> 00:04:49.280
Ez az, amit most mutattam meg.

00:04:49.280 --> 00:04:51.050
De mi van akkor, ha nem vagyok megelégedve,

00:04:51.050 --> 00:04:53.700
és csak koszinuszokkal akarnám kifejezni ezt?

00:04:53.700 --> 00:04:58.450
Felidézhetnénk az egységkörös definícióját 
ezeknek a szögfüggvényeknek.

00:04:58.450 --> 00:05:00.740
Valójában a legalapvetőbb azonosság

00:05:00.740 --> 00:05:06.890
az az, hogy sin²a + cos²a = 1.

00:05:06.890 --> 00:05:09.103
Vagy, írhatnád úgy is,

00:05:09.103 --> 00:05:11.400
– hadd gondoljam végig, 
hogy lenne a legjobb ezt leírni,–

00:05:11.400 --> 00:05:18.670
írhatnád azt, hogy sin²a = 1-cos²a,

00:05:18.670 --> 00:05:21.330
aztán pedig ezt behelyettesíthetjük 
a másikba.

00:05:21.330 --> 00:05:28.610
Így átírhatjuk az azonosságot, 
ami egyenlő volt cos²a-sin²a-val,

00:05:28.610 --> 00:05:32.060
de tudjuk, hogy a sin²a ugyanaz, mint ez itt,

00:05:32.060 --> 00:05:33.960
így az jön, hogy mínusz,

NOTE Paragraph

00:05:33.960 --> 00:05:35.440
– váltok is színt –,

00:05:35.440 --> 00:05:39.020
tehát - (1-cos²a),

00:05:39.020 --> 00:05:42.280
Ezt helyettesítettem be a sin²a helyére.

00:05:42.280 --> 00:05:49.890
Így ez egyenlő azzal, hogy cos²a - 1 + cos²a.

00:05:49.890 --> 00:05:52.270
Ami pedig összevonva nem más...

00:05:52.270 --> 00:05:54.030
itt folytatom jobbra.

00:05:54.030 --> 00:05:57.110
Itt van egy cos²a plusz még egy cos²a,

00:05:57.110 --> 00:06:02.780
azaz 2cos²a - 1.

00:06:02.780 --> 00:06:08.520
Ez az egész egyenlő a cos(2a)-val.

00:06:08.520 --> 00:06:11.330
Mi lenne akkor, ha azt az 
azonosságot keresném,

00:06:11.330 --> 00:06:13.710
amelyik a cos²a-t fejezi ki ebből?

00:06:13.710 --> 00:06:15.320
Rendezhetjük akár úgy is.

00:06:15.320 --> 00:06:17.930
Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz egyet 
ebben az egyenletben...

00:06:17.930 --> 00:06:21.460
Először hadd keretezzem be, 
mert ez is egy azonosság...

00:06:21.460 --> 00:06:25.920
Ha hozzáadunk egyet az egyenlet 
mindkét oldalához,

00:06:25.920 --> 00:06:36.750
azt kapjuk, hogy 2・cos²a = cos(2a) + 1.

00:06:36.750 --> 00:06:39.260
És ha elosztjuk mindkét oldalt kettővel,

00:06:39.260 --> 00:06:43.610
azt kapjuk, hogy cos²a =,

00:06:43.610 --> 00:06:47.850
átrendezhetjük a sorrendet, ha akarjuk,

00:06:47.850 --> 00:06:54.480
tehát cos²a = ½ (1+cos(2a)).

00:06:54.480 --> 00:06:56.270
És kész vagyunk!

00:06:56.270 --> 00:06:59.570
Ez pedig még egy azonosság:

00:06:59.570 --> 00:07:07.120
cos²a. Úgy is hívják ezt néha, 
hogy „hatványcsökkentő azonosság”.

00:07:07.120 --> 00:07:11.080
Mi lenne, ha a sin²a-val akarnánk 
kifejezni valamit?

00:07:11.080 --> 00:07:15.050
Visszaugorhatunk ide, 
és azt az azonosságot már ismerjük,

00:07:15.050 --> 00:07:17.750
hogy a sin²a= 1-cos²a,

00:07:17.750 --> 00:07:18.930
vagy elindulhattunk volna a másik irányba,

00:07:18.930 --> 00:07:22.910
és kivonhattunk volna sin²a-t mindkét oldalból,

00:07:22.910 --> 00:07:25.000
és akkor azt kaptuk volna – ide lentre írom –,

00:07:25.000 --> 00:07:27.570
ha a sin²a-t vontam volna ki mindkét oldalból,

00:07:27.570 --> 00:07:34.050
azt kaptuk volna, hogy cos²a = 1-sin²a.

00:07:34.050 --> 00:07:36.980
Ezután visszanézhetnénk erre az azonosságra itt,

00:07:36.980 --> 00:07:48.330
és írhatnánk azt – kékkel fogom írni –, hogy cos(2a) =

00:07:48.330 --> 00:07:50.750
és a cos²a helyére pedig írhatom ezt itt,

00:07:50.750 --> 00:07:59.297
azaz, hogy ez egyenlő (1- sin²a) - sin²a.

00:07:59.297 --> 00:08:05.525
Tehát a cos(2a) mivel egyenlő?

00:08:05.525 --> 00:08:08.420
Itt van egy -sin²a és még egy -sin²a,

00:08:08.420 --> 00:08:13.600
így ebből az lesz, hogy 1-2sin²a.

00:08:13.600 --> 00:08:15.480
Megvan még egy azonosság:

00:08:15.480 --> 00:08:19.190
egy másik mód a cos(2a) kifejezésére.

00:08:19.190 --> 00:08:22.740
Sok képletet felfedeztünk már a 
cos(2a) kifejezésére.

00:08:22.740 --> 00:08:25.467
Ha pedig sin²a-t akarjuk kifejezni,

00:08:25.467 --> 00:08:27.610
akkor az egyenlet mindkét oldalához 
hozzáadnánk,

00:08:27.610 --> 00:08:32.554
és ide fogom írni, csak hogy helyet spóroljak...

00:08:32.554 --> 00:08:36.230
lejjebb görgetek egy kicsit... és azt kapjuk,

00:08:36.230 --> 00:08:40.520
ha mindkét oldalhoz hozzáadok 2sin²a-t,

00:08:40.520 --> 00:08:51.150
azt kapjuk, hogy 2sin²a + cos(2a) = 1.

00:08:51.150 --> 00:08:53.690
Aztán kivonunk mindkét oldalból cos(2a)-t,

00:08:53.690 --> 00:09:01.010
és azt kapjuk, hogy 2sin²a = 1 - cos(2a).

00:09:01.010 --> 00:09:04.020
Aztán elosztjuk mindkét oldalt 2-vel,

00:09:04.020 --> 00:09:12.280
és azt kapjuk, hogy sin²a = ½・(1-cos(2a)).

00:09:12.280 --> 00:09:18.600
Meg is van a következő felfedezésünk, 
ha hívhatjuk annak.

00:09:18.600 --> 00:09:21.070
Mindig érdekes megnézni a szimmetriát is.

00:09:21.070 --> 00:09:23.070
Ez például megegyezik a cos²a azonossággal,

00:09:23.070 --> 00:09:26.320
kivéve, hogy +cos(2a) van a 
koszinusz négyzetesben,

00:09:26.320 --> 00:09:30.600
itt pedig -cos(2a) van a szinusz négyzetesben.

00:09:30.600 --> 00:09:33.440
Szóval már felfedeztünk sok érdekes dolgot.

00:09:33.440 --> 00:09:40.120
Nézzük meg, hátha találunk valamit a sin(2a)-ra!

00:09:40.120 --> 00:09:42.980
Választok egy másik színt, amit még nem használtam.

00:09:42.980 --> 00:09:44.880
Már majdnem mindet használtam.

00:09:44.880 --> 00:09:49.420
Tehát, ha a sin(2a)-t keresem, akkor tudom,

00:09:49.420 --> 00:09:54.380
hogy ez ugyanaz, mint sin(a+a),

00:09:54.380 --> 00:10:08.820
ami nem más, mint sin a・cos a +

00:10:08.820 --> 00:10:12.600
és az „a” itt a cos(„a”)-ban a „második a”-ra vonatkozott.

00:10:12.600 --> 00:10:15.600
Egyszerűen a sin(a+b) azonosságot használom.

00:10:15.600 --> 00:10:19.870
Így jön még +sin(„második a”)・cos(„első a”).

00:10:19.870 --> 00:10:21.820
Gyakorlatilag ugyanazt írtam le kétszer,

00:10:21.820 --> 00:10:26.370
úgyhogy ebből 2・sin a・cos a lesz.

00:10:26.370 --> 00:10:27.700
Ez kicsit egyszerűbb volt.

00:10:27.700 --> 00:10:32.030
sin(2a) egyenlő ezzel.

00:10:32.030 --> 00:10:35.920
Ez tehát még egy azonosság.

00:10:35.920 --> 00:10:39.640
Már én is kezdek kicsit fáradni ettől a sok 
szinusztól és koszinusztól,

00:10:39.640 --> 00:10:43.030
de felelevenítettem mindent, 
ami az analízis feladataimhoz kellett.

00:10:43.030 --> 00:10:48.220
Remélem, hogy ez egy jó ismétlés volt neked is, 
mert nekem az volt.

00:10:48.220 --> 00:10:50.830
Leírthatod vagy megjegyezheted ezeket, ha akarod,

00:10:50.830 --> 00:10:53.260
de ami igazán fontos, az az, hogy észrevedd,

00:10:53.260 --> 00:10:55.440
hogy el tudsz jutni az összes képlethez

00:10:55.440 --> 00:11:00.250
ezekből az első azonosságokból itt fent.

00:11:00.250 --> 00:11:03.760
Akár azokat is be tudnám bizonyítani

00:11:03.760 --> 00:11:07.000
a szögfüggvények alapvető definíciói segítségével.