让我们来学习解绝对值方程式
先来复习下
当计算一个数值的绝对值时
以-1为例 来计算绝对值
你需要做的是
计算出1与0之间的距离
对-1来说 下面以数轴示例
这个没画好
这是数轴 这是0
这是-1
-1与0之间的距离是1
那-1的绝对值就是1
1和0之间的距离也是1
所以1的绝对值同样是1
也就是说 绝对值为与0之间的距离
来换一种更简单的方式来理解
绝对值其实就是取数值的正值
-7346的绝对值是7346.
理解这点以后 下面
开始学习解绝对值方程式
来看这个方程式
x-5的绝对值等于10
可以这样解读这个等式
也希望能够这样理解 这就是说
x与5之间的距离为10
与5之间的距离是10的数值有几个
大家应该已经想到解法了
不过下面要学习更系统的解法
这个方程式有两种情况
一种是x-5等于10
如果假定绝对值里面的值为10
取绝对值后
会得到10
或者假设x-5等于-10
如果x-5等于-10 取绝对值后
也是10
所以第二种情况是 x-5等于-10
两种情况同时满足这个方程式
先解这个
等式两边加5
得到x=15
再解这个 等式两边加5
x等于-5
得出计算结果
有两个x值满足这个方程式
x可以是15
15-5等于10 取绝对值后
得到10 或者x为-5
-5减5等于-10
取绝对值后 还是10
注意 这两个值
与5之间的距离都是10
再解一个
再来一个
现在有
x+2的绝对值等于6
这说明什么呢
也就是说 要么x+2
也就是绝对值符号里的这个值 它等于6
或者绝对值符号里的这个值
x+2 它等于-6
假设等于-6时
取绝对值后 得到6
那么 假设x+2等于-6
然后 等式两边减2
得到 x等于4
再看这个方程式 两边减2
得到x等于-8
这就是方程式的两种解法
为了加深理解
对于绝对值 可以把它看成是距离
这样重写这个绝对值方程式
x减-2的绝对值等于6
其实就是说
哪些值与-2之间的距离刚好是6呢
还记得吗 在这里讲过
哪些值与5之间的距离是10
不管被5减的值是几
它们与5之间的距离肯定是10
这边呢
哪些值与-2之间的距离是6
那就是4 或-8
自己试着验证下结果
再做一个
再来一个 这次用紫色
这有4x的绝对值
来计算一个有难度的
4x减1
4x-1的绝对值 等于--
这里让它等于19
这样 跟之前的解法一样
一种情况是4x减1等于19
另一种情况是4x减1等于-19
因为当取绝对值以后
都会得到19
或者4x减1等于-19
现在只需要解这两个方程式
等式两边加1
两个同时做
两边加1后 得到4x等于20
这两边加1后
得到4x等于-18
等式两边除4 得到x等于5
这个等式两边除4 得到x等于-18/4
也等于-9/2
这两个x值同时满足这个绝对值方程式
试试看
-9/2乘4
等于-18
-18再减1就是-19
取绝对值后 得到19
等于5时 4乘5是20
减1等于19
再取绝对值以后
还是等于19
下面来画绝对值方程式的图形 增加趣味性
现在有
y等于x+3的绝对值
这是个函数 或者说图形
并包含绝对值在里面
这要考虑两种情况
一种情况是
绝对值符号里的这个值为正
也就是x+3
写这边 x+3>0
另一种情况是x+3<0
当x+3>0时
这个图形 或这条直线 这里可能还不能称为一条直线
这个函数 就等同于y=x+3
如果这边这个值是大于0的话
那么绝对值符号就形同虚设
那么这个就完全等同于
y=x+3
那么什么情况下x+3>0
不等式两边减3
得到x>-3
那么当x>-3时
这个图形与y=x+3是等同的
当x+3<0时
在这种情况下
绝对值符号里的值为负
在这种情况下等式就变成
y等于-（x+3）
为什么呢
仔细听 现在这里是负值 如果
x+3是负值
在这个前提下 如果它是负值的话
那么当取负值的绝对值后
它肯定是得到正值
就相当于把它与-1相乘
如果知道是取负值的绝对值
就相当于用这个值乘-1
因为绝对值都是正值
也就是这里所讨论的情况
x+3小于0
两边减3 当x小于-3
当x小于-3
那么当x<-3时
图形应该是这样
当x>-3
图形是这样
下面一起来看
完整的图形
先画数轴
这是x轴 这是y轴
先把这个函数乘出来 这样可以得到mx
加b的函数格式
这个等于-x-3
先看看这种函数图形
的一般形式
-x-3
y轴截距是-3 所以1 2 3
-x那就应该是向下倾斜 也就是
向下斜率为1
看起来就是这样
x轴的截距应该是x等于
当假设y等于0时 这边x
等于-3
穿过这条线
这个点
这个图形 如果没有这里这个限制条件
应该是这样
如果没有区间限制条件
x轴的这个区间限制条件
那么这个图形 应该是怎样的
来看看
y轴截距是3
像这样
x轴的截距呢
当y等于0时 x等于-3
还是一样穿过这个点
斜率为1
那就应该是这样的
这就是这个函数的图形
现在 可以得出结论 绝对值
函数为紫色直线
当x<-3时
当x<-3 这里是x等于
-3 当x<-3
它就是这条紫线
就是这条
上面是当x<-3时的图形
但是如果x>-3时 就应该是
这条绿线了
就是这条
图形看起来很像奇怪的V
当x>-3时 应该是正值
所以这个图形 斜率为正
但当x<-3时 本质上
其实是取这个函数的负值 如果想要
这么理解的话 所以这里是负斜率
如果看到这种V型函数 或是
V型图 那就表明它是
绝对值函数