เรามาลองทำสมการ ที่เกี่ยวกับเรื่อง "ค่าสัมบูรณ์" บ้างดีกว่า
ก่อนอื่นต้องทบทวนก่อน
เวลาเราใส่เครื่องหมาย ค่าสัมบูรณ์ ไปให้ตัวเลข (เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์คือการใส่ l ... l ครอบลงไป)
สมมติว่า ใส่ไปให้ เลข -1
สิ่งที่เราต้องทำคือ
เราจะคิดว่า "เลขนั้นห่างจากเลข 0 เท่าไหร่"
ตอนนี้เรามี -1 , ถ้าลองเขียนเส้นจำนวนดู
(เบี้ยวไปหน่อย)
ถ้าเราเขียนเส้นจำนวน เลข0อยู่ตรงกลาง
เราจะมี -1 อยู่ตรงนี้
จะเห็นได้ว่า ระยะห่างของมันจากเลข 0 คือ 1 หน่วย
สรุปได้ว่า ค่าสัมบูรณ์ของ -1 คือ 1
และค่าสัมบูรณ์ของ 1 ก็คือ 1 หน่วยห่างจาก 0 เช่นกัน
เพราะฉะนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ 1 ก็คือ 1
สรุป ค่าสัมบูรณ์ คือ "ระยะห่าง ว่าเลขตัวนั้นห่างจาก 0 เท่าไหร่"
อีกวิธีคิดที่ง่ายกว่าคือ
เวลาใส่ค่าสัมบูรณ์ลงไป เลขจะกลายเป็นจำนวนบวกเสมอ
ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ -7346 = 7346
เรามาลองทำอีกอันดีกว่า
ลองแก้สมการ ที่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์อยู่ด้วย
สมมติว่ามีสมการ
l x-5 l = 10
เราจะตีความอีกอย่างได้ว่า
ระยะห่างระหว่าง x กับ 5 มีค่าเท่ากับ 10
ดังนั้น จำนวนอีก 10 จำนวน ที่ห่างจาก 5 นั้น จะเป็นเท่าไหร่?
เราก็จะสามารถหาคำตอบได้แล้ว
แต่ฉันจะแสดงวิธีทำแบบเป็นระบบให้ดู
ดังนั้น จำนวนนี้สามารถตีความได้สองแบบ
แบบที่ 1 คือ x-5 = 10
ดังนั้นถ้าเราคิดว่ามันเป็น +10
ถ้าเราใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ลงไป
เราก็จะได้ +10 อยู่ดี
แต่ ในที่นี้ x-5 อาจจะเป็น -10 ก็ได้
ดังนั้น ถ้า x-5 คือ -10 ถ้าเราใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ลงไป
เราก็จะได้ 10 อยู่ดี
ดังนั้น x-5 ก็สามารถเท่ากับ -10 ได้เช่นกัน
ทั้งสองคำตอบสามารถเป็นคำตอบของสมการได้
ดังนั้น ถ้าลองแก้สมการนี้
บวก 5 เข้าไปทั้งสองข้างของสมการ
เราจะได้ x = 15
วิธีการแก้สมการถัดมานี้ คือ ให้ +5 ทั้งสองข้างของสมการ
ดังนั้น x = -5
ดังนั้นคำตอบของเราคือ
เราจะมี x 2 คำตอบ ที่เป็นจริง
x อาจจะเป็น 15
15-5 = 10 , ถ้าใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ลงไป
เราก็จะได้ l 10 l = 10
หรือ x อาจจะเป็น -5 -5 ลบอีก 5 = -10
ถ้าใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์, l -10 l = 10
และจะสังเกตเห็นว่า
ทั้งสองตัวเลขนี้ จะห่างจากเลข 5 อยู่ 10 จำนวน
ลองทำอีกสมการนึงดีกว่า
สมมติว่า
สมมติว่าเรามี
ค่าสัมบูรณ์ของ x+2 = 6
จำนวนนี้บอกอะไรเรา?
จำนวนนี้บอกเรา ว่า x+2 = 6
หรือ x+2 อาจจะได้เท่ากับ
หรือ x+2 อาจจะได้เท่ากับ -6
เพราะถ้า x+2 = -6 เวลาเราใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ลงไป
เราก็จะได้ 6 อยู่ดี
ดังนั้น, x+2 อาจจะเป็น -6 ก็ได้
จากนั้นก็แก้สมการ , นำ 2 ไปลบออกจากทั้งสองข้าง
เราจะได้ x=4
ส่วนถ้าเรา นำ 2 ลบออกจากทั้งสองข้าง ของสมการตรงนี้
เราจะได้ x = -8
ดังนั้นสองคำตอบนี้ คือคำตอบของสมการ
และจากที่เรารู้มา ว่า
เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ ก็คือ การหาระยะห่างระหว่างตัวเลขกับ 0
เราอาจะเขียนโจทย์ใหม่ เป็น
l x - (-2) l = 6
วิธีการคิดก็คือ
x คือจำนวนอะไร ที่ห่างจาก -2 อยู่ 6
จำได้ไหม จากโจทย์แรกเราบอกว่า
x คือจำนวนอะไร ที่ ห่างจาก 5 อยู่ 10
ดังนั้นทั้งสองคำตอบที่เราได้ จะเห็นได้ว่า
ทั้งสองคำตอบที่ได้มานี้ ก็ห่างจาก 5 อยู่ 10 ทั้งคู่
ดังนั้นคำถามนี้ก็คือ
จำนวนอะไร ที่อยู่ห่างจาก -2 อยู่ 6
ดังนั้น จำนวนทั้งสองคือ 4 หรือ -8 นั่นเอง
จะลองนับไล่เลขดูก็ได้
เรามาลองทำโจทย์อีกข้อดีกว่า
ค่าสัมบูรณ์ของ 4x-1
ให้ l 4x -1 l
l 4x-1 l = 19
ก็เหมือนๆกับโจทย์ข้อก่อนๆที่ทำมาแล้ว
4x-1 อาจจะเป็น 19
หรือ 4x-1 อาจจะเป็น -19
เพราะหลังจากที่ทำเป็นค่าสัมบูรณ์ออกมาแล้ว
เราก็จะได้ 19 อยู่ดี
ดังนั้น 4x-1 จะเท่ากับ -19 ก็ได้
จากนั้นก็คือการแก้สมการ
+1 เข้าไปทั้งสองข้างของสมการ
เราจะบวกเข้าไปพร้อมกัน
บวก 1 เข้าไปทั้งสองข้าง , จะได้ 4x = 20
อีกข้างก็ +1 เข้าไปทั้งสองข้างของสมการ
เราจะได้ 4x = -18
หารทั้งสองข้างด้วย 4 , เราจะได้ x=5
มาอีกสมการ , หารทั้งสองข้างด้วย 4 เราจะได้ x = -18/4
ซึ่งนั้นก็คือ -9/2
ทั้งสองคำตอบนี้ คือคำตอบของสมการ
ลองแทนค่ากลับดู เพื่อดูว่าถูกต้องไหม
-9/2 คูณ 4
จะได้ -18
-18 ลบออกอีก 1 ก็จะได้ -19
ใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ลงไป เราจะได้ 19
ถ้า x = 5 ; 4 x 5 = 20
20-1 = 19
ถ้าเราใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์
เราจะได้ l 19 l = 19
เรามาลองเขียนกราฟหรือฟังค์ชั่นกันเล่นๆดีกว่า
สมมติว่า
ให้ y มีค่าเท่ากับ l x+3 l
นี่จะเป็นกราฟ
ที่มีค่าสัมบูรณ์อยู่ด้วย
สมมติให้มี 2 เหตุการณ์ ละกัน
เหตุการณ์ที่ 1 ; คือ
เลขที่อยู่ในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ เป็น จำนวนบวก
เราจะได้ x+3 มีค่ามากกว่า 0
x+3 มากกว่า 0
และเหตุการณ์ที่ 2; คือ x+3 มีค่าน้อยกว่า 0
เมื่อ x+3 มีค่ามากกว่า 0
ในกราฟนี้ หรือ ในฟังค์ชั่นนี้
ก็จะมีค่าเหมือน y = x+3
ถ้ามันมีค่ามากกว่า 0
ดังนั้นจะใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์หรือไม่ ก็ค่าเท่ากัน
ดังนั้นในกรณีนี้ y=lx+3l ก็จะเท่ากับ y=x+3
ถ้า x+3 มากกว่า 0
ถ้าเรา ลบ 3 ออกจากทั้งสองข้าง
เราจะได้ x มากกว่า -3
และเมื่อ x มากกว่า -3
กราฟก็จะมีลักษณะเป็น y = x+3
แต่ถ้า x+3 น้อยกว่า 0
เวลาที่จำนวนในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์เป็น จำนวนลบ
เราก็จะได้
y = - (x+3)
ดังนั้น ถ้ามันเป็นจำนวนลบ
ถ้า x+3 เป็นจำนวนลบ
ถ้าเราใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ ให้ จำนวนลบ
ก็คือการเปลี่ยนมันให้เป็นจำนวนบวก
ก็เหมือนการ นำ -1 คูณเข้าไป
ถ้าเราใส่เครืองหมายค่าสัมบูรณ์ให้จำนวนลบ
ก็เหมือนกับการ นำ -1 ไปคูณ นั่นเอง
เพราะเรากำลังจะทำให้มันเป็นจำนวนบวก
ดังนั้น กลับมาดูที่สมการนี้
x +3 น้อยกว่า 0
ถ้าเรานำ 3 ลบออกทั้งสองข้าง
เรานำ 3 ลบออกทั้งสองข้าง เมื่อ x น้อยกว่า -3
ดังนั้น เมื่อ x น้อยกว่า -3 , กราฟก็จะเป็นแบบนี้
ถ้า x มากกว่า -3 , กราฟก็จะเป็นแบบตรงนี้
มาดูกันว่า ทั้งสองสมการนั้น จะทำให้กราฟเป็นยังไง
เริ่มวาดกราฟ โดยเขียนแกน x และ แกน y ขึ้นมา
จากสมการนี้ เราจะได้ y = -x - 3
มาดูกันดีกว่า ว่า กราฟนี้จะเป็นยังไง
จาก y = -x -3
ที่แกน y ก็จะต้องเป็น -3
และ -x หมายความว่า เป็น เส้นเอียงลงไปทางขวา แบบนี้
ความชันเส้น เป็น 1
เส้นมันจะเอียงไปประมาณนี้
ต่อมา คือ ต้องดูว่าเส้นนี้ตัดแกน x ที่ไหน
ถ้าเราให้ y ในสมการเป็น 0 ,
x จะเท่ากับ -3
เวลาลากเส้นต่อทั้งสองจุดเข้าด้วยกัน มันก็จะเป็นแบบนี้
และถ้ากราฟไม่ได้มีข้อจำกัดอะไร
ก็ต่อเส้นออกมาตามปกติ กราฟก็จะเป็นแบบนี้
(แบบนี้คือเราไม่ได้จำกัดช่วงที่แน่นอนในแกน x)
มาดูอีกกราฟกัน ว่าจะเป็นยังไง
จุดที่แกน y ของมัน จะมีค่าเท่ากับ 3 แบบนี้
จากนั้นก็หาจุดตัดที่แกน x
ถ้า y=0 , x จะเท่ากับ -3
มันจะก็ตัดที่จุด -3 ที่แกน x เหมือนสมการแรกเช่นเดียวกัน
และมีความชัน เป็น 1
มันก็จะมีลักษณะประมาณนี้
นี่คือลักษณะกราฟ จากสมการที่เรามี
แต่ที่เราต้องคิด คือ จากสมการสีม่วงข้างบน เราจะเห็นว่า
ที่เส้นแรก x ต้องมีค่า น้อยกว่า -3 เท่านั้น
ดังนั้น ถ้า x ต้องมีค่า น้อยกว่า -3
มันก็จะเขียนในกราฟได้ แค่ช่วงเส้นสีม่วงตรงนี้
แต่อีกสมการ บอกว่า x ต้องมากกว่า -3
ดังนั้นเส้นที่สอง เราต้องให้ x มากกว่า -3 เท่านั้น
ก็จะเป็นแบบนี้
เมื่อนำมาไว้ด้วยกัน กราฟจะดูเหมือนตัว V
เมื่อ x มีค่ามากกว่า -3,
ดังนั้นความชันจะเป็นบวก เส้นจะเอียงไปอีกทาง
แต่ถ้า x มีค่าน้อยกว่า -3 ,
ความชันของเส้น ก็จะเป็นลบ เส้นจะเอียงแบบนี้
ดังนั้นฟังค์ชั่น ที่เราได้นั้น ก็จะเป็น ฟังค์ชั่นรูปตัว V แบบนี้ ซึ่งเป็นลักษณะของกราฟของสมการค่าสัมบูรณ์นั่นเอง