Laten we wat vergelijkingen doen met absolute waardes.
En nog even ter herinnering, als je de absolute waarde neemt
van een getal.
Laten we zetten, ik neem de absolute waarde van min 1.
Wat je dan eigenlijk doet is zeggen, hoe ver is dat van
het getal 0 af?
En in het geval van min 1, als we een getallenlijn tekenen, daar ---
-- dat is een erg slecht getekende getallenlijn.
Als we daar een getallenlijn tekenen, dan is dat 0.
Dan heb je daar de min 1.
OK, dat is 1 vanaf 0.
Dus de absolute waarde van min 1 is 1.
En de absolute waarde van 1 is ook 1 vanaf 0.
Dat is ook gelijk aan 1.
In zekere zin is de absolute waarde de afstand vanaf 0.
Maar een andere, ik denk simpelere manier van denken,
geeft altijd de positieve waarde van het getal.
De absolute waarde van min 7,346 is gelijk aan 7,346.
Dus met dat in het achterhoofd gaan we wat vergelijkingen doen
met absolute waardes erin.
Laten we zeggen: ik heb een vergelijking van
x min 5 is gelijk aan 10.
En een manier om dat uit te leggen is dit, en ik wil dat je erover
nadenkt, dit is eigenlijk hetzelfde zeggen als dat de afstand
tussen x en 5 is gelijk aan 10.
Hoeveel getallen is 10 precies af van 5?
En je kan alvast bedenken wat de oplossing is van deze vergelijking,
maar ik zal je laten zien hoe je dat systematisch oplost.
Dit is waar in twee situaties.
Of x min 5 is gelijk aan plus 10.
Als hier plus 10 uitkomt, als je de
absolute waarde ervan neemt, dan krijg je
plus 10.
Of x min 5 zou min 10 worden.
Als blijkt dat uit min 5 min 10 komt,
als je de absolute waarde ervan neemt, zou je weer 10 krijgen.
Dus x min 5 zou ook gelijk zijn aan min 10.
Beide antwoorden kloppen in deze vergelijking.
Om deze op te lossen, moet je 5 aan beide
kanten van de vergelijking optellen.
Je krijgt dan x is gelijk aan 15.
Om deze op te lossen, moet je 5 aan beide kanten van de vergelijking optellen.
x is gelijk aan min 5.
Dus onze oplossing is dat twee x´en
kloppen in deze vergelijking.
x zou 15 kunnen zijn.
15 min 5 is 10, neem de absolute waarde, en je
krijgt 10, of x zou min 5 kunnen zijn.
Min 5 min 5 is min 10.
Neem de absolute waarde en je krijgt 10.
En let op, beide getallen zijn precies 10 vanaf
het getal 0.
Laten we er nog zo een doen.
Laten we er nog een doen.
Laten we zeggen dat we de absolute waarde hebben van x plus
2 is gelijk aan 6.
Wat zegt ons dat dus?
Dat zegt ons dat of x plus 2, dat ding binnen
de absolute waardetekens, is gelijk aan 6.
Of het ding binnen de absolute waardetekens, de x
plus 2, zou ook min 6 kunnen zijn.
Als dit geheel min 6 blijkt, en je neemt de
absolute waarde, dan krijg je 6.
Dus, of x plus 2 kan gelijk zijn aan min 6.
Als je dan 2 aftrekt van beide zijden van deze
vergelijking, dan krijg je x kan gelijk zijn aan 4.
Als je 2 aftrekt van beide zijden van deze vergelijking,
dan krijg je x kan gelijk zijn aan min 8.
Dus dit zijn de twee oplossingen van de vergelijking.
En om het goed in je geheugen te printen, die
absolute waarde kan je zien als een afstand, je
kan dit probleem herschrijven als de absolute waarde van x min
min 2 is gelijk aan 6.
Dat is dus hetzelfde als, wat zijn de x´en die precies 6
af is van min 2?
Wat zeiden we dus hierboven, wat zijn de x´en die
precies 10 vanaf plus 5 zijn?
Welk getal je ook aftrekt van plus 5,
deze zijn beide 10 vanaf plus 5 af.
Dit is zeggen, wat is precies 6 vanaf
min 2?
En dat zal 4 zijn, of min 8.
Je kunt die twee getallen zelf uitproberen.
Laten we nog zo een doen.
Laten we nog een doen, en dat doen we in paars.
Laten we zeggen dat we de absolute waarde hebben van 4x. Ik ga dit
probleem iets aanpassen.
4x min 1.
De absolute waarde van 4x min 1, is gelijk aan
dat laat ik zo -- is gelijk aan 19.
Dus, net als de laatste paar problemen, 4x min 1 zou
gelijk zijn aan 19.
Of 4x min 1 zou min 19 worden.
Omdat je dan, als je de absolute waarde ervan neemt,
weer 19 krijgt.
Of 4x min 1 zou gelijk kunnen zijn aan min 19.
Dan los je deze vergelijkingen op.
Tel 1 op bij beide zijden van de vergelijking. We kunnen ze
zelfs tegelijk doen.
Tel 1 op bij beide kanten, dan krijg je 4x is gelijk aan 20.
Tel 1 op bij beide zijden en je krijgt 4x is gelijk aan
min 18.
Deel beide zijden door 4, dan krijg je x is gelijk aan 5.
Deel beide zijden door 4, dan krijg je x is gelijk aan
min 18 gedeeld door 4, wat gelijk is aan min 9/2.
Dus beide van deze x-waardes voldoet aan de vergelijking.
Probeer maar.
Min 9/2 keer 4.
Dat wordt min 18.
Min 18 min 1 is min 19.
Neem de absolute waarde en je krijgt 19.
Je zet hier een 5, 4 keer 5 is 20.
Min 1 is plus 19.
Je neemt dus de absolute waarde.
Nogmaals, je krijgt een 19.
Laten we een van deze eens tekenen, gewoon voor de lol.
Laten we zeggen: ik heb y is gelijk aan de absolute
waarde van x plus 3.
Dus dit is een functie, of grafiek, met een
absolute waarde erin.
Dus denk eens aan twee scenario´s.
Er is een scenario waar het ding binnen de absolute waardetekens
positief is.
Dus je hebt een scenario waar x is plus 3 -- Ik zal het
hier schrijven -- x plus 3 is groter dan 0.
En dan heb je een scenario waar x plus 3 is minder dan 0.
Als x plus 3 is groter dan 0, deze grafiek, of deze lijn --
of misschien kunnen we het een lijn noemen -- deze functie is
hetzelfde als y is gelijk aan x plus 3.
Als dit ding hier groter is dan 0, dan is het
absolute waarde-teken niet relevant.
Dus dan is dit ding hetzelfde als y is
gelijk aan x plus 3.
Maar wanneer is x plus 3 groter dan 0?
Welnu, als je 3 aftrekt van beide zijden, dan krijg je dat x is
groter dan min 3.
Dus als x is groter dan min 3, dan gaat deze grafiek
eruit zien als y is gelijk aan x plus 3.
Nou, als x plus 3 minder is dan 0.
Wanneer de situatie zo is dat dit -- binnen de
absolute waardetekens -- negatief is, dan is in die situatie
deze vergelijking y is gelijk aan
min x plus 3.
Hoe kunnen we dat zeggen?
Nou, kijk, als dit een negatief getal is, als x
plus 3 een negatief getal wordt -- dat is namelijk wat
we hier aannemen -- als het een negatief getal wordt,
als je dan de absolute waarde neem van een negatief
getal, dan maak je het positief.
Dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met min 1.
Als je weet dat je de absolute waarde neemt van een negatief
getal, dan is dat hetzelfde als vermenigvuldigen met min 1,
omdat je het positief maakt.
En dit wordt dat de situatie.
x plus 3 is minder dan 0.
Als we 3 aftrekken van beide zijden, als x minder is dan
min 3.
Dus als x is minder dan min 3, zal de grafiek
er zo uitzien.
Als x groter is dan min 3, zal de grafiek er
zo uitzien.
Laten we kijken hoe de
hele grafiek dan wordt.
Ik zal de assen tekenen.
Dat is mij x-as, dat is mijn y-as.
Laat me dat eens uitvermenigvuldigen, dan krijgen we het
in de mx plus b vorm.
Dit is dus gelijk aan min x min 3.
Dus laten we kijken wat de grafiek dan wordt.
in het algemeen.
Min x min 3.
De y-as is min 3, dus 1,2,3.
En min x betekent dat het naar beneden helt,
het heeft een neerwaartse helling van 1.
Dus wordt het zo.
De x-snijpunt is x is gelijk aan --.
Dus als je zegt dat y is gelijk aan 0, dat gebeurt dan als x is
gelijk aan min 3.
Dus hij gaat dan door deze lijn,
het punt hier.
En de grafiek, als we niet deze beperkte lijn hadden
hier, zou er zo uitzien.
Dat is als we het niet zouden beperken tot deze interval op
de x/as.
Hoe wordt dan de grafiek?
Laten we kijken.
Het heeft het y-as snijpunt bij plus 3.
Zo dus.
En waar is het x-as snijpunt?
Als y gelijk is aan 0, dan is x min 3.
Dus het gaat ook door het punt hier, en het heeft
een helling van 1.
Dus het zou er zo ongeveer uitzien.
Zo zou de grafiek eruit zien.
Nou, wat we nu uitgevonden hebben is dat deze absolute waardefunctie,
eruit ziet als deze paarse grafiek als x is minder dan
min3.
Dus als x is minder dan min 3 -- dat is x is gelijk
aan min 3 hier -- als x is minder dan min
3, dan lijkt het op deze paarse grafiek.
Zo dus.
Dus dat is als x is minder dan min 3.
Maar als x is groter dan min 3, dan lijkt het
op de groene grafiek.
Zo ziet het er dan uit.
De grafiek lijkt dan op deze vreemde v.
Als x is groter dan min 3, is het positief.
Dus hebben we de grafiek van -- we hebben een positieve helling.
Maar als x is minder dan min 3, dan
nemen we eigenlijk de negatieve van de functie, als je het
op die manier wilt zien, en krijgen we dus een negatieve helling.
Dan krijg je eigenlijk deze v-vorm functie, deze v-vormige
grafiek, wat een indicatie is van een functie met een
absolute waarde.