Pojďme si udělat nějaké rovnice, které se zabývají absolutními hodnotami.
A jenom trochu na zopakování, pokud si vezmeme absolutní
hodnotu čísla.
Vezměme si například absolutní hodnotu mínus jedničky.
Co doopravdy děláte, je, že říkáte, jak daleko je toto
číslo od nuly.
A v případě mínus jedničky, pokud si tady nakreslíme číselnou osu,
to je ale ošklivá osa.
Pokud si nakreslíme číselnou řadu, tohle je 0.
Tady máte mínus 1.
Tedy, vzdálenost od nuly je 1.
Takže absolutní hodnota mínus jedničky je 1.
A absolutní hodnota jedničky je také 1, vzdálenost od nuly.
je také rovna 1.
Takže, do jisté míry, absolutní hodnota je vzdálenost od nuly.
Ale další, a myslím si jednodušší způsob, jak o tom přemýšlet, je, že vždy
je výsledkem kladná hodnota tohoto čísla.
absolutní hodnota mínus 7 celých 346 tisícin je 7 celých 346 tisícin.
Takže, s tímto na mysli, pojďme zkusit vyřešit nějaké rovnice
s absolutními hodnotami.
Takže řekněme, že mám rovnici -- absolutní hodnota
"x" mínus 5 je rovna 10ti.
Jeden způsob, jak toto interpretovat, a chci abyste se
nad tím zamysleli, toto nám říká, že vzdálenost
mezi "x" a 5 je rovna 10ti.
Takže kolik je čísel, která jsou přesně ve vzdálenosti 10 od 5ti?
A už můžete myslet na řešení této rovnice,
ale já vám ukážu, jak to vyřešit systematicky.
Bude to platit ve dvou situacích.
Za prvé, buď se "x" mínus 5 rovná 10ti.
Jestliže nám vyjde plus 10, tak pokud
vezmete absolutní hodnotu, dostanete
opět plus 10.
Za druhé, "x" mínus 5 se rovná mínus 10ti.
Jestliže "x" mínus 5 je mínus 10, pokud vezmete
absolutní hodnotu, dostanete opět 10.
Takže "x" mínus 5 se může rovnat mínus 10ti.
Oba tyto příklady splňují tuto rovnici.
Teď, jak vyřešit tohle? Přičtěte 5 k oběma
stranám této rovnice.
Vyjde vám, že "x" se rovná 15ti.
K vyřešení tohoto, přičtěte 5 k oběma stranám této rovnice
"x" se rovná mínus 5ti.
Takže naše řešení -- existují dvě "x", které
splňují tuto rovnici.
Za prvé, "x" může být 15.
15 mínus 5 je 10, absolutní hodnota 10ti je10.
Za druhé, "x" může být mínus 5.
mínus 5 mínus 5 je mínus 10
Absolutní hodnota mínus 10ti je 10.
A všimněte si, obě tato čísla jsou ve vzdálenosti 10
od čísla 5.
Udělejme ještě jeden podobný.
Pojďme si udělat ještě jeden.
Řekněme, že máme absolutní hodnotu
"x" plus 2 rovnu 6ti.
Co nám to říká?
Říká nám to, že buď "x" plus 2 -- že ta věc uvnitř
absolutní hodnoty je rovna 6ti.
Nebo, to uvnitř absolutní hodnoty --
"x" plus 2 může být i mínus 6.
Pokud tato celá věc vyjde mínus 6, vezměte
absolutní hodnotu a dostanete 6.
Nebo "x" plus 2 se může rovnat mínus 6ti.
A pak, pokud odečtete 2 od obou stran této
rovnice, dostanete, že "x" se rovná 4.
Pokud odečteme 2 od obou stran této rovnice,
dostanete, že "x" se rovná mínus 8.
Takže toto jsou dvě řešení rovnice.
A jen tak, abyste to měli v hlavě,
můžete na absolutní hodnotu nahlížet jako na druh vzdálenosti,
můžete přepsat tento problém jako absolutní hodnota "x" mínus mínus 2 se rovná 6ti
absolutní hodnota "x" mínus mínus 2 se rovná 6ti
A to se mě ptá, která "x" jsou vzdálena přesně 6
od mínus 2.
Pamatujte si, že tady jsme si řekli, která "x" jsou
přesně 10 od 5ti.
Ať už kterékoliv z těchto čísel odečtete od 5ti,
tyto obě jsou vzdáleny 10 od 5ti.
Toto se mě ptá, co přesně je vzdáleno 6
od mínus 2?
A bude to buď 4 nebo mínus 8 .
Mohli byste to s těmito čísly zkusit sami.
Udělejme ještě jeden takový příklad.
Udělejme ještě jeden, a uděláme ho fialový.
Řekněme, že máme absolutní hodnotu 4 "x" mínus --
trochu ten problém pozměním.
4 "x" mínus 1
Absolutní hodnota 4 "x" mínus 1 se rovná ...
například... se rovná 19ti.
Takže, stejně jako v posledních několika problémech, 4 "x" mínus 1 může být
rovno 19ti.
Nebo 4 "x" mínus 1 může vyjít mínus 19.
Protože pak, když budete mít absolutní hodnotu,
dostanete znovu 19.
Nebo 4 "x" mínus 1 může být rovna mínus 19.
Pak už stačí vyřešit tyto dvě rovnice.
Přičtěte 1 k oběma stranám této rovnice... můžeme to udělat
zároveň.
Přičtěte 1 na obou stranách, dostanete 4 "x" se rovná 20ti.
Přičtěte 1 na obou stranách této rovnice, dostanete 4 "x" se rovná
mínus 18ti.
Vydělte obě strany 4, dostanete "x" se rovná 5.
Vydělte obě strany 4, dostanete, že "x" se rovná
mínus 18 čtvrtin, což je rovno mínus 9 polovin.
Takže obě tyto hodnoty "x" splňují rovnici.
Zkuste to.
mínus 9 polovin krát 4
To nám vyjde mínus 18.
mínus 18 mínus 1 se rovná mínus 19
Vezměte absolutní hodnotu, dostanete 19.
Dosadíte 5, 4 krát 5 je 20
20 mínus 1 je 19
Vezměte absolutní hodnotu.
A opět, dostanete 19.
Pojďme si jeden příklad nakreslit do grafu, jen tak pro zábavu.
Takže řekněmě, že máme "y", které je rovno absolutní
hodnotě "x" plus 3
Takže, toto je funkce, nebo graf, s
absolutní hodnotou.
Uvažujme dvě situace
Existuje první situace, kde je tahle věc uvnitř absolutní
hodnoty kladná.
Takže budete mít situaci, kde "x" plus 3... napíšu to
tady... "x" plus 3 je větší než nula.
A pak máte situaci, kde "x" plus 3 je menší než nula.
Když "x" plus 3 je větší než nula, tento graf, nebo tato přímka,
...myslím, že to můžeme nazvat přímka... tato funkce je
totéž, co "y" se rovná "x" plus 3.
Pokud tahle věc tady je větší než nula,
znaménko absolutní hodnoty nehraje roli.
Takže tohle je totéž, jako
"y" se rovná plus 3
Ale v jakém případě je "x" plus 3 je větší než nula?
Tedy, pokud od obou stran odečteme 3, dostaneme, že
"x" je větší než mínus 3.
Takže pokud "x" je větší než mínus 3, tento graf bude
vypadat stejně jako "y" se rovná "x" plus 3
Nyní, když "x" plus 3 je menší než nula:
V situaci, kdy tohle.. vnitřek naši
absolutní hodnoty... je záporný, v takovém případě
bude tato rovnice rovna
"y" se rovná mínus dvojčlen "x" plus 3
Jak to mohu říct?
Podívejte se, pokud má toto být záporné číslo, pokud
"x" plus 3 bude záporné číslo... to je to,
co zde předpokládáme... pokud to bude záporné číslo
pak, pokud vezmete absolutní hodnotu záporného
čísla, vyjde vám číslo kladné.
Je to stejné jako byste jej vynásobili mínus jedničkou.
Pokud víte, že pracujete s absolutní hodnotou záporného
čísla, je to stejné jako byste jej vynásobili mínus jedničkou,
protože z něj vytvoříte číslo kladné.
A to bude ta situace.
"x" plus 3 je menší než nula.
Pokud odečteme 3 od obou stran, pak
"x" je menší než mínus 3.
Takže když je "x" menší než mínus 3, náš graf bude
vypadat takto.
Když je "x" je větší než mínus 3, graf bude
vypadat takto.
Takže se podívejme, jak bude náš
celý graf vypadat.
Nakreslím si osy.
Tohle je moje osa "x", tohle je moje osa "y"
Takže, tohle si vynásobím, abychom měli vzorec
ve formě "a" "x" plus "b".
Tak tohle roznásobím: mínus "x" mínus 3.
Takže, nyní zkusme přijít na to, jak bude tento graf
obecně vypadat.
mínus "x" mínus 3
Průsečík s osou "y" je v bodě mínus 3, takže 1, 2, 3.
A mínus "x" znamená, že bude klesat,
klesat o hodnotu 1.
Takže to bude vypadat takto.
Průsečík s osou "x" bude v bodě, kdy "x" je rovno
Pokud řekneme, že "y" je rovno nule, tak to nastane v případě, že "x"
je rovno mínus 3
Takže to půjde po této přímce,
do tohoto bodu.
A graf, pokud bychom neměli toto omezení
zde, by vypadal přibližně takto.
To znamená, že pokud bychom jej neomezili pouze na určitý interval na
ose "x".
Jak tento graf tedy vypadá?
Pojďme se podívat.
Průsečík s osou "y" má v bodě 3
Přesně zde.
A kde je jeho průsečík s osou "x"?
Pokud "y" se rovná nule, "x" se rovná mínus 3
Takže to prochází přesně tímto bodem tady, a má
sklon 1.
Takže to bude vypadat asi takto.
Takhle tedy graf vypadá.
A nyní, to co jsme zjistili, je, že funkce absolutní
hodnoty, vypadá jako tento fialový graf pokud je "x"
menší než mínus 3.
Takže pokud je "x" menší než mínus 3 -- že "x" se rovná
mínus 3 právě zde -- když je "x" menší než
mínus 3, vypadá jako tento fialový graf.
Přesně zde.
Tak to je, když je "x" menší než mínus 3 .
Ale když je "x" větší než mínus 3, vypadá jako tento
zelený graf.
Vypadá to takto.
Takže tento graf vypadá jako takové divné "V".
Když je "x" větší než mínus 3, tato část je kladná.
Takže máme graf -- máme rostoucí sklon.
Ale když je "x" menší než mínus 3, tak v podstatě
bereme zápornou část funkce, pokud se na to podíváte
takto, a proto máme klesající sklon.
Takže máte něco jako takovou funkci ve tvaru "V", tento
graf ve tvaru "V", který naznačuje funkci
absolutní hodnoty.