Bạn sẽ thấy khó khăn khi tìm kiếm Königsberg trên bản đồ hiện đại,
nhưng có một điểm kỳ quặc về địa lý
đã làm nó trở thành một trong những thành phố nổi tiếng nhất trong Toán học.
Thành phố nước Đức thời Trung cổ này nằm hai bên bờ sông Pregel.
Ở trung tâm có hai hòn đảo lớn.
Hai hòn đảo được nối với nhau và với bờ sông
bởi bảy cây cầu.
Carl Gottlieb Ehler, một nhà Toán học mà sau này trở thành thị trưởng của thị trấn gần đó,
bị ám ảnh bởi những hòn đảo và cây cầu này.
Ông liên tục đặt ra chỉ một câu hỏi:
Lộ trình nào sẽ cho phép người ta băng qua cả bảy cây cầu
mà không đi qua cái nào trong số chúng quá một lần?
Hãy nghĩ về nó chỉ một lát thôi.
7
6
5
4
3
2
1
Bạn đã bỏ cuộc chưa?
Bỏ cuộc đi.
Điều đó là không thể.
Nhưng nỗ lực để giải thích câu hỏi tại sao đã dẫn nhà Toán học Leonhard Euler
phát minh ra lĩnh vực toán học mới.
Carl viết thư cho Euler nhờ giúp đỡ về vấn đề đó.
Euler ban đầu gạt bỏ câu hỏi đó vì nó chẳng liên quan gì tới Toán cả.
Nhưng ông càng vật lộn với nó,
dường như càng có một cái gì đó ẩn sau nó.
Câu trả lời mà ông nghĩ ra có liên quan đến một loại hình học
chưa được nghiên cứu đến, cái mà ông gọi là "Hình học vị trí",
ngày nay được biết đến với cái tên "Lí thuyết đồ thị".
Nhận thức đầu tiên của Euler đó là
lộ trình lần lượt đi vào và rời khỏi một hòn đảo hoặc một bờ sông
thì thật sự không quan trọng.
Vì vậy, bản đồ có thể được đơn giản hóa
với mỗi trong bốn vùng đất được đại diện bởi một điểm duy nhất,
cái mà chúng ta ngày nay gọi là "nút",
với các đường thằng, hoặc cạnh, giữa chúng là đại diện cho những cây cầu.
Và đồ thị giản lược này cho phép ta dễ dàng tính được "bậc" của mỗi nút.
Đó là số cây cầu mà mỗi vùng đất tiếp xúc.
Vậy tại sao bậc lại quan trọng?
Đó là vì, theo luật của thử thách,
một khi các hành khách đến được một vùng đất bởi một cây cầu,
họ sẽ phải rời khỏi đó bằng một cây cầu khác.
Nói cách khác, những cây cầu dẫn đến và dẫn từ mỗi nút trong bất cứ lộ trình nào
phải diễn ra theo từng cặp riêng biệt,
nghĩa là số cây cầu tiếp xúc với mỗi vùng đất đã được đến
phải là số chẵn.
Những ngoại lệ duy nhất đó là các vị trí của điểm xuất phát
và kết thúc của chuyến đi.
Nhìn vào đồ thị, nó trở nên rõ ràng rằng tất cả bốn nút đều có số bậc là số lẻ.
Vậy nên, bất kể lối đi nào được chọn,
ở cùng một điểm, một cây cầu sẽ được đi qua hai lần.
Euler sử dụng bằng chứng này để xây dựng một lý thuyết chung
mà áp dụng vào tất cả đồ thị với hai hoặc nhiều nút.
Đường đi Euler tiếp xúc mỗi cạnh chỉ một lần
chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp.
Thứ nhất là khi có chính xác hai nút ở bậc lẻ,
nghĩa là tất cả số nút còn lại có bậc chẵn.
Khi đó, điểm bắt đầu là một trong số những nút lẻ,
và điểm kết thúc sẽ là nút lẻ còn lại.
Trường hợp thứ hai là khi tất cả các nút đều có bậc chẵn.
Khi đó, đường đi Euler sẽ xuất phát và dừng ở cùng một vị trí,
lúc này biến nó trở thành Chu trình Euler.
Vậy làm thế nào mà bạn có thể tạo ra đường đi Euler ở Königsberg?
Rất đơn giản.
Chỉ cần bỏ đi bất kì cây cầu nào.
Và hóa ra, lịch sử đã tạo ra một đường đi Euler cho riêng nó.
Trong suốt Thế chiến II, Lực lượng không quân Xô Viết đã phá hủy hai cây cầu,
làm cho đường đi Euler trở nên dễ dàng.
Mặc dù, công bằng mà nói, điều đó có lẽ không phải là mục đích của họ.
Những vụ đánh bom này gần như đã loại bỏ Königsberg khỏi bàn đồ,
và sau này được xây dựng lại thành thành phố Kaliningrad của Nga
Mặc dù Königsberg và bảy cây cầu của nó không còn tồn tại nữa,
nhưng chúng vẫn sẽ được nhớ đến xuyên suốt lịch sử bởi một câu đố có vẻ tầm thường
dẫn đến sự xuất hiện của cả một lĩnh vực Toán học hoàn toàn mới.