Seria difícil encontrar Königsberg em um mapa moderno,
mas uma particularidade em sua geografia
a tornou uma das mais famosas cidades da matemática.
A cidade medieval alemã ocupava as duas margens do rio Pregel.
No centro, ficavam duas grandes ilhas.
As conexões entre as duas ilhas e as margens do rio
se davam através de sete pontes.
Carl Gottlieb Ehler, um matemático que se tornaria prefeito numa cidade próxima,
ficou obcecado por essas ilhas e pontes.
Ele insistia em uma única questão:
qual caminho teria que ser feito para se cruzar as sete pontes
sem passar por uma ponte mais de uma vez?
Reflita por um momento.
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Desistiu?
Muito bem.
É impossível.
Mas a tentativa de explicar o porquê levou o famoso matemático Leonhard Euler
a inventar um novo campo da matemática.
Carl pediu a Euler ajuda com o problema.
Euler a princípio pensou que a questão não tinha relação com matemática.
Mas quanto mais ele pensava,
mais parecia haver algo ali no fim das contas.
A solução que ele encontrou tinha a ver com um tipo de geometria
que ainda não existia, a qual ele nomeou "Geometria de Posição",
conhecida hoje como Teoria dos Grafos.
Euler concluiu primeiro
que o caminho percorrido dentro de uma ilha ou margem específica
não importava.
Assim, o mapa podia ser simplificado se cada porção de terra
fosse representada por um ponto,
o que nós hoje chamamos de vértice,
com linhas, ou arestas, entre eles representando as pontes.
Esse grafo simplificado nos permite contar os graus de cada vértice.
Esse é o número de pontes que cada porção de terra possui.
Qual a importância dos graus?
Segundo as regras do desafio,
quando viajantes entrarem numa porção de terra por uma ponte,
eles têm que sair dela por outra ponte.
Ou seja, as pontes que chegam e que saem de cada vértice
devem ocorrer em pares,
o que significa que o número de pontes em cada porção de terra visitada
deve ser par.
As únicas exceções seriam o começo
e o fim da caminhada.
Olhando para o grafo, fica evidente que todos os vértices têm grau ímpar.
Não importa o caminho escolhido,
em algum momento, uma ponte será cruzada duas vezes.
Euler usou essa prova para formular uma teoria geral
que se aplica a todo grafo com dois ou mais vértices.
Um caminho euleriano que passa apenas uma vez por cada aresta
só é possível num dos seguintes cenários.
O primeiro é quando existem exatos dois vértices de grau ímpar,
e todos os outros são pares.
Nesse caso, o ponto de partida é um dos vértices ímpares,
e o final é o outro.
O segundo é quando todos os vértices têm grau par.
Nesse caso, o caminho inicia e termina no mesmo local,
configurando o que chamamos de circuito euleriano.
Então, como um caminho euleriano poderia ser criado em Königsberg?
É simples.
É só remover uma das pontes.
Curiosamente, a história criou um caminho euleriano por conta própria.
Na 2ª Guerra Mundial, aviões soviéticos destruíram duas das pontes da cidade,
fazendo surgir um caminho euleriano.
Embora essa provavelmente não fosse sua intenção.
Os bombardeios praticamente varreram Königsberg do mapa,
e a cidade foi reconstruída pela Rússia sob o nome de Kaliningrado.
Mesmo que Königsberg e suas sete pontes não estejam mais entre nós,
elas ficarão para sempre na história por causa desse simples enigma
que deu origem a um ramo da matemática inteiramente novo.