1
00:00:09,036 --> 00:00:14,106
現代の地図でケーニヒスベルクを
見つけるのは不可能です

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,415
しかしこの街は １つの特徴的な地形により

3
00:00:17,415 --> 00:00:22,205
数学の分野で
最も有名な街の１つになったのです

4
00:00:22,205 --> 00:00:26,214
この中世ドイツの街はプレーゲル川の
両側にまたがっており

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
その中心には２つの島がありました

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
２つの島と川岸はそれぞれ

7
00:00:33,124 --> 00:00:35,884
７本の橋でつながっていました

8
00:00:35,884 --> 00:00:41,296
数学者で後に近くの街の市長になった
カール・ゴットリーブ・エーラは

9
00:00:41,296 --> 00:00:44,395
これらの島と橋に関する

10
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
１つの問題に取り付かれるようになりました

11
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
「どの経路なら 同じ橋を２度渡ることなく

12
00:00:51,095 --> 00:00:55,136
７本全ての橋を渡れるのだろう？」
というものです

13
00:00:55,136 --> 00:00:56,946
ちょっと考えてみてください

14
00:00:56,946 --> 00:00:57,936
７

15
00:00:57,936 --> 00:00:58,947
６

16
00:00:58,947 --> 00:00:59,916
５

17
00:00:59,916 --> 00:01:00,847
４

18
00:01:00,847 --> 00:01:01,956
３

19
00:01:01,956 --> 00:01:02,886
２

20
00:01:02,886 --> 00:01:03,996
１

21
00:01:03,996 --> 00:01:05,075
降参ですか？

22
00:01:05,075 --> 00:01:06,198
当然です

23
00:01:06,198 --> 00:01:07,513
不可能なのです

24
00:01:07,513 --> 00:01:12,636
一方 その理由の説明を試みる過程で
有名な数学者レオンハルト・オイラーは

25
00:01:12,636 --> 00:01:15,997
数学の新しい分野を生み出しました

26
00:01:15,997 --> 00:01:18,648
カールは手紙を書き
オイラーに助けを求めました

27
00:01:18,648 --> 00:01:23,367
オイラーは最初はこの問題は
数学に無関係として片付けました

28
00:01:23,367 --> 00:01:25,136
しかしこの問題と格闘するほど

29
00:01:25,136 --> 00:01:28,977
それ以上の何かがあるのではないかと
考えるようになりました

30
00:01:28,977 --> 00:01:32,906
彼が出した答えは
それまで存在しなかった新しい幾何学の分野

31
00:01:32,906 --> 00:01:38,258
彼自身は「位置の幾何学」と呼び

32
00:01:38,258 --> 00:01:41,897
現在はグラフ理論というものに
関係していました

33
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
オイラーの最初の洞察は

34
00:01:43,443 --> 00:01:48,507
どの経路で島や川岸を往来したかは

35
00:01:48,507 --> 00:01:50,578
関係がないということでした

36
00:01:50,578 --> 00:01:54,427
このように地図上の４つの土地は

37
00:01:54,427 --> 00:01:56,627
現在我々が頂点と呼ぶ

38
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
１つの点として

39
00:01:59,297 --> 00:02:04,198
橋は頂点の間の直線
もしくは辺として単純化できます

40
00:02:04,198 --> 00:02:09,619
そしてこの簡素化されたグラフは
各頂点の次数

41
00:02:09,619 --> 00:02:13,219
つまり各地点につながる橋の数を
数えやすくします

42
00:02:13,219 --> 00:02:14,598
ではなぜ次数が重要なのでしょうか？

43
00:02:14,598 --> 00:02:16,828
このクイズのルールでは

44
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
旅人がある橋を通って
１つの土地に到着したら

45
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
他の橋を通って
出て行かなければなりません

46
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
これはルート上にある全ての頂点で
到着と出発のための橋が

47
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
対になる必要があるということです

48
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
すなわち個々の土地につながる橋の数は

49
00:02:34,239 --> 00:02:36,368
偶数でなければいけないということです

50
00:02:36,368 --> 00:02:40,029
唯一例外が認められるのは

51
00:02:40,029 --> 00:02:42,267
出発地点とゴール地点です

52
00:02:42,267 --> 00:02:47,218
この図を見れば４箇所の頂点全てが
奇数の次数を持っていることは明らかです

53
00:02:47,218 --> 00:02:49,187
したがってどのような道筋であっても

54
00:02:49,187 --> 00:02:53,440
どこかの時点で橋は
２度渡らないといけないのです

55
00:02:53,440 --> 00:02:57,709
オイラーはこの証明から
２つ以上の頂点を持つ全てのグラフに当てはまる

56
00:02:57,709 --> 00:03:01,721
一般理論を作りました

57
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
全ての辺を１度だけ通るオイラー路には

58
00:03:05,790 --> 00:03:09,159
２つのシナリオしかありません

59
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
最初のシナリオは
２つの頂点だけが奇数の次数を持ち

60
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
残りの頂点の次数が偶数のものです

61
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
この場合には奇数の次数を持つ
頂点の１つが出発地点となり

62
00:03:19,659 --> 00:03:21,770
もう１つの頂点がゴール地点になります

63
00:03:21,770 --> 00:03:26,091
２つ目のシナリオは全ての頂点が
偶数の次数を持つ場合です

64
00:03:26,091 --> 00:03:31,231
この場合は出発地点とゴール地点は
同じ場所になり

65
00:03:31,231 --> 00:03:34,758
オイラー閉路と呼ばれる回路を作ります

66
00:03:34,758 --> 00:03:38,460
ではケーニヒスベルクで
オイラー路を作るにはどうしたらよいでしょうか

67
00:03:38,460 --> 00:03:39,302
答えは簡単です

68
00:03:39,302 --> 00:03:41,402
どれか橋を１本取り除けばいいのです

69
00:03:41,402 --> 00:03:46,080
その後 歴史は自ら
オイラー路を作りました

70
00:03:46,080 --> 00:03:50,198
第二次世界大戦の最中に
ソビエト空軍が街の２本の橋を破壊したため

71
00:03:50,198 --> 00:03:53,531
オイラー路が簡単に作れるようになりました

72
00:03:53,531 --> 00:03:57,291
公平を期して言えば ソビエトの目的は
オイラー路ではなかったでしょう

73
00:03:57,291 --> 00:04:00,781
これらの爆撃によって
ケーニヒスベルクは正に地図から消し去られ

74
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
後日カリーニングラードという
ロシアの街として再建されました

75
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
だから７本の橋があるケーニヒスベルクの街は
もう存在しないかもしれませんが

76
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
他愛ないクイズから
数学の新しい分野を生み出した街として

77
00:04:13,361 --> 00:04:17,661
歴史的に記憶されることでしょう